2022-2023学年辽宁省沈阳六十九中八年级（上）期末数学试卷（附答案详解）

2022-2023学年辽宁省沈阳六十九中八年级（上）期末数学试卷

1.下列不等式一定成立的是（）

47

A.4a>3aB.-a>-aC.-a>-3aD.3-x<4—x

2.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）

A.x(a-b)=ax-bxB.x2-1+y2=(x—1)(%+1)+y2

C.x2—1=(x+1)(%-1)D.ax+bx+c=x(a+b)+c

3.已知实数x,y满足|久-4|+"^§=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长

是（）

A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对

4.如果分式岩的值为零，那么x等于（）

A.1B.-1C.0D.±1

5.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）

A.a2+（—b）2B.5m2—20mC.—x2—y2D.-x2+9

6.如图，等腰△ABC中，AB=AC,NB=40。，AC边的垂直平分线交8c于点E,连接AE,

则/BAE的度数是（）

A.45°D.60°

7.如图，一次函数为=x+b与一次函数=kr+4的图象交于点P（l,3）,则关于x的不等

式％+b>kx+4的解集是（）

C.x>1D.x<1

8.如图，将A/IBE向右平移2a〃得到△DCF,如果△ABE的周长是16cw,那么四边形ABED

的周长是（）

D

B

A.16cmB.18(772C.20cmD.21cm

9.如图，在△ABC中，ZC=90",ABAC=70°,将△ABC绕点A顺时针旋转70。，B,C旋

转后的对应点分别是B'和C',连接BB',则zBB'C'的度数是（）

C.45°D.50°

10.如图，。为等边三角形ABC内的一点，D4=5,DB=4,

DC=3,将线段以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线

段4。'，下列结论：

①点。与点D'的距离为5；②X力CD'可以由△48。绕点A逆时

针旋转60。得到;③4DC=150°；④点。至IJCD'的距离为3；

⑤S四边形ADCD，=6+竿’

其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

11.分解因式：_16。=.

12.若不等式（m-2）x>1的解集是4<高，则根的取值范围是.

13.一个等腰三角形的一个角为80。，则它的顶角的度数是.

14.商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过

5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折.如果用27元钱，最多可以购

买该商品的件数是.

15.不等式组产］一1有3个整数解，则〃，的取值范围是.

16.如图，王虎将一块长为4cm,宽为3cvn的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时

针方向）木板上点A位置变化为AT&T人2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木

板与桌面成30。角，则点A翻滚到&位置时共走过的路径长为.

信+1<2(久-1)

17.解不等式组：EI

匕一丁>1

18.把下列各式因式分解:

(l)9a2(x—y)+4b2(y—%)

(2)(x2y2+l)2—4x2y2

(1)化简：^^5+(%_2+击)一亡；

19.

(2)化简并求值：署一告，其中》=一去

20.在如图所示的正方形网格中，AABC的顶点均在格点上，请在所给的平面直角坐标系中:

按要求作图并完成填空:

(1)作出△ABC向下平移5个单位的44位(?1，写出点当的坐标；

(2)作出△4B1G绕点。逆时针旋转90。的△々为。?，写出点心的坐标.

21.(1)把一个多项式写成两数和(或差)的平方的形式叫做配方法.

阅读下列有配方法分解因式的过程：

a2+10a+9=Q?+2x5。+52—52+9

=(a+5)2-42

=(a+5+4)(Q+5—4)

=(G+9)(Q+1)

仿照上面方法，将下式因式分解/-6%-27；

(2)读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：l+x+x(x+l)+x(x+l)2

=(1+x)[l+X+x(x+1)]

=(1+x)2(l+%)

=(1+x)3

①上述分解因式的方法是,共应用了次.

②若分解1+x+x(x+1)+久(x+1)2H-----Fx(x+I)2004,则需应用上述方法次，结

果是•

③分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+I)2d-----\-x(x+l)"(n为正整数).

22.如图，在AABC中，4B=4C,点。是BC的中点，点E在上.求证：BE=CE(要

求：不用三角形全等的方法)

23.某物流公司承接4、B两种货物运输业务，已知5月份4货物运费单价为50元/吨，B

货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A

货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的4种货物和B种数量与5月份相同，

6月份共收取运费13000元.

