《电路分析基础(第三版)》(沈元隆-刘栋-编著)-第5章

5-5一阶电路的全响应全响应：由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应。下面讨论RC串联电路在直流电压源作用下的全响应。：uC(0-)=U0。t=0时开关闭合。为了求得电容电压的全响应，以uC(t)为变量，列出电路的微分方程iCRt=0+Us-+uC(0-)=U0-其解为代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0，可得求得A=U0-US那么：uC(0+)=U0=A+US

也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个根本性质，是响应可以叠加的一种表达。上式可改写为tuC(t)U0USUS<U0uCzi(t)uCzS(t)tuC(t)U0USUS<U0uCp(t)uCh(t)U0-USuC(t)=uCh(t)+uCp(t)uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)5-6一阶电路的三要素法

iSGLiLC+uS-R+uC-假设用r(t)来表示电容电压uC(t)和电感电流iL(t)，上述两个电路的微分方程可表为统一形式r(0+)表示电容电压的初始值uC(0+)或电感电流的初始值iL(0+)；

=RC或

=GL=L/R；w(t)表示电压源的电压uS或电流源的电流is。其通解为因而得到一阶电路任意鼓励下uC(t)和iL(t)响应的公式t=0+代入，得：推广应用于任意鼓励下任一响应在直流输入的情况下，t时，rh(t)0，rp(t)为常数，那么有因而得到

r(0+)——响应的初始值r(

)——响应的终值，

——时间常数=RC,=L/R三要素：tr(t)r(

)

r(0+)r(

)>r(0+)

tr(t)r(0+)

r(

)

r(

)<r(0+)三要素公式的响应波形曲线可见，直流鼓励下一阶电路中任一响应总是从初始值r(0+)开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值r()，响应的快慢取决于的时间常数。注意：〔1〕直流鼓励；〔2〕一阶电路任一支路的电压或电流的〔全〕响应；〔3〕适合于求零输入响应和零状态响应。直流鼓励下一阶电路的全响应取决于r(0+)，r()和这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，而不必建立和求解微分方程。这种方法称为三要素法。三要素法求直流鼓励下响应的步骤：1.初始值r(0+)的计算〔换路前电路已稳定〕(1)画t=0-图，求初始状态：电容电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。(2)由换路定那么，确定电容电压或电感电流初始值，即uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)。(3)画0+图，求其它初始值——用数值为uC(0+)的电压源替代电容或用iL(0+)的电流源替代电感，得电阻电路再计算2，稳态值r()的计算(画终了图)根据t>0电路到达新的稳态，将电容用开路或电感用短路代替，得一个直流电阻电路，再从稳态图求稳态值r()。3，时间常数

的计算(开关已动作)先计算与电容或电感连接的电阻单口网络的输出电阻Ro，然后用公式

=RoC或

=L/Ro计算出时间常数。4，将r(0+),r(

)和

代入三要素公式得到响应的一般表达式。注意点：三要素公式可以计算全响应、零输入响应分量和零状态响应。但千万不要认为就推广到一般，得出结论，所有的响应应该是：如求全响应。+－RC+－+－R+－图外鼓励引起内鼓励引起从另一个角度说：只有电容电压和电感电流，只要知道全响应表达式，就可以把它分成零输入响应(分量)和零状态响应(分量)。否那么，在仅知道全响应的表达式时，无法将零输入响应(分量)和零状态响应(分量)分开。非要知道电路，画出零输入的图或零状态的图，求出零输入响应或零状态响应来才行。例16电路原处于稳定状态。求t

0的vC(t)和i(t)，并画波形图。解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+)开关闭合前，电路已稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入4

电阻中，uC+-0.1F4

4

2

i10V+-2At=0由于开关转换时，电容电流有界，电容电压不能跃变，故

画0+图如右8V+-4

4

2

i(0+)10V+-2A2，计算稳态值uC(

)、i(

)

