2023-2024学年人教版数学九年级下册章节真题汇编 相似（拔高卷）教师版

2023-2024学年人教版数学九年级下册章节真题汇编检测卷（拔高）

第27章相似

考试时间：120分钟试卷满分：100分难度：较难

一.选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1.（本题2分）（2023怏西榆林校考三模）如图,在等边一ABC中，点9E分别在边BC,AC上，ZADE=60°,

若40=4,畀=],则DE的长度为（）

C七2

48

A.1B.—C.2D.—

33

【答案】D

【分析】利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论.

【详解】解：..ABC为等边三角形，

.\ZB=ZC=60°.

/.ZADB+ZBAD=180°-ZB=120°.

ZADE=60°,

:.ZADB^ZEDC=1SO°-ZADE=12O°,

ZADB+ZBAD=ZADB+ZEDC,

:./BAD=NEDC,

.•.ABAD^ACDE,

.BDAD

一~CE~~DE"

•4_3

,,一，

DE2

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角

形的判定与性质.

2.（本题2分）（2023春•吉林长春•八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的

底边8C在x轴的正半轴上，点A在反比例函数y」（x>0）的图象上，延长A3交》轴于点。，若OC=5C®,

X

BOD的面积为g,则k的值为（）

【答案】C

【分析】过/作丄x轴于〃，连接。4,根据OC=5OB,可得①f=2C®,证明ABH^^DBO,得出

*=1券"1=4,求出SABH=4SDB0=2,根据=求出SVA°B=〈SV旗^=1,得出

3DBOvOBJ2

s,曲=S3+S的=1+2=3,求出网=2SA.=6,根据反比例函数的图象在第一象限，即可求出A的值.

【详解】解：过/作AH丄x轴于〃连接。4,如图所示：

：_ABC是等腰三角形，AH丄x轴于〃,

BH=CH,

；OC=5OB,

：.BH=2OB,

VZABH=ZDBOfZAHB=ZDOB=90°9

・ABHS.DBO,

・・・.5OD的面积为

SABH=4SDBO=2，

,:BH=2OB,

=

•,Sy/AOB]S7ABH=1，

SAOH=SAOB+SABH=1+2=3，

k

9•A在反比例函数y=((%>0)的图象上，

，k|=2S,AOH=6，

..•反比例函数的图象在第一象限，

k=6,故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握反比例函数的

图像与性质，是解答本题的关键.

3.(本题2分)(2023春•安徽•九年级专题练习)如图，是。。的弦，半径OC与弦A3交于点〃，若

OD=BD=4,CD=2,贝!|AD=()

A.714B.4C.>/23D.5

【答案】D

【分析】

作OE丄A?于点£,。尸丄。8于点凡根据垂径定理得AE=3E,由已知得OC=O3=6,所以

。尸=8f=3。8=3,再证明，改办?比屮，得与=，，即台。；：，所以AB=28D=9,即可求出

AD=9-4=5.

【详解】

解：如图，作。石丄AB于点区DF丄OB于点居

,：OD=BD=4,CD=2,

OC=OB=6,

OF=BF=-OB=3,

2

VZB=ZB,ZOEB=ZDFB=90°,

BOEs二BDF,

.BEBO

・•茄一茄’

・BE_6

••=一,

34

・・.BE=~,

2

/.AB=2BE=9,

AD=9-4=5.

故选：D.

【点睛】

本题考查了垂径定理以及相似三角形的判定和性质等知识，证明.BOEs二瓦万是解题的关键.

4.（本题2分）（2023春•安徽•九年级专题练习）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点£在边AD上，

且OE=1.2XBEF是以£为直角顶点的等腰直角三角形，EF,即分别交CD于点弘N,过点尸作AD的

垂线交AD的延长线于点G.连接。尸，则下列结论错误的是（）

35

A.EF=屈B.DF=2A/2C.CN=《D.MN=~

【答案】D

【分析】根据AB=3,AE=2,由勾股定理得3E=JA£2+4g2=j3?+22=而,BE=EF=&^;证明

BAE£.EGF(AAS),得到AB=EG=3,AE=GF=2,于是DG=EG—DE=3-1=2,根据勾股定理

DF=yjDG2+GF2=722+22=20；过点尸作FH丄CD于点〃，证明四边形DGFH是正方形，得到DH=2,

CH=1,证明厶加Ns.CBN,DEMS,HFM,计算CN,HN,HM,计算求解即可.