(1)该物流公司5月份运输两种货物各多少吨？

(2)该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在

运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？

24.如图，在RtZiABC中，N4=30°,点。为AB中点，点尸为直线BC上的动点(不与点B、

点C重合)，连接。C、OP,将线段0尸绕点尸顺时针旋转60。，得到线段尸Q,连接BQ.

(1)如图1,当点尸在线段8c上时，请直接写出线段8Q与CP的数量关系；

(2)如图2,当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立,

请说明理由.

(3)如图3,当点P在BC延长线上时，若4BPO=15。，QP=4,请求出BP的长.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A、当Q=0时，4Q=3Q=0,故本选项错误；

B、当a=0时，分式±、之均无意义；故本选项错误；

aa

C、当a=0时，-a=-3a=0；故本选项错误；

D、•:3<4,

•••不等式的两边同时减去x,不等式仍然成立，即3-x<4-x；

故本选项正确.

故选：D.

根据不等式的基本性质可知：当a=0时，A、B、C都是错误的，故可判定。正确.

本题主要考查了不等式的基本性质.“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密

切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱.不等式的基本性质：

(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.

(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.

(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.

2.【答案】C

【解析】

【解答】

解：A、是整式的乘法运算，故选项错误；

8、右边不是整式乘积的形式，故选项错误；

C、—1=(%+l)(x-1),正确；

。、右边不是整式乘积的形式，故选项错误.

故选：C.

【分析】

根据因式分解的定义作答.因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，熟练地掌握因式

分解的定义是解题关键.

3.【答案】B

【解析】解：根据题意得，x-4=0,y-8=0,

解得x-4,y=8.,

(1)若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8,

不能组成三角形；

(2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8,

能组成三角形，周长为4+8+8=20.

故选：B.

根据绝对值、算术平方根的非负性求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解.

本题考查了绝对值、算术平方根的非负性、等腰三角形的概念及三角形三边关系；根据题意列出

方程是正确解答本题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：•••分式叫的值为零，

X—1

・产|一1=0

"lx-10'

解得x=-1.

故选：B.

根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可.

本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答

此题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：A、a2+(-b)2,无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；

B、5m2-20m=5m(m-4),无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；

C、-x2-y2,无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；

D、-x2+9=(3-x)(3+x),符合题意，故此选项正确.

故选：D.

直接利用平方差公式分解因式进而得出答案.

此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键.

6.【答案】D

【解析】解：,:AB=AC,Z.B=40°,

乙B=Z.C=40°,

・・・乙BAC=180°一(B—KC=100°,

又•••4C边的垂直平分线交BC于点E,

AE=CE,

Z.CAE=z.C=40°,

・•・乙BAE=乙BAC-Z-CAE=60°.

故选：D.

由于AB=AC,NB=40。，根据等边对等角可以得到NC=40。，又4c边的垂直平分线交BC于点

E,根据线段的垂直平分线的性质得到AE=CE,再根据等边对等角得到NC=40。=NC4E,再根

据三角形的内角和求出ZBAC即可求出NBAE的度数.

此题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质；利用角的等量代换是正确解答本题的

关键.

7.【答案】C

【解析】解：当x>l时，x+b>kx+4,

即不等式x+b>kx+4的解集为x>1.

故选C.

观察函数图象得到当x>1时，函数y=x+b的图象都在y=kx+4的图象上方，所以关于x的不

等式x+b>kx+4的解集为x>1.

本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值

大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（

或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

8.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了平移的性质有关知识，先根据平移的性质得到EF=AD=2cm,AE^DF,而4B+

BE+AE=16cm,则四边形A8FD的周长=48+BE+EF+。尸+40,然后利用整体代入的方

法计算即可.

【解答】

解：•••△4BE向右平移2cm得到△DCF,

■.EF=AD=2cm,AE=DF,

,.,△4BE的周长为16cm,

•••AB+BE+AE=16cm,

四边形A8FD的周长为

AB+BE+EF+DF+AD

=AB+BE+AE+EF+AD

=16cm+2cm+2cm=20cm.

故选C.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

首先在AABB'中根据等边对等角，以及三角形内角和定理求得NABB'的度数，然后在直角ABB'C

中利用三角形内角和定理求解.

本题考查了旋转的性质，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键.

【解答】

解：AB=AB',

."ABB，=乙AB,B=幽一:幽=^9：=55。，

在直角ABB'C中，£BB'C=90°-55°=35°.

