7.1.1数系的扩充和复数的概念 教学案2023-2024学年高一人教版数学

7.1复数的概念7.1.1数系的扩充和复数的概念教学过程：一、导入新课，板书课题在解决判别式小于0的实系数一元二次方程的问题时，大家是否想过引入新的数使实数集得到扩充呢？这节课我们就来探讨一下。【板书：7.1.1数系的扩充和复数的概念】二、出示目标，明确任务1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程；2.理解复数的概念、表示法及相关概念；3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件。三、学生自学，独立思考学生看书，教师巡视，督促学生认真看书（3min）阅读课本P68-69内容，回答以下问题：1.找出你阅读内容中的知识点。2.找出你阅读内容中的重点。3.找出你阅读内容中的困惑点。四、自学指导，紧扣教材1.自学指导（8min)阅读课本68-69页内容，思考并完成如下问题：（1）方程x²+1=0在实数中无解，你能给出一种方法，使这种方法有解吗？（2）为此，引入新数_____，即i²=_______？（3）实数系经过扩充，得到的新数系由哪些数组成呢?举例说明。（4）什么是复数？其中虚数单位是什么？复数集是什么？（5）z=a+bi中，实部是？虚部是？什么是虚数？什么是纯虚数？（6）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系？（7）如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等吗？五、自学展示，精讲点拨1.口头回答自学指导问题（答案见PPT）2.书面检测：练习题1、2、3、4、5精讲点拨：1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.3．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(非纯虚数a≠0,纯虚数a＝0))))新课导入我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。复数有什么几何意义呢？根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定；反之也对。由此你能想到复数的几何表示方法吗？探索新知因为任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z=a+bi与有序实数对(a,b)是一一对应的。而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系。如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)建立了一一对应关系，这是复数的一种几何意义。由图可知，显然向量OZ由点Z唯一确定；反之，点Z也可以由向量OZ唯一确定。因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即复数z=a+bi与平面向量OZ一一对应，这是复数的另一种几何意义。我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数。图中向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|。即|z|=|a+bi|=a2+如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模就等于|a一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a+bi，那么z=a-bi。课堂练习1．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量的模||等于()A.eq\r(5)B．2eq\r(5)C．4D.eq\r(13)解析：选D由于四边形OABC是平行四边形，故＝，因此||＝||＝|3－2i|＝eq\r(13)，故选D.2．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是()A．(－1,1)B．(1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选A∵|z1|＝eq\r(a2＋4)，|z2|＝eq\r(5)，∴eq\r(a2＋4)<eq\r(5)，∴－1<a<1.3．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－eq\r(5)，则z为()A.-eq\r(5)＋2iB.－eq\r(5)－2iC.eq\r(5)＋2iD.eq\r(5)－2i解析：选A设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝－eq\r(5)，由|z|＝3，得(－eq\r(5))2＋y2＝9，即y2＝4，∴y＝±2.∵复数z对应的点在第二象限，∴y＝2.∴z＝－eq\r(5)＋2i.4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为()A．一个圆B．线段C．两点D．两个圆解析：选A∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，表示一个圆，故选A.5．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模的取值范围为________．解析：|z|＝eq\r(1＋cosα2＋sin2α)＝eq\r(2＋2cosα)，∵π<α<2π，∴－1<cosα<1.∴0<2＋2cosα<4.∴|z|∈(0,2)．答案：(0,2)6．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由题意，得x＋yi－eq\r(x2＋y2)＝－1＋i，即(x－eq\r(x2＋y2))＋yi＝－1＋i.根据复数相等的充要条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－\r(x2＋y2)＝－1，,y＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))∴z＝i.法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，等式两边取模，得|z|＝eq\r(|z|－12＋12).两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1⇒|z|＝1.把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.答案：i小结作业小结：本节课学习了复数的几何意义、复数的模以及共轭复数的概念。作业：完成本节课课后习题。板书设计7.1.2复数的几何意义复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)建立了一一对应关系复数z=a+bi与平面向量OZ建立了一一对应关系图中向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|。即|z|=|a+bi|=a2+一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为