2022届普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟试题(三)理

普通高等学校招生全国统一考试摹拟试题

理科数学（三）

本试卷满分150分，考试时间。120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务势必自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题纸上，

写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

一、选择题：本题共12小题。每小题5分。共60分.在每小题给出的四个选项中。惟独一

项是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位，则下列运算结果为纯虚数是

A.（1+i）i-|i|B,（1-i）i-i||c.（1+i）i+1—D.G-i）i+l^i

2.已知集合A=4，B=（x|ax-1=0},若B三A,则实数a的取值集合为

A.fol}B,{-1,0）C,{-1,1}D.{-1,0,1}

3.已知某科研小组的技术人员由7名男性和4名女性组成，其中3名年龄在50岁以上且均

为男性.现从中选出两人完成一项工作，记事件A为选出的两人均为男性，记事件B为选出

的两人的年龄都在50岁以上，则PlB|A/的值为

1345

A.—B.—C.—D.—

7777

4.运行如图所示的程序框图，当输入的m=l时，输出的m的结果为16,则判断框中可以填

A.m<15?B.m<16?c.m>15?D.m>16?

5.已知双曲线--1（a>0,b>0）,F,F是双曲线的左、右焦点，A（a,0）,P为双

a2b212

曲线上的任意一点,若SPFA=2SPM,则该双曲线的离心率为

12

A.「2B.2C.«3D.3

6.若a>l>b>0,-l<c<0,则下列不等式成立的是

A.2b<2-aB.logb<log(-C)c.a2<b2D.C2<loga

abb

7.已知等差数列!a!的前n项和为S,且a+a=io,若点p(a,S)在函数y=mxa的

nn2435

图象上。则过点P（a,S）的切线方程为

35

A.x-y+20=0B.x+y-30=0c.10x-y-25=0D.10x+y-75=0

[x<t

8.已知实数x,y满足不等式组<x+y22,其中t=2J-sinxdx，则X2+y2的最大值

x-2y+2>0°

是

20

A.5B.25C.20D.—

9

9.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，题中描绘的器具的三视图如图

所示（单位：寸）.若在某天某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6寸，则这天该地的

降雨量约为（精确到0.01寸）（注：平地降雨量等于器具中积水体积除以器具口面积.参考

公式：台体的体积v=i/s+s+js6）,其中s,s分别表示上、下底面的面积，

3上下v上下上

h为高)

A.1.56寸B.1.66寸C.1.76寸D.1.86寸

10.如图，在所有棱长均为a的直三棱柱ABC-ABQ产，D,E分别为BB,A£的中点，则异

面直线AD,CE所成角的余弦值为

V314

B.三D

2。5-5

11.如图，由抛物线y2=8x与圆E：（x-21+y2=9的实线部份构成图形。，过点P（2,

0）的直线始终与图形£2中的抛物线部份及圆部份有交点，则|AB|的取值范围为

A.[2,3]B.[3,4]C.[4,5]D.[5,6]

12.已知函数f(x)=sin(cox-Mp)(o>的图象与X轴的两个相邻交点分别为0,

1

0（其中0在（）的右边），曲线f（X）上任意一点A（X,y）关于点（），（）的对称点分别为

22i0012

A（x,y）,A（x,y）,且x|=几，且当x=-^时，有y」.记函数f（x）的导函

111222210602

数为f,（x）,则当3/Z以）一方（以）=1时，COS2以的值为

A.—B.-C.—D.1

432

二、填空题：本题共4小题.每小题5分.共20分.

13.在AABC中，D为BC边上的一点，BD=2DC，若AD=入AB+ll|AC（A,LLJ仁R）,则

入+山=.

14.已知正项等比数列｛a｝的前n项和为S，且a=1,a=4a,若对任意rd二N*,不等

nn153

式S+a—k之o（k仁Z）恒成立，则实数k的最大值为.

nn

15.已知函数fG）是定义域为R的偶函数，对于任意的实数X,都有

f（x）—f（2）=f（4—x）,且当0共x<2时，f（x）=（x—2）2,则方程f（x）一吗忸=0

的解的个数为.

