2023-2024学年浙江省金华市高二年级上册期末数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年浙江省金华市高二上册期末数学模拟试题

一、单选题

1.直线岳+”2=0的倾斜角为()

71cTC-24—54

A.-B.-C.--D.~~

6336

【正确答案】C

【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角.

【详解】•.•直线百x+y-2=0的斜率k=-JL设倾斜角为0，贝Ijtan9=-百

直线6x+y-2=0倾斜角为y.

故选C.

本题考查直线的倾斜角的求法，熟记斜率与倾斜角的关系是关键，是基础题

2.已知空间向量4=(2,1,"),i=(-1,2,1),若。与5垂直，则〃为()

A.0B.1C.2D.-2

【正确答案】A

【分析】根据向量垂直得出数量积为零，即可列式解出答案.

【详解】:a与石垂直，

.'.a-b=-2+2+n-0>解得"=0，

故选：A.

3.已知抛物线C:/=2px(p>0)的焦点为F,过C上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为0,

若△PQE是边长为4的正三角形，则P=()

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】B

【分析】根据△尸。尸是边长为4的正三角形及抛物线定义求出尸点横坐标，进而求得尸点坐

标，即可求得。点坐标，根据|。尸|=4,用两点间的距离公式代入计算即可.

【详解】由题知因为△尸。尸是边长为4的正三角形，

所以|我|=|斯|=|尸0|=4,

根据抛物线定义可知4+勺牝即巧,=4-个

所以y」=2p（4-£],故尸4_多±,2《4勺，所以0/,±五（4一£|

所以lQF]=jp二士（「I-£）=4,解得：P=2.

故选:B

4.圆&:/+/=4,圆C2：（x-3）2+（y-4）2=49,则两圆的公切线有（）

A.0条B.1条C.2条D.3条

【正确答案】B

【分析】由圆心距与半径的关系判断两圆位置关系，后可得答案.

【详解】圆C：/+/=4,圆心为£（0,0）,半径12.

圆C2：(x-3)2+(y-4)2=49,圆心为G(3,4),半径々=7.

注意到圆心距=五+甲=5=々-勺，则两圆相内切，故公切线条数为1.

故选：B

5.桁架桥指的是以桁架作为上部结构主要承重构件的桥梁.桁架桥一般由主桥架、上下水

平纵向联结系、桥门架和中间横撑架以及桥面系组成.下面是某桁架桥模型的一段，它是由

一个正方体和一个直三棱柱构成.其中=那么直线AH与直线IG所成角的余弦值

为（）

2

A.2

【正确答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.

【详解】以£为坐标原点，EB,ED,E/所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角

坐标系，

设AB=BH=a,

则4(a,-“,0),//(a,0,q),/(0,0,a),G(a,。,”)，

AH-(O,a,a),/G=(a,a,O),

设直线///与直线IG所成角为e,

则cose」cos(AH7G\\-府田-幽。，“)(。，"3_尤

则cos8-卜os«乩依卜国网-缶缶-2a2

故直线AH与直线IG所成角的余弦值为y.

6.小芳“双11”以分期付款的方式购买一台标价6600元的笔记本电脑，购买当天付了2600

元，以后的八个月，每月11日小芳需向商家支付500元分期款，并加付当月所有欠款产生的

一个月的利息(月利率为2%),若12月算分期付款的首月，则第3个月小芳需要给商家支付

()

A.550元B.560元C.570元D.580元

【正确答案】B

【分析】准确理解题意，代入数据计算即可.

【详解】第3个月小芳需要给商家支付500+(4000-2x500)x2%=560元.

故选：B.

7.有以下三条轨迹：

①已知圆/:(x+l>+y2=9,圆8:(X-1)2+/=1,动圆尸与圆N内切，与圆8外切，动圆

圆心户的运动轨迹记为G；

②已知点48分别是x,y轴上的动点，。是坐标原点，满足|力8|=4,AB,40的中点分

别为M,N,"N的中点为P,点尸的运动轨迹记为C2；

4

③已知4(-5,0),8(5,0),点P满足我，P8的斜率之积为2，点P的运动轨迹记为G.设曲

9

线G，G«3的离心率分别是%%，%，则()

A.e1<e2<eyB.et<e3<e2C.e2<ex<e3D.e3<e,<e2

【正确答案】A

【分析】根据题意，分别求出三个曲线方程，并求出对应的离心率即可求解.