10VuC(

)+-4

4

2

i(

)+-2A换路后，经一段时间，重新稳定，电容开路，终值图如右，运用叠加定理得3，计算时间常数

计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联时间常数为10Vi(t)uC+-4

4

2

+-2A4，将初始值、终值及时间常数代入三要素公式，得到响应表达式：下面看响应过程——波形ti(t)1.5

15/3uC(t)t8

70例17求u(t)和i(t)。：uC(0-)=0uC-4

0.01F4

+2Ai+2i-+u-t=0解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+)零状态电路，由换路定那么得：画0+图如右,用节点法4

4

2Ai(0+)+2i(0+)-+u(0+)-ab解得：那么：2，计算稳态值u(

)、i(

)

t，电路重新到达稳定，电容开路，终值图如右，得：4

4

2Ai(

)+2i(

)-+u(

)-u(

)=0i(

)=2A时间常数为代入三要素公式得：

3，计算时间常数

电容相连接的电阻网络如右图，用加压求流法得：4

4

i+2i-Req例18求u(t)。：解：电路可分成两局部分别求响应，然后迭加。uC-1

0.5F2

+1A+u-t=01HiL2

+u(t)_RC局部：uC-1

0.5F2

+1At=01H2

+u(t)_uL-+uC+-0.5F2

1A所以RL局部：uC-1

0.5F2

+1At=01H2

+u(t)_uL-+所以uL+-1H2

1A例19开关在a时电路已稳定。t=0倒向b,t=R1C倒向c，求t

0的iC(t)并画波形解：t<0时，uC(0-)=0。第一次换路后由换路定那么得：iC(t)CR2R1Us+-abciC(t)CR1Us+-iC(t)CR1Us+-t=R1C时，第二次换路,由换路定那么得：iC(R1C+)R1R2+US(1-e-1)-得t=R1C+图如上：tiCUS/R1例20原电路已稳定。求t

0的iC(t)和uC(t)。

解：求初始状态uC-0.5F1

iL6

10V+-t=00.1H+2V-+3

2

换路后，电路可分成两局部uC-0.5F1

iL6

10V+-0.1H+2V-+3

2

2V-+所以5-7一阶电路的特殊情况分析1.R＝0或G＝0的情况；2.特殊情况——电路含全电容回路或全电感割集；电容电压和电感电流不连续，即跳变——换路定那么失效。求初试值依据——瞬间电荷守恒，磁链守恒3.所谓“陷阱”。例如：电路原已稳定，求开关动作后的电流i。+10V-iiLt=05

5

1H解：由换路定那么：得如果认为用三要素公式，得取极限，得最后，得可见，采取极限的方法，三要素公式仍然是成立的。对偶地，储存电场能电容的情况。

+－2V例21:uC1(0-)=U1,uC2(0-)=U2，试求uC1(0+),uC2(0+)解：开关闭合后，两个电容并联，按照KVL的约束，两个电容电压必相等，即：再根据在开关闭合前后节点的总电荷守恒定律，可得t=0C1C2+uC1(t)

-+uC2(t)

-联立求解以上两个方程，代入数据得当U1U2时，两个电容的电压都发生了跳变，uC1(t)由U1变为uC(0+),uC2(t)那么由U2变为uC(0+)。从物理上讲，这是因为两个电容上有电荷移动所形成的结果，由于电路中电阻为零，电荷的移动迅速完成而不需要时间，从而形成无穷大的电流，造成电容电压发生跃变。如果，改变为等效电路的方法。C+－原题目的图简化为C+－+－+－C1C2+－例22原电路已稳定，试求iL1(t),iL2(t),t>0L1L2+US-R1iL1iL2R2t=0解：〔1〕求初始值：换路前，电路已稳定：换路后，全电感割集，磁链守恒同理，改变为等效电路的方法。……

I0I0〔2〕求稳态值：图：由于电感电流发生跳变时，电感电压为无穷大。得图为〔3〕求时间常数：〔4〕代入三要素公式例23图示RC分压器电路原已稳定。试求t>0时uC2(t).R1R2C1C2t=0+US-+uC2(t)-+uC1(t)-a解：将图中的电压源置零后，电容C1