16.甲、乙、丙、丁四人进行选择题解题比赛，已知每一个选择题选择正确得5分，否则得

0分.其测试结果如下：甲解题正确的个数小于乙解题正确的个数，乙解题正确的个数小

于丙解题正确的个数，丙解题正确的个数小于丁解题正确的个数；且丁解题正确的个数的

2倍小于甲解题正确的个数的3倍，则这四人测试总得分的至少分数为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题.

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（12分）

在△ABC中，角A,B,c所对的边分别为a,b,c,m=（cosA+sinA,cosC）,n=（—sinC,

cosA—sinA）,m.n=-y/~2.

（1）求角B的大小；

几，、

⑵若C=f,b=2,求。.

3SABC

18.（12分）

某科研单位在改进某种材料配方的过程中，为了解其稳定性，需监控配制生产过程中的数据

变化，检验员每天从实验记录的数据中随机抽取10个数据，并认为数据在正常状态下服从

正态分布N（山，（2）

⑴假设实验状态正常，记X为一天内抽取的10个数据在(山一3(,L1I+3()外的实验次数，

求P(X>1)及x的数学期望.

⑵一天内抽检的数据中，如果浮现了数据在(山—3(,山+3()外的实验，就认为该实验存

在问题，需对当天的实验配方进行调整.

(i)试说明上述监控实验过程方法的合理性.

(ii)下面是检验员在一天内抽取的10个实验的数据：

2.953.122.963.012.98

2.913.133.022.222.04

经计算得X■三1X1°X=2.834,S=JJ靛；一叫I必36

,其中x.

10i

为抽取的第i次实验数据，i=1,2,...,10.

用样本平均数♦作为山的估计值H,用样本标准差s作为(的估计值。，利用估计值判断

是否需对当天的实验配方进行调整(精确到0.01).

附：若随机变量Z服从正态分布N(山,(2),则P(山一3(想Z想山+3()必0.9973,

0.9973。必0.973.

19.(12分)

如图①，在四边形PBCD中，PB〃CD,三PBC=45,点A在边PB上，且满足2PA=3AB,AB=2CD,

AB=J1C,0为AC的中点.现将4PAD沿AD翻折，使平面PAD,平面ABCD,如图②所示.

(1)证明：BC1P0.

9

(2)点E在线段BC上，则是否存在点E,使二面角G-P0-E的余弦值为一?若存在，求出

点E的位置；若不存在，请说明理由.

20.(12分)

已知椭圆C：*++'=也>b>0)-四点P」1,1),P(2,0),P(|(-1,|))|,P(|(h2))|中恰有

三点在椭圆c上.

(1)求椭圆C的标准方程.

⑵己知动直线1过椭圆C的右焦点F,且与椭圆C交于A,B两点，则在x轴上是否存在定

135

点Q,使得OA.QB=-一恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

64

21.(12分)

已知函数f(x)=In(ax+1)+J_(a>0).

2x

⑴当a=1时，求函数f(x)的单调区间；

⑵设g(x)=x+_L若3x=[l,e],使得f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围.

2x00o

(二)选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在平面直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为〈［(t为参数).以坐标原点0

I_a±2

「a-2t

为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为p=2cos9.

⑴写出直线1的普通方程和圆C的参数方程；

⑵若直线1与圆C相切于点P,求点P的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知函数f（x）=|2x+1+|x_2|.

⑴当x=［_2,3］时，求函数f（X）的值域M.

⑵若a>0,证明：|x+2&+x_」L之3.

a2

理科数学（三）

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在点P的切核的M・为，・・，・2X5・K）.jW以在点

川5.2$>的切线方萼为》-2$一10（上一5）・郎y-10x

aaac.

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（11分）

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又*L2M5•得d»2^0«，・♦丁・厂8仇》・〃!••・

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