故选4

10.【答案】C

【解析】解：连结如图，

••・线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60。得到线段4D',

•••AD=AD',Z.DAD'=60",

・•.△ADD'为等边三角形,

；.DD'=5,所以①正确；

「△ABC为等边三角形，

AB=AC,乙BAC=60°,

.,•把△A8D逆时针旋转60。后，A8与AC重合，AO与AD'重合，

4CD'可以由△ABD绕点、A逆时针旋转60。得到，所以②正确;

D'C=DB=4,

•••DC=3,

在中，

v32+42=52,

•••DC2+D'C2=DD'2,

••.△DD'C为直角三角形，

Z.DCD'=90°,

「△ADD'为等边三角形，

/.ADD'=60°,

^ADC150°,所以③错误；

•••乙DCD'=90。，

•••DC1CD',

二点。至UCD'的距离为3,所以④正确；

7SXADD，+S^D，DC

=—T—X52+5X3X4

4L

=6+罕，所以⑤正确.

故选：C.

连结DD',根据旋转的性质得力D=AD',Z.DAD'=60°,可判断△为等边三角形，则=5,

可对①进行判断；由△ABC为等边三角形得到AB=AC,Z.BAC=60",

则把△ABD逆时针旋转60。后，A8与AC重合，AO与4。重合，于是可对②进行判断；再根据勾

股定理的逆定理得到△DD'C为直角三角形，则可对③④进行判断；由于

S四边称DCD'=S“ADD'+SWDC,利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对⑤

进行判断.

本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中

心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理.

11.【答案】a(a+4)(a-4)

【解析】解：a3-16a,

—a(a2—16),

=a(a+4)(a—4).

先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.平方差公式:-炉=缶+6)(a-

b).

本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，难点在于需要进行二次分解.

12.【答案】m<2

【解析】分析：本题主要考查不等式的性质，解不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的

性质和解集得出m-2<0是解此题的关键.

根据不等式的性质和解集得出m-2<0,求出即可.

解：•.,不等式(m-2)x>1的解集是％<3^，

m-2<0,

即m<2.

故答案为?n<2.

13.【答案】80°或20。

【解析】解:(1)当80。角为顶角,顶角度数即为80。；

(2)当80。为底角时，顶角=18为一2义80°=20°.

故答案为：80。或20。.

等腰三角形一内角为80。，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况.

本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角

的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.

14.【答案】10

【解析】解：设可以购买x件这样的商品.

3x5+(%—5)x3x0.8<27

解得x<10,

••.最多可以购买该商品的件数是10.

关系式为：5件按原价付款数+超过5件的总钱数W27.

找到相应的关系式是解决问题的关键.注意能花的钱数应不大于有的钱数.

15.【答案】2<加W3

【解析】

【分析】

本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等

式的解集，再求出这些解集的公共部分即为不等式组的解集，解集的规律：同大取大；同小取小；

大小小大中间找；大大小小找不到.

首先确定不等式组的整数解，然后根据只有这三个整数解即可确定.

【解答】

解：•.•不等式组仔JT有3个整数解，

，不等式的整数解是0,1,2.

:.ni的取值范围是2<W3.

故答案是：2<m<3.

16.【答案】^ncm

【解析】解:木块长为4cm,宽为3cm,则对角线A3长为5CM,

点A翻滚到公位置时，共走过的路径长是二段弧的弧长之和，第一次的旋转是以3为圆心，AB

为半径，旋转的角度是90度，第二次是以C为圆心，AC为半径，旋转的角度是60度，

根据弧长公式，可得：，=警+鬻=<7r(cm).

loUloUZ

故答案为

点A翻滚到上位置时，共走过的路径长是二段弧的弧长之和，第一次的旋转是以B为圆心，AB

为半径，旋转的角度是90度，第二次是以C为圆心，4C为半径，旋转的角度是60度，所以根据

弧长公式可得.

本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是找准所旋转的弧的圆心和半径及圆心角

的度数，有一定的难度，注意仔细观察.

17.【答案】解：解不等式5+1<2。-1),得：x>2,

解不等式楙—日^>1,得：x>8,

则不等式组的解集为％>8.

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大

大小小无解了确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大：同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

18.【答案】解：(l)9a2(x-y)+4fe2(y-x)

=(x-y)(9a2—4Z?2)

=(%—y)(3a+26)(3a—2b)；

(2)(x2y2+l)2-4x2y2

=(x2y2+1+2xy)(x2y24-1—2xy)

=(xy-1)2(盯+l)2.