【详解】解：A、：边长为3的正方形A3CD,DE=1,

：.AB=BC=CD=ZM=3,AEF,ZBAD=ZADC=ZBCD=90。,

BE=\lAE2+AB2=,3?+2?=V13-

,/△BEF是以£为直角顶点的等腰直角三角形，

，BE=EF=屈,

故该项正确，不符合题意；

B、：边长为3的正方形ABC。，FG1DG,

：.NBAE=NEGF=90。,

,：是以£为直角顶点的等腰直角三角形，

:.BE=EF,ZAEB+ZGEF^90°,

,：ZAEB+ZABE^90°,

：.ZABE=ZGEF,

.BAE^EGF(AAS),

AB=EG=3,AE=GF=2,

・・・DG=EG-DE=3-1=2,

DF=yjDG2+GF2=,2?+2?=2A/2，

故该项正确，不符合题意；

C、过点尸作丄CD于点〃,

•:/FHD=/HDG=/DGF=9伊,DG=FG=2,

・・・四边形DGFH是正方形，

:.DH=DG=2,CH=CD-DH=3-2=1,

VZBCN=ZFHN,ZBNC=ZFNH,ZEDM=ZFHM,ZEMD=ZFMH,

:・LHFNS-CBN,jDEMs厶HFM,

.CNCB3HMFH2

・•丽―丽-5，~DM~~DE~\"

・CN_3HM2

**CH-5*~HD~3J

.C7V_3HM2

・・=—，=-，

1523

34

：.CN=~,HM=—,

53

故该项正确，不符合题意；

34

D、•:CN=—,HM=—,

53

24

：.HN=~,HM=~,

53

MN=HN+HM=—+—=,

5315

故该项错误，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性

质，熟练掌握正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解

题的关键.

5.（本题2分）（2023春•安徽•九年级专题练习）如图，正方形ABC。的边长为2,延长CB至点£,BE=1,

连接。石交AB于点G,连接A石，并取A石的中点孔连接尸G并延长交于点〃，则FH=（）

AD

EBHC

A.2B.巫c.巫D.叵

3234

【答案】B

【分析】先作辅助线构造全等三角形，然后利用AAG4ABGE,从而求出EH的长，再过分作瓦（的垂线,

构造直角三角形，利用勾股定理即可求解.

【详解】解：延长ZM、HF相交于点弘如图：

“/D

■:

ENBHC

,・7是中点，

,AF=EF,

又,.・ZMAF=NHEF,ZAFM=ZHFE,

.・・_A™£EFH（ASA）,

：.AM=EH,

■:AD//EC,

・•・AGDsBGE,DMGsEHG,

.GDADDMGD

9,~GE~~BE,~EH~~GE'

DMAD2、

：.——=——=—=2,

EHBE1

：.DM=2EH,

又「DM=AM+AD=EH+AD=2EH,AD=2,

：.EH=2,

过尸作RV丄3E于点儿

二厂是中点,

FN=-AB=\,EN^-EB=~,

222

3

NH=EH-NE=-,

2

在RtAFNH中，FH=^FN2+NH2=—,

2

故选：B.

【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形、相似三角形的性质，解答过程中作辅助线是解题的关键.

6.（本题2分）（2023•江苏宿迁•校考三模）如图，平面直角坐标系中，长方形0LBC,点4C分别在y

轴，x轴的正半轴上，OA=6,0c=4,NDOE=45°,OD、OE分别交BC,AB于点以E,且8=2,

C.2D.2.5

【答案】C

【分析】如图，过点£作EF丄OE交OD延长线于点石过点尸作尸G1AB交AB延长线于点G,作FH丄BC

HFHD

于H,由“AAS”可证—AEO四_GEF,可得AE=GR,EG=AO=6,通过证明AODC^^FDH，可得发=五，

即可求解.

【详解】解：如图，过点6作EF丄OE交。。延长线于点尸，过点尸作FG丄交AB延长线于点G,作

FH丄BC于■H,

QNEOF=45°,EF丄EO,

\?EOF?EFO45?,

:.OE=EF,

?AOE?AEO90?,?AEO?GEF90?,

\?GEF2AOE,

在△AEO和△GEF中，

ZGEF=ZAOE

<ZOAE=ZG=90°,

OE=EF

\AEOWGE厂（AAS）,

:.AE=GFf石G=AO=6,

\BG=EG-BE=6-（4-AE\=2+AEf

HF八BC,?G?CBG90?,

・・・四边形5GF"是矩形，

\BH=GF=AE,BG=HF=2+AE,HF//BG//OC,

\HD=BD-BH=4-AE,

HF//OC,

\ODCsFDH,

.HFHD

,,加一百'

.2+AE_4-AE

•・―，

42

:.AE^2,

故选：C.

【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，

添加恰当辅助线是本题的关键.