和C2并联等效于一个电容，说明该电路是一阶电路，三要素法仍适用。为使uC2(t)无过度过程，C1取何值？〔1〕求时间常数：换路后，电源置零得以下图。其时间常数为R1//R2C1+C2〔2〕求初始值：在t<0时，电路处于零状态，uC1(0-)=uC2(0-)=0。此式说明电容电压的初始值不再为零，发生跃变，因为含全电容回路，换路定那么失效，要用电荷守恒。对节点a可得换路后，在t=0+时刻，两个电容电压应满足KVL联立解得：R1R2+US-+uC2(t)-a〔3〕求终值t时，电路到达新的稳定，电容开路，得终值图如下〔4〕代入三要素公式，得：uC2(t)R1C1>R2C2R1C1=R2C2R1C1<R2C2t0〔5〕由上式看出，输出电压的稳态分量由两个电阻的比值确定，其暂态分量还与两个电容的比值有关。改变电容C1可得到三种情况，当R1C1=R2C2时，暂态分量为零，输出电压马上到达稳态值，这种情况称为完全补偿；当R1C1<R2C2或R1C1>R2C2时，暂态分量不为零，输出电压要经过一段时间才到达稳态值，前者称为欠补偿，后者称为过补偿。这就是在很多高频测量仪器的输入RC分压电路(例如示波器的探头)中设置一个微调电容器的原因，用户可以调节这个电容器来改变时间常数，令R1C1=R2C2，从而得到没有失真的输出波形。例24求t>0时的uC1(t),uC2(t)和i(t)，画出它们的波形。uC1(0-)=10V，uC2(0-)=0V。t=03FC12FC2+uC1(t)

-+uC2(t)

-i(t)R=10

解：含全电容割集，两个电容可等效为一个独立电容。是一阶电路，用三要素法〔1〕求时间常数t=03FC12FC2+uC1(t)

-+uC2(t)

-i(t)R=10

〔2〕求初始值〔3〕求终值由KVL，得：由电荷守恒：t

，电路稳定：也可以再次应用电容或电感的等效图。+－C1C2+－+－画终了图如下：联立解得：〔4〕代三要素公式，得：10V6V1A0tuC1(t)i

(t)uC2(t)波形图：两个电容上的6V电压，象掉入“陷阱”一样，永远跑不掉。5－8阶跃信号和阶跃响应

5－8-1阶跃信号

定义：0t(t)1延迟单位阶跃信号：

0t0t(t-t0)1阶跃信号用途：

1.描述开关动作t=0+2V-电路+2(t)V-电路2.表示各种信号0t0tAf(t)012t21f(t)0/2tAf(t)f(t)=(t)-(t-1)-2(t-1)f(t)=Asint[(t)-(t-)]5－8-2阶跃响应

单位阶跃响应s(t)：零状态时电路在单位阶跃信号鼓励下的响应。t=0+1V-+v-t=01Ai把(t)看作以下图开关动作，那么求解阶跃响应〔零状态〕可用三要素法图(a)RC串联电路，初始值uC(0+)=0，稳态值uC(

)=1，时间常数

=RC。图(b)RL并联电路，初始值iL(0+)=0，稳态值iL(

)=1，时间常数

=L/R。可分别得到uC(t)和iL(t)的阶跃响应如下。

例25用阶跃函数表示左图所示的方波电流，再求iL，并画出波形。iSiL1HLR2

01t2iS解法一：左图所示的方波电流，可以用两个阶跃函数表示:iS(t)=2

(t)-2

(t-1)A

由于是线性电路，根据动态电路的叠加定理，其零状态响应等于2

(t)和-2

(t-1)两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。

〔1〕先求单位阶跃响应s(t)

(t)s(t)1HLR2

所以：s(t)=(1-e-2t)