【详解】①，设动圆圆心尸(x,y),半径为r,

由题意可知：圆Z:(x+l)2+72=9的圆心坐标4-1,0),半径4=3；

圆8:(x-+产=1的圆心坐标8(1,0),半径4=1；

由条件可知：1Pd=3-〃，|阳=1+厂，所以归4|+|尸8|=4>3却=2,

所以点P的轨迹方程为：片+或=1(x^2),则q=[;

②设9,0),8(0,〃)，则浮+/=16,由中点坐标公式可得：N《⑼，所以MN

的中点尸(5,彳)，因为/+/=i6,所以点P的坐标满足(2x)2+(4y了=16,也即Q：

—+y1=\>所以e?=;

422

③设点尸(羽回，由题意可知：匕W•匕g=：(xH±5),

x+5x-59

X~2y~2

整理化简可得：^-T00=1(X*±5),所以。=51=与，

9

所以03>e2>e],

故选.A

8.已知数列｛4“｝是各项为正数的等比数列，公比为q,在q,%之间插入1个数，使这3个

数成等差数列，记公差为4，在外，%之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为义,…，

在向之间插入〃个数，使这〃+2个数成等差数列，公差为4,则()

A.当0<g<l时，数列｛"“｝单调递减B.当g>i时，数列｛d“｝单调递增

c.当时，数列｛"”｝单调递减D.当时，数列｛4｝单调递增

【正确答案】D

【分析】根据数列｛4,｝的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.

【详解】数列｛《,｝是各项为正数的等比数列，则公比为4>0,

由题意。，向=4+（«+1）4,得4,=入出=%«二）1,

n+1〃+1

0<4<1时，<<0,有誓=吗?<1,4m>4“数列｛"”｝单调递增，A选项错误；

“1时，<>0,与=幽孚，若数列｛4｝单调递增，则也少>1,即由

d„〃+2〃+2«+1

neN\需要g>；3,故B选项错误；

4>人时，3（纥1）>竺（匕1）,解得l<q<3,

232

g>l时，<>0,由刍a=的半，若数列｛4｝单调递减，则好却<1,即

Z〃+2〃+2

4<辱=1+-^7,而1<4<：不能满足4<l+」（〃eN*）恒成立，C选项错误；

n+\77+1277+1v7

4<出时，叱T）<a吗T,解得0<4<1或g>T，由AB选项的解析可知，数列｛""｝

单调递增，D选项正确.

故选：D

思路点睛：此题的入手点在于求数列｛〃｝的通项，根据力的定义求得通项，再讨论单调性.

二、多选题

9.已知双曲线《一片=1,则（）

49

A.渐近线方程为y=±gxB.焦点坐标是（土后,0）C.离心率为乎

D.实轴长为4

【正确答案】ABD

【分析】由双曲线方程求双曲线，焦点坐标，离心率，实轴长.

【详解】由双曲线方程为：--^=1,焦点在X轴，

49

所以a=2/=3,。=，。2+62=丁7,

所以渐近线方程为夕=±幺丫=±二工，故A正确，

a2

焦点坐标为（土Ji5,o）,故B正确，

离心率为：e=£=巫，故C错误，

a2

实轴长为：2a=4,故D正确，

故选：ABD.

10.自然界中存在一个神奇的数列，比如植物一年生长新枝的数目，某些花朵的花数，具有

1,1,2,3,5,8,13,21……，这样的规律，从第三项开始每一项都是前两项的和，这个

数列称为斐波那爽数列.设数列｛4｝为斐波那契数列，则有%+。用=%+2（〃eN+）,以下是

等差数列的为（）

A.。2021M2022,°2023B.a202\^a2023^a2024C.*^2021»^2022»^2023D.$2021，$2023,$2024

【正确答案】BD

【分析】利用定义构造等差中项来验证所给选项成等差数列.