7.（本题2分）（2022秋•广西桂林•九年级桂林市第一中学统考期中）如图，在正方形A3CD中，公BPC

是等边三角形，BP,CP的延长线分别交于点E,F,连接30,DP,3D与CF相交于点H,给出下

列结论：①BE=2AE；②△DFPs^BPH；③△PFQs△尸£岀；④。戸=p”.pc.其中正确的是（）

BA

A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④

【答案】C

【分析】由正方形ABCD,与△BPC是等边三角形的性质求解，求解/EBA=30。，从而可判断①；证明

NPFE=NBPC=60。,ZPBH=ZPDF=15°,可判断②；由

ZPBD=15°,ZBDP=30°,ZPDF=15°,ZPFD=60°,可判断③；证明/尸£汨=30°=再证明

DPPH

一PDHs-PCD,可得乐=器，从而可判断④.

【详解】解：正方形ABCD,

:.ZABC=ZA=ZBCD=ZADC=9Q°,CB=CD=AB,

△5PC是等边三角形，

...ZPBC=60°=ZPCB=/BPC,

/.ZEBA=90°-60°-30°,

•・BE=2AE,故①符合题意;

正方形ABCD,

:.ADIIBC,/CBD=45。,

.\ZPFE=ZPCB=60°,

ZPFE=NBPC=60°,

△5PC是等边三角形，

PC=BC=CD,

而ZPCD=90°-60°=30°,

ZCDP=1(180°-30°)=75°,

.\ZPDF=90°-75°=15°,

由ZPBC=60°,ZCBD=45°,

ZPBH=15°,

/.ZPBH=/PDF,

BPHsDFP,故②符合题意；

NPBD=15°,ZBDP=30°,/PDF=15°,ZPFD=60°,

PF2BPO不相似，故③不符合题意；

正方形ABCD,

,-.ZCDB=45°,

ZPDH=90°—45°-15°=30°=NPCD,

ZDPH=ZCPD,

PDHs..pcD,

DPPH

一而一而‘

DP2=PH-PC,故④符合题意，

综上：符合题意的有：①②④.

故选：C.

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，含30。的直角三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定

与性质，掌握以上知识是解题的关键.

8.（本题2分）（2023春•山东潍坊•八年级统考期末）如图，在ABC中，ZACB=90°,AC=BC=1,E、

产为线段上两动点，且NECF=45。，过点£、尸分别作比；/C的垂线相交于点四垂足分别为吊G.以

下结论错误的是（）

A.AB=42B.当点£与点8重合时，MH=；

C.AF+BE=EFD.MGMH=-

2

【答案】C

【分析】A由题意知，一ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断;

B如图1,当点6与点6重合时，点〃与点6重合，可得MG〃3C,四边形MGCB是矩形，进一步得到尸G

是△ACB的中位线，从而作出判断；

C如图2所示，根据SAS可证.ECF与ECD,根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；

D易证△ACEs△班匕，根据相似三角形的性质可得隹.3尸=4。3。=1,由题意知四边形CHMG是矩形，

再根据平行线的性质和等量代换得到MG-MH=—AEx—BF=-AE-BF=-AC-BC^~,依此即可作

22222

出判断.

【详解】解：由题意知，一ABC是等腰直角三角形，

AB=VAC2+BC2=A/2，故A正确；

如图1,当点£与点6重合时，点〃与点力重合，

：.MBrBC,ZMBC=90°,

'：MG±AC,

/.NMGC=90°=NC=NMBC,

AMG//BC,四边形MGCB是矩形，

：.MH=MB=CG,

,：ZFCE=45°=ZABC,ZA=ZACF=45°,

CF=AF=BF,

...刀G是"CB的中位线，

AGC=-AC=MH,故B正确；

2

如图2所示,

图2

•・,AC=BC,ZACB=90°,

ZA=Z5=45°.

将AAC尸绕点。顺时针旋转90°至

则CF=CD,Z1=Z4,ZA=/6=45°,8。=AF；

•/N2=45°,

・・・N1+N3=N3+N4=45°,

:.NDCE=Z2.

CF=CD

在△£*€户和aECD中，\Z2=ZDCE

CE=CE

:・LECF込厶ECD(SAS),

・•・EF=DE.

•・•N5=45°,

J/DBE=9(f,

ADE2=BD2+BE2即石尸2=4b2+B石2,故c错误;

*.*Z7=Zl+ZA=Zl+45°=Z1+Z2=ZACE,

•・Z=N5=45°,

/\ACEs/\BFC,

.AEAC

**BC-BF'

：.AEBF=ACBC=\,

由题意知四边形CHMG是矩形,

/.MG//BC,MH=CG,MH//AC,

.CHAECGBF

"BC-AB；AC-AB'

MGAEMHBF

即7=五7=g'

：.MG=—AE,MH=—BF,

22

/.MG*MH=—AEx—BF=-AE-BF=-AC*BC=-,

22222

故D正确.

