人教A数学必修三教案学案1.1.1 算法的概念

1.1.1算法的概念

【教学目标】

1.了解算法的含义，体会算法的思想。

2.能够用自然语言叙述算法。

3.掌握正确的算法应满足的要求。

【重点与难点】

教学重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

教学难点：把自然语言转化为算法语言。

【教学过程】

1.情境导入：

算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算

法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘

除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具

体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，

解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。

2.探索研究

算法(algorithm)—•词源于算术(algorism),即算术方法，是指一个由己知推求未知的

运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说

明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法.在数学中，主要研究计算机能实现的算

法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函

数求值的算法、作图的算法，等等。

3.例题分析

例1.任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。

解析：根据质数的定义判断

解：算法如下：

第一步：判断n是否等于2,若n=2,则n是质数；若n>2,则执行第二步。

第二步：依次从2至(nT)检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则

n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。

这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。

点评：通过例1明确算法具有两个主要特点：有限性和确定性。

变式训练1：一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两只动

物.没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊.请设计过河的算

法。

解：算法或步骤如下：

S1人带两只狼过河；

S2人自己返回；

S3人带一只羚羊过河；

S4人带两只狼返回；

S5人带两只羚羊过河；

S6人自己返回；

2

S7人带两只狼过河；

S8人自己返回；

S9人带一只狼过河.

2x+y=7

例2给出求解方程组1'的一个算法.

4x+5y=11

解析：解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法，这两种方法没有本质的差别，

为了适用于解一般的线性方程组，以便于在计算机上实现，我们用高斯消元法(即先将方程

组化为一个三角形方程组，在通过回代过程求出方程组的解)解线性方程组.

解：用消元法解这个方程组，步骤是：

第一步：方程①不动，将方程②中x的系数除以方程①中x的系数，得到乘数m=24=2；

2

第二步：方程②减去〃，乘以方程①，消去方程②中的x项，得到

2x+y=7

〈；

3y=—3

第三步：将上面的方程组自下而上回代求解，得到y=-1,x=4.

所以原方程组的解为《

y=-1

点评：通过例2再次明确算法特点：有限性和确定性

变式训练2:写出求过两点M(-2,T)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。

解：算法：第一步：取为=-2,yp-1,xz-2,度=3；

第二步：计算上»=土玉；

必一必々一再

第三步：在第二步结果中令下0得到y的值m,得直线与y轴交点(0,m)；

第四步：在第二步结果中令片0得到x的值n,得直线与x轴交点(n,0)：

第五步：计算

2

第六步：输出运算结果

例3用二分法设计一个求解方程x2-2=0的近似根的算法。

算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超

过0.005,则不难设计出以下步骤：

第一步：令f(x)=x：-2。因为f(l)<0,f(2)>0,所以设xi=l,X2=2»

第二步：令m=(x,+x2)/2,判断f(m)是否为0,若则，则m为所长；若否，则继续判断

f(xi)•£加)大于0还是小于0。

第三步:若f(xi)•f(m)>0,则令xi=m；否则，令X2=m。

第四步：判断|x「xj<0.005是否成立？若是，则xi、xz之间的任意取值均为满足条件的近

似根；若否，则返回第二

点评：渗透循环的思想，为后面教学做铺垫。

变式训练3给出求1+2+3+4+5的一个算法.

解：算法1按照逐一相加的程序进行.

第一步：计算1+2,得到3；

第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；

3

第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；

第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15.

算法2运用公式1+2+3+.+〃="S+D直接计算.

2

第一步：取〃=5；

第二步：I十算一^——

2

第三步：输出运算结果.

算法3用循环方法求和.

第一步：使5=1,；

第二步：使/=2；

第三步：使S=S+/；

第四步：使/=/+1；

第五步：如果/W5,则返回第三步，否则输出S.

点评：一个问题的算法可能不唯一.

4.回顾小结

1.算法的概念：对一类问题的机械的、统一的求解方法.算法是由基本运算及规定的运

算顺序所构成的完整的解题步骤，或者是按照要求设计好的有限的计算序列，并且这样的步

骤或序列能解决一类问题.

2.算法的重耍特征：

(1)有限性：一个算法在执行有限步后必须结束；

(2)确定性：算法的每一个步骤和次序必须是确定的；

(3)输入：一个算法有0个或多个输入，以刻划运算对象的初始条件.所谓0个输入是指

算法本身定出了初始条件.

(4)输出：一个算法有1个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果.没有输出的

算法是毫无意义的.

5.课后作业

写出求1+,+,++」一的一个算法

23100

解：第一步：使S=l,；

第二步：使/=2；

第三步：使”=—；

I

第四步：使s=s+〃；

第五步：使/=/+1;

第六步：如果/K100,则返回第三步，否则输出S.

4

1.1.1.算法的概念

课前预习学案

一、预习目标：了解算法的含义，体会算法的思想。

二、预习内容：

1.算法的概念及其特点

2.判断一个数为质数的算法设计

三、提出疑惑：如何快速准确的写出一个问题的算法？

课内探究学案

一、学习目标：

1.了解算法的含义，体会算法的思想；

2.能够用自然语言叙述算法；

3.知道算法应满足的要求。

二、学习重点：算法的含义、判断一个数为质数的算法设计。

学习难点：把自然语言转化为算法语言。

三、学习过程：

（一）、自主学习：

1.算法的概念

2.算法的重要特征：

（二）、例题分析：

例1.任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定

变式训练1：一个人带三只狼和三只羚羊过河，只有一条船，同船可以容纳一个人和两

只动物.没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊.请设计过河

的算法。

例2给出求解方程组1'的一个算法.

4x+5y=11

变式训练2：写出求过两点M（-2,-l）、N（2,3）的直线与坐标轴围成面积的一个算法。

例3用二分法设计一个求解方程x2-2=0的近似根的算法。

变式训练3给出求1+2+3+4+5的一个算法

（三）、回顾小结：

（1）算法的概念

（2）算法的重要特征

（四）、当堂检测：

写出求1+,+,++」一的一个算法

23100

解：第一步：使S=l,；

第二步：使/=2；

第三步：使〃=1；

I

第四步：使5=5+”；

第五步：使/=/+1；

第六步：如果/W100,则返回第三步，否则输出S.

课后练习与提高:

1.下列关于算法的说法中，正确的是（）.

A.算法就是某个问题的解题过程B.算法执行后可以不产生确定的结果

C.解决某类问题的算法不是惟一的D.算法可以无限地操作下去不停止

5

2.有一堆形状大小相同的珠子，其中只有一粒质量比其他的轻，某同学利用科学的算法,

两次利用天平找出这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有多少粒（）

A.4B.5