【详解】由题意：为+4,向=a“+2（〃eN+）,①

所以。用+%+2=a,,+3（"eN+）,②

②一①得：an+2-an=an+3-an+2=2an+2=an+J+a“,

aa

所以数列nM〃+2M〃+3或数列n+3，。〃+2，a„成等差数列，

令”=2021,则。2021，。2023，。2024成等差数列，故B正确，A错误,

由%+。+1=。+2,

所以S“+i—S”T=Sn+2-Sn+l=>2Sn+l=Sil+2+S“T，

所以51，5用,5“+2成等差数列，

令"=2022,则S202l，S2023，S2024成等差数列，故D正确，C错误.

故选：BD.

11.已知平行六面体”88-44G。的所有棱长都为1,NBAD=60°,设

ZAlAB-a,ZA}AD-P.（）

A.若”=夕=90。，则直线4cl平面G5。

B.若a=/=90。，则平面平面NCC/

C.若a=£=60。，则直线4c，平面

D.若a=?=60。，则平面平面48C。

【正确答案】BC

【分析】根据空间向量数量积的运算和空间中线面垂直，面面垂直的判定逐项检验即可求解.

【详解】对于A,若a=4=90。，丞•南=（彳瓦+丽+看）（西+前）

=A[B、BB[+A、B[BC+A、D\BB、+A、D\BC+A^ABBy+ABC

=0+lxlxcos600+0+lxlxcos00+1x1xcos180°+0=—^0,

2

所以衣与星不垂直，又因为8Gu平面C/D,

所以直线4c与平面不垂直，故选项A错误；

对于B,若a=4=90。，则又因为48c/。=4,且u平面

ABCD,所以441平面/8CZ）,又因为4/u平面N/CC],

所以平面//CG_L平面/8CO,故选项B正确；

对于C,若a=/?=60。，

因为水函=（语+语+彳1）函=函丽+葩BB^+A^ABB^

=lxlxcos60°+lxlxcos60°+lxlxcos180°=0,所以4。_L,

又因为4cBD=(AB+44+4/1)(AD-AB)

=4耳AD-AB】AB+A[D[AD-AXDXAB+A{AAD-AtAAB

=Ixlxcos60°-Ixlxcos00+1x1xcos00-lxlxcos60°+lxlxcos1200-Ixlxcos120°=0,

所以4C_L8D,因为BDcB1B=B,平面,

所以直线4cl•平面瓦比)£,故选项C正确；

对于D,如图：连接4。,5。，取的中点E,连接

若c=£=60。，由题意可知：AQ=BD=1,根据题意可知：DELABHE-B,则//遂。

即为平面4BB4与平面/BCD所成的二面角的平面角或其补角,

由题意可知:由DE咚在中,由余弦定理可得:

AE+ED?-AE?=1*0,所以平面/与平面N88所成的

cosZ-AED-

XlA^EED

二面角的平面角不是直角，所以平面4与平面/BCD不垂直，故选项D错误.

故选.BC

12.已知椭圆上+^=1的左右焦点分别为不过g的直线交椭圆于4（»乂）,8（%,必）两

4b-

点，设忸闾=%,|/周=叼，M6|=%,怛耳|=%，已知％，%，生成等差数列，公差为力

则（）

y

二

3

A.与吗，“4成等差数列B.若d=l,则b2=,C.X2=3x）

D.必=3必+2

【正确答案】ABC

【分析】A选项，由椭圆定义及4，々，。3成等差数列，得到［=2-豺3，的=2-“1，

13,.1

03=2+5"，々4=2+5］，故。2+〃4=羽，A正确；B选项，在A选项基础上得到忸入1=5,

|^|=|,必=-3%,设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，

由％=-3%得至1］加2=^_,由弦长公式得至1」4/（1+加2）=9（4-尸）,/,联立得到/=］；

C选项，由焦半径公式推导出工2=3不，C正确；D选项，在工2=3引的基础上，得到

%=3凹+生，D错误.