(t)τ=L/R=0.5Ss(∞)=1s(0+)=s(0-)=

0〔2〕应用线性及时不变性〔3〕叠加，2(t)-2(t-1)作用的零状态响应为iL(t)=2s(t)-2s(t-1)由于：

(t)→

s(t)=(1-e-2t)

(t)A由线性：2

(t)→2

s(t)=2(1-e-2t)

(t)A-2

(t)→-2s(t)=-2(1-e-2t)

(t)A时不变：

(t-1)→s(t-1)=[1-e-2(t-1)]

(t-1)A=2(1-e-2t)

(t)-2[1-e-2(t-1)]

(t-1)A黄线和紫线分别表示2s(t)和-2s(t-1)。它们相加得到iL(t)波形，如红线所示iL(t)201t-2解法二：将鼓励看作两次开关动作2AiL1HLR2

t=0t=1iL(t)201t第一次换路，充电第二次换路，放电。例26求t>0时的i(t)，uC(0-)=2V。0.5F+uS-2

+uC-i(t)uS2-1012t先求零输入响应izi(t).izi(0+)=-1A，时间常数

=RC=1s。解：〔1〕所以：izi(t)=-e-tA,t>0〔2〕求零状态响应iCzs(t).先求单位阶跃响应s(t).0.5F+uS-2

+uC-i(t)初始值uC(0+)=0,iC(0+)=0.5A，由于uS(t)=-

(t)+3

(t-1)-2

(t-2),所以，零状态响应为s(t)=0.5e-t

(t)〔3〕全响应i(t)=izs(t)+izi(t)

izs(t)=-s(t)+3s(t-1)-2s(t-2)=-0.5e-t

(t)+1.5e-(t-1)

(t-1)-e-(t-2)A=-0.5e-t

(t)+1.5e-(t-1)

(t-1)-e-(t-2)A-e-tA,t>05-9脉冲序列作用下的一阶电路分析C+uS-R+uC-+uR-0T2T3T4TtuS(t)US1.当T>4

时：在0<t<T，电容由零状态充电，t=T时达稳态值US；在T<t<2T，电容由US放电，直至0。0T2T3T4TtuS(t)US0T2T3T4T

tuC(t)US02T4T

tuR(t)US-UST微分电路：(输出等于输入的微分)当＝RC<<T

,(即＝RC很小时)2.T<4

时：在0<t<T，电容由零状态充电，t=T时，uC(T)尚未至稳态值US；在T<t<2T，电容由uC(T)放电，uC(2T)不为0。第二周期由uC(2T)开始充电。0T2T3T4T

tuC(t)US假设干周期后，充放电过程达稳态。0T2T3T4T

tuC(t)USUAUB-UB对照式(5-55):解得：可见：积分电路：(输出等于输入的积分)当T<<

时，(即=RC很大时)摘要1、线性时不变电容元件的特性曲线是通过q-v平面坐标原点的一条直线，该直线方程为

电容的电压电流关系由以下微分或积分方程描述

可见，电容电压随时间变化时才有电容电流。假设电容电压不随时间变化，那么电容电流等于零，电容相当于开路。因此电容是一种动态元件。它是一种有记忆的元件，又是一种储能元件。储能为电容的储能取决于电容的电压，与电容电流值无关

2、线性时不变电感元件的特性曲线是通过-i平面坐标原点的一条直线，该直线方程为

电感的电压电流关系由以下微分或积分方程描述

可见，电感电流随时间变化时才有电感电压。假设电感电流不随时间变化，那么电感电压等于零，电感相当于短路。因此电感是一种动态元件。它是一种有记忆的元件，又是一种储能元件。储能为电感的储能取决于电感的电流，与电感电压值无关

3、电容和电感的一个重要性质是连续性——假设电容电流iC(t)在闭区间[t1,t2]内有界，那么电容电压uC(t)在开区间(t1,t2)内是连续的。例如电容电流iC(t)在闭区间[0+,0-]