【解析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

(1)首先提取公因式Q-y),再利用平方差公式分解因式得出答案：

(2)首先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案.

19•【答案】解：(1)()蓝-1)+(%-2+京)•■白

%+1x2-431

一(x+2)(x-1)'(%+2+%+2)1-x

%+1x2-4+31

-(%+2)(%—1)x+21—%

_%+1X2—11

一(%+2)(%—1)•x+21—%

_x+1(%+1)(%—1)1

(x+2)(x-1)x+21-x

_x+1x+21

-(%+2)(x—1)(%+1)(%—1)1—%

_J._]

"(%-l)2+%~1

l+x-l

x2—1

x

二目;

3(X+1)2

(%+l)(x—1)x-1

32

~x—1%—1

1

=—.

x-l

113

当x=-§时，原式=n77=一不

【解析】(1)根据分式的混合计算法则求解即可；

(2)先约分，然后根据同分母分式减法化简，最后代值计算即可.

本题主要考查了分式的混合计算，分式的化简求值，正确计算是解题的关键.

20.【答案】(—4,—1)(—4,2)

【解析】解：(1)如图所示.Bi(—4,-1).

故答案为(一4,一1).

(2)的44282c2即为所求，点&的坐标为(一4,2),

故答案为(一4,2).

(1)分别作出A,B,C的对应点儿,Bi，G即可.

(2)分别作出为,Bi，G的对应点4，殳，即可.

本题考查作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

21.【答案】提公因式法22004(1+x)20°5

【解析】解:(l)x2-6x-27=x2-2x3x+32-32-27=(%-3)2-62=(%-3+6)(x-3-

6)=(x+3)(x-9)；

(2)①上述分解因式的方法是提取公因式，共应用了3次；

故答案为：提取公因式，2；

②若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2。。4,则需应用上述方法2004次,结果是(1+

X)2005,

故答案为：2004,(1+x)2005；

③由题意知：1+X+X(X+1)+X(X+1)2H---|-x(x+l)n

=(1+x)[l+X+x(x+1)1---Fx(x+l)n-1]

=(1+x)2[l+x+x(x+1)-I---Fx(x+l)n-2J...

=(1+x)n(l+%)

=(1+x)n+1.

(1)仿照材料中的方法，利用配方法、平方差公式进行因式分解；

(2)观察可知，材料中采用了提取公因式法分解因式，1+%++1)++1)2+…+x(x+1)"

经过(n+1)次提取公因式，可得(l+x)n+l.

本题主要考查分解因式，解题的关键是看懂材料，能够仿照材料中的方法求解.

22.【答案】证明：•••4B=4C,点。是BC的中点，

:.AD1BC,BD=CD,

：.BE=CE.

【解析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论.

本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关

键.

23.【答案】解：(1)设4种货物运输了x吨，设8种货物运输了y吨，

依题意得,第:深龈

解之得:〔二博・

答：物流公司月运输A种货物100吨，8种货物150吨.

(2)设A种货物为a吨，则B种货物为(330-a)吨，

依题意得：a<(330-a)x2,

解得：a<220,

设获得的利润为W元，则勿=70a+40(330-a)=30a+13200,

根据一次函数的性质，可知W随着“的增大而增大

当W取最大值时a=220,

即W=19800元.

所以该物流公司7月份最多将收到19800元运输费.

【解析】(1)设A种货物运输了x吨，设8种货物运输了y吨，根据题意可得到一个关于x的不等

式组，解方程组求解即可；

(2)运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解.

本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组以及一次函数性质的应用，将现实生活中的

事件与数学思想联系起来，读懂题意列出方程组和不等式即可求解.

24.【答案】解：(1)CP=BQ,理由如下:

如图1所示，连接CP=BQ,

由旋转知，PQ=OP,Z.OPQ=60°,

••.△POQ是等边三角形，

OP=OQ,乙POQ=60°,

在Rt△力BC中，。是A8中点，

OC=OA=OB,

••/.A=Z.OCA,

：.Z.BOC=Z.A+Z.OCA=60°=Z.POQ,

••/.COP=/.BOQ,

在^BOQ中，

(OC=OB

乙COP=4BOQ,

OP=OQ

：.4COPdBOQ(SAS),

：.CP=BQ；

图1

(2)(1)中结论仍然成立，理由如下：

如图1所示，连接C