m

【详解】A选项，由椭圆定义可知：q+%=4,出+%=4,

又％,出，七成等差数列，故〃2=《+",%=4|+2d,

311

则的+%=2q+3d=4,则q=2—Qd,则&=2-5d,a3=2+—,

「3

又。4=4-［=2+5〃,

13

故%+%=2-51+2+鼻1=4+”=2%,故A正确；

।31Q

B选项，若d=1,此时忸周=%=5,14月=生=5，故1481=5+5=2,且必=一3%，

设£（c,0）,因为直线48斜率一定不为0,

设直线48为+叨，与?+£=1联立得：

(h^m2+4)y2^-2cmb2y+b2(c2-4)=(),QP^h2m2+4)y?+2cmh2y-b4=0

2cmb2b4

贝廿|+为=一

b2m2+4，乂%=b2m2+4

因为乂=包，所以乂=法加二七’

14

联立解得3c,J=b2nr+4,故必+为=-----，必为=----T~T

由弦长公式可得：|^i=Viw..H^+-^4b2J+/,

TT----------------=2，

11\9c2m23c2加23cm

所以2力力1+q=3cm,平方得：4/(1+/)=9c2m2,

其中。2=4一万,

故3(4-/)m2=/加2+4,解得：b2m2+1=3/n2>BPm2=',,

3-从

由46"(1+"/)=9(4-62)机2可得：4/I+—^1=9(4-川•一二

整理得：4加-16/-胡+36=0,即4//*W-4)-9(/-4)=0,

故(4/-9)(/-4)=0,解得：或〃=%

因为。>分，所以〃=4舍去，故〃==,B正确；

2

22

C选项，设椭圆会+£=l(a>b>0)上一点"(七,九)，其中楠圆左右焦点分别为

爪―c,0),居(c,0),

下面证明|"K|=a+e4,|初周=q-exo，

过点M作版4,椭圆的左准线于点力,作椭圆右准线于点B,

则有椭圆的第二定义可知：鬻=霭=e,

22

其中|M4|=XO+土,Mm=―4,

cc

则=cX0+—=(7+ex0,\MF2\=^-——x。=Q-ex。，

\AF2\=a-exA=2-ext=2-^d9故exygd,

33

\BF2\=a-ex2=2-ex2=2--d,^ex2=-d,所以々=3演，C正确；

2c

D选项，设直线48为》=。+叩，由々=3玉得：c+my,=3c+3町，故%=3乂+—,D错

m

误.

故选：ABC

椭圆焦半径公式：

22

(1)椭圆5+今=1(“>6>0)上一点材(乙,九)，其中椭圆左右焦点分别为

/\(-C,0),F2(C,0),

则网用=。+5,\MF2\=a-ex0,

2x2

y+

(2)椭圆=i（a>b>0）上一点〃y0）,其中楠圆下上焦点分别为

4（0,-c），K（0,c）,

则网甲=。+吸，\MF2\=a-ey0,

记忆口诀：左加右减，下加上减.

三、填空题

13.直线4：3x—4y-5=0,直线4：3x—4y+4=0,贝以,4之间的距离是

9

【正确答案】y##1.8

【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解.

【详解】由平行线间的距离公式可得：

〜|4+5|9

/„/2之间的距离是d=''=-,

V32+425

故答案为A9

14.数歹」I｛4“｝满足q=0,an+]-an=2〃，贝ijq,=

【正确答案】n2-n

【分析】累加法以及等差数列求和公式求数列的通项公式.

【详解】因为。-q,=2%

所以=2（〃-1）,

*一。“一2=25-2）,

=2x2,

a2-«1=2x1,

累加得：Q”一。]=2(〃—1)+2(〃—2)H-----F4+2

=[2("叫+2](〃-匕_〃

2

故答案为.〃2-n

15.老张家的庭院形状如图，中间部分是矩形力8C。，4B=8,BC=3（单位：m）,一边是

以CQ为直径的半圆，另外一边是以48为长轴的半个椭圆，且椭圆的一个顶点〃到45的

距离是2m,要在庭院里种两棵树，想让两棵树距离尽量远，请你帮老张计算一下，这个庭

院里相距最远的两点间距离是m.

AB

【正确答案】2b+4##4+26

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再加上半径

即可求得结果.

【详解】根据题意可得，以Z8的中点。为坐标原点，所在直线和48的垂直平分线分别

为xj轴建立如下图所示的平面直角坐标系,

由椭圆长轴2a=48=8可得a=4,易知6=2,所以椭圆方程为工+二=l,(y40)；

164'

根据题意可得当P点到圆心Q的距离最大时，的连线交半圆于。，此时尸。距离最大:

设,卜。，人)，则冬+邛=1,(九40),

164

222

易知\OXP\=宿+(%-3)2=716-4^0+(J0-3)=7-3(J0+1)+28，

当为=-1时，-3(%+iy+28取最大值28,所以盘刊4而=2夜,

则归0以。尸|+火=2近+4.

故26+4

16.如图，已知平行四边形/8CO,AB=2,BC=4,ZA=60°.E、F分别是49、BC

的中点.现将四边形C£>EP沿着直线E尸向上翻折，则在翻折过程中，当点A到直线8c的

距离为0时，二面角A-EF-D的余弦值为.

【正确答案】-

【分析】连接BE、DF,取EF的中点。，连接08、OD,推导出E尸工平面08。，可知

ZBOD=0,以点。为坐标原点，0B、。户所在直线分别为x、y轴，平面/8FE内过点O

且与平面48所的垂线为z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合点到直线的距离公

式可求得cos。的值，即为所求.

【详解】连接BE、DF,取EF的中点。，连接08、OD,

易知DE=CF=CD=2,旦DEHCF,则四边形COE尸为菱形，

易知NOE尸=/。。尸=60°,则四边形DEF为等边三角形，所以，0D工EF,

同理可知所以，二面角N-EF-O的平面角为

因为08n。。=。，OB、OZ)u平面05。，所以，平面08。，

且08=0。=2sin60。=G

以点。为坐标原点，0B、。尸所在直线分别为X、y轴，

平面尸E内过点。且与平面/8所的垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则/（百,-2,0）、8（6,0,0）、。（石cos6»,0,V5sin@、。（若cos®,2,Wsin0,

ZB=（0,2,0）,SC=（^cose-V3,2,75sin0）,

所以点A到直线8c的距离为1=

*「4

=y/~2,解得cosO=；.

V\VlO-6cos0

故答案为.g

四、解答题

17.己知等差数列｛%｝,正项等比数列也｝,其中也｝的前N项和记为s“，满足q=4=2,

“3=4，。5=邑■

⑴求数列｛4｝,但｝的通项公式；

⑵若C.=a,a,求数歹!)匕,｝的前〃项和T„.

【正确答案】(1)4=3"—1,”WN+,%=2"/WN+

(2)7；=8+(3”-4)2川

【分析】(1)根据数列类型和基本量关系的运算即可求得通项公式；(2)利用错位相减法即

可求得结果.

【详解】(1)设等差数列｛q｝的公差为d,等比数列也｝的公比为4>0；

利用基本量运算有2+2</=2/,2+4"=2+2«+2/，

因为也“｝为正项数列，可得g=2,d=3,

A

所以=q+(n-V)d=3n-\,b„=bIq"=2"；

即数列｛%｝的通项公式为a,=3〃-1,〃eN+

数列出｝的通项公式为〃=2",〃wN，

(2)由(1)可得%=(3〃-1)2",

所以7；=2x2+5x22+8>23+...+(3月-1)2"①

27],=2x22+5x23+8x24+...+(3«-4)2"+(3«-1)2"+,②

②-①得：

7；,=-2x2'-3(22+2'+…+2”)+(3〃-1)2向

=-4-3x4(1~^+(3n-1)2,,+1=8*3〃Y)2T

即数歹!lE｝的前N项和I,=8+(3〃-4)2届

18.圆C经过点力(1,2)与直线x+y-5=0相切,圆心C(a,b)的横、纵坐标满足。=26(“>0).

(1)求圆C的标准方程；

(2)直线/：mx+2y-3机-1=0交圆C于4，8两点，当|/8|=6时，求直线/的方程.

【正确答案】(l)(x-2)2+(y-l)2=2

⑵4x-2y-l1=0

【分析】(1)待定系数法求圆的方程.

(2)直线与圆相交，求出弦长建立等式关系，求得〃?，进而求得直线方程.

2b+h-5\

【详解】(1)设圆心坐标为C(26,6),有(2b-iy+3-2)2、

得6=1或一15(舍),

所以-2)2+(尸1)2=2.

(2)直线截圆所得弦长而圆半径&=应，

因此圆心(2,1)到直线/：*+2y-3加-1=0距离为立

2

所以”=四芸^2±=91,得加=-4.

J/+42

从而直线/的方程4x-2y-ll=0.

19.已知直线/过抛物线C:/=4x的焦点F,与抛物线C交于48两点.

(1)若/的倾斜角为:，求|/切：

(2)若在抛物线C上有且仅有一点尸(异于48),使得41PB,求直线/的方程和相应点

P的坐标.

【正确答案】(1)当

(2)直线/方程为x=+1相应的点尸(3,-2百)或直线/方程为x=-5+1相应的点

P(3,2向

【分析】(1)根据条件求出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理可求得弦长.

(2)设直线/与抛物线联立，韦达定理得48两点坐标关系，PAVPB,勺沟=T，化简

可得呼+4%+12=0,有且只有一个解，判别式为0,可求得结果.

【详解】（1）因为直线/过焦点尸（1,0）且倾斜角为：，故方程为y=6（x-l）,

与J?=4x联立消去y,得3X2-10X+3=0，

设点4（和乃）,3。2，%），由韦达定理得再+X2=y,

所以|N5|=X|+々+p=g.

（2）设直线/方程为“卬+1,联立方程组I："：'消去x得

[y=4x

y2-4ty-4^0,所以乂+%=4f,必弦=T

设点P（x。,%）直线P4P8的斜率分别为尢,&,由4IPB得以=T,

/：二%_必一%_44

因为'X,-Xo乂+%），同理无2=1，、+%

44

44

所以勺/="7丁='化简得"+（乂+32）%+%%+16=0

即此+4%+12=0,由已知方程只有一个解，故判别式△=16〃-48=0,f=±6

所以直线/方程为》=岛+1相应的点尸（3,-2月）

或直线1方程为x=-6y+1相应的点P（3,2收

20.在四棱锥尸-48。中，

AB//CD,ABIBC,AB=3,BC=CD=PD=2,ZPDC=12（T，尸D与平面所成角的

大小为60。，点。为线段PB上一点.

（1）若C0〃平面以。，求笔的值；

ID

（2）若四面体。-ABC的体积为手，求直线48与平面/QC所成角的大小.

【正确答案】（1）^=：

(2)30,

【分析】(1)过点。作〃月8交于E,连接EO.证明四边形QEOC是平行四边形,

即可求得爵的值；

(2)过尸作尸OLCD交C。的延长线于0,证明P01平面N8CO.从而建立空间直角坐标

系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，即可求得答案.

【详解】(1)过点。作0E〃/8交于E,连接EO.

QE〃AB,CD//AB,:.QE//CD,

二.四边形0EDC是平面四边形

又；平面。EDCn平面尸/。=£1),C。〃平面RW,。。＜=平面。&)(7,

.•.CQ〃ED,.•.四边形。灰)C是平行四边形，

：.QE=DC=2,而"=3,于是条=笔=上

PBAB3

(2)过尸作尸0_LC。交C。的延长线于。，

•••NPDC=120°,.-.ZPDO=60。,而PD=2,:.尸。=2xsin60°=正;

又；PO与平面/8CZ)所成角的大小为60。，

则P到平面ABCD的距离为2xsin60"=5即尸。的长为P到平面ABCD的距离，

尸O_L平面48cD.

以。为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴,

如图建立空间直角坐标系.

VP,RC--5A.„rxPO--x—x3x2xG=6,

t—AD(,332

设四面体。-月8c的高为人由于/_.c=¥，所以4=g，

即

翁轲以5H

'22^/3、

于是/(2,0,0),8(2,3,0),C(0,3,0),。,

AC=(-2,3,0),AQ=-*1,明，

设平面AQC的一个法向量为n=(x,y,z),

fn.AC=0产+3尸0

则<—，即I426，

n-AQ=0--x-^-y+—^—z=0

令x=3,得万=(3,2,万)，又而=(0,3,0),

设直线力5与平面/QC所成角为0,0。49490。,

0=30。，所以直线AB与平面AQC所成角的大小为30.

21.已知数列｛《,｝的前〃项和为邑，且。“，麻,4+i（〃eN,）成等比数列.

（1）若｛《,｝为等差数列，求卬；

n+2

⑵令1=3,1+%>3］，是否存在正整数发，使得4是%I与%2的等比中项？若存〃+2

在，求出所有满足条件的4和七若不存在，请说明理由.

【正确答案】（1）6=1

_.fa,=6fa,=2

（2）存在；”［或1°

【分析】（1）方法一：利用已知条件求出数列的通项公式，然后根据数列｛%｝为等差数列求

解即可，方法二：利用已知条件先求出，；

（2）由（1）结合已知条件建立方程，解出方程进行分析即可.

【详解】（1）由已知得：2Sn=a„-a^,

方法一：当〃22时，2S„_,=a„_!-a,,,两式相减的2a“=a“（％-1）,

因为a“#0，所以当“22时，an+l-a„,t=2.

又由2S〃=a“•％+］,当〃时，％=2.

若｛。“｝为等差数列，则/M-a“T=2d,所以公差［=1,则q=l.

方法二：由2S,=%・《,+1,当"=1时，a,=2.

当〃=2时，2s2=牧％，又的=2,且数列｛叫为等差数列，

所以得4+2=43=%+24,.=1,%=1.

则知=〃,S,,=磅罗，符合题意，所以q=l.

（2）令2=。2,-1+"2"，则”=q+2（"—l）+2〃=4〃+q—2,

2A+42k+7

由得（必+4-2）2・3「丁=（4"+7+2）（4%+4+6>3一丁，

化简得3（4%一2）2=（"+《+2）（必+《+6）.

令4k+4=t,贝ij3a-2）2=（1+2）«+6）解得/=0或，=10,

因为％eN*,q>0,所以4%+q=0无解，

4%+［=10得：上：或［：=；.

［左=1［%=2

22.已知双曲线C:1-4=l（a>0力>0）,斜率为1的直线过双曲线C上一点4（2百,0）交该

ab

曲线于另一点5,且线段48中点的横坐标为迈.

2

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知点M（s,〃）为双曲线c上一点且位于第一象限，过〃作两条直线4,4,且直线4,4均

与圆/+3-”）2=］相切.设《与双曲线c的另一个交点为P,。与双曲线c的另一个交点

为。，则当iP0i=8jrr时，求点"的坐标.

【正确答案】（1）［-F=1

W用或普甯

【分析】（1）根据题意可求得B点坐标,将48代入双曲线方程,解方程组,求得/=3,〃=1,

可得答案:

（2）由题意设出44的方程，和双曲线方程联立，利用根与系数的关系求得P,。的坐标,

继而可得1尸。|的表达式，由|尸。卜8万可列出关于机，〃的方程，解方程求得见”，即得答

案.

【详解】（1）因为力（2百,W），且N8中点的横坐标为迈，所以8（石,丹）,

又因为直线的斜率为1,即袈杀=1,.』=0,所以点3（退,0）,

3

121

后-i

滔

点48坐标代入双曲线方程，得;O

/-*1

a2

2

所以双曲线方程为工-_/=].

3

另解：设力（不必）,3（工2，%），由已知条件可得直线/:^-百=工-2百,

x-JL