故选C.

【点睛】此题是三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，

矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性

质，综合性较强，有一定的难度.

9.（本题2分）（2023秋•黑龙江大庆•九年级校考开学考试）如图，在中，ZBAC=90°,AB=1,

AC=272点、D,£分别是边AC上的动点，则/M+DE的最小值为（）

立D

C.9

【答案】B

【分析】如图，作/关于BC的对称点4,连接A4',交BC于凡过A作A'E丄AC于笈交BC于。，则=

此时AD+DE的值最小，就是4E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论.

【详解】解:作4关于3c的对称点A，，连接A4"交3C于反过A作A'E丄AC于反交3C于。,则AT）=HO,

此时AD+DE的值最小，就是4E的长，

在Rt^ABC中，ABAC=90°,AB=1,AC=272,

3C=J『+(2夜/=3,

S=-ABAC=-BCAF,

wARr22

-X1X2A/2=-X3AF,

22

,k2百

AF=------,

3

AA'=2AF=^^,

3

NA'FD=ZDEC=90°,ZA'DF=ZCDE,

ZA'=ZC,

ZAEA'=ZBAC=90°,

AEA^BAC,

AA'BC

~^E~~AC，

4竝

r_3，

A'E2-J2

A'E=—.

即AD+DE的最小值是£：

故选：B.

【点睛】本题考查轴对称一最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识,

解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题.

10.（本题2分）（2022秋•湖南衡阳•九年级校考阶段练习）如图，在ABC中，AB=BC,ZABC=90°,

是AC边中线，点。，E分别在边AC和BC上，DB=DE,EF丄AC于点尸，以下结论：（1）

ZDBM=NCDE；(2)$四边形.相；(3)CD-EN=BN-BD■,(4)AC=2DF.其中正确结论的个

数是（

B

ADMFC

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】(1)设NEDC=x,则/DEF=90。—1从而可得到—O3E=，DEB=/EDC+/C=x+45。，

NDBM=ZDBE-ZMBE=45。+x—45。=%,从而可得至U/DBM=ZCDE；

(2)可证明丄血必马。£尸，然后可证明：△OVB的面积=四边形M0FE的面积，所以△DA®的面积+BVE

的面积=四边形NMFE的面积+-BNE的面积；

(3)证明eWCs_NEB可得答案；

(4)由二BDMaDEF,可知。尸=5M,由直角三角形斜边上的中线的性质可知=；AC.

【详解】解：(1)VAB=BCfZABC=90°,5M是AC边中线，

ZABM=ZCBM=45°,

设/EDC=x,贝ij"跖=90。-1，BD=DE,

：.ZDBE=ZDEB=ZEDC+=x+45°,

・・・ZDBM=ZDBE-MBE=45°+^-45°=%.

：.ZDBM=ZCDE,故(1)正确；

(2)在Rt和RtAD跖中，

ZDBM=ZCDE

<ZDMB=ZDFE,

BD=DE

；・RtBDM邺t_DEF.

••S7BDM=S^DEF•

••S'BDM-S^DMN=S7DEF-SvDMN，即^NDBN='四边形"可防«

SyDBN+S'BNE~S四边形MNEQ+^VBNE，

••S^BDE=S四边形，故(2)错误;

(3)•:NBNE=NDBM+NBDN,NBDM=NBDE+NEDF,NEDF=NDBM,

:.NBNE=NBDM.

又•：NC=NNBE=45。

:..DBCs一NEB.

.CD_BN

••茄一丽’

:・CDEN=BNBD；故（3）正确；

（4）VRtBDM^RXDEF,

・•・BM=DF,

■:?B90?,M是AC的中点，

1

BM=-AC.

2

L,即AC=2Db,故（4）正确.

DF=2AC

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形性质和判定，在直角

三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键是证明三角形全等和相似.

二.填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11.（本题2分）（2022秋•福建泉州•九年级校考期中）如图，已知直线《〃。〃上直线加与直线4、IA

AD4CF

4分别交于点4D、F,直线厶与直线乙、从4分别交于点反C、E.若寸=工，则三=________.

Dr5nC

【答案】I

4

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可.

【详解】解：.直线乙人人，

ADBC_4

DF-CE-5

CE_5

BC-4

故答案为：

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一

组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例.

12.（本题2分）（2023秋•重庆万州•九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=9,E为CD

的中点，户为8c上一点，BF<FC,且AF丄FE.对角线AC与断交于点G,则GC的长为

【分析】过点。作GUC于点〃，先证明冋s.c,得岀H噂,根据-FC,得岀於3-6,

再证明..AF3sFGH,得出？区=三巴，证明NABCjGHC,得出产=手，联立求岀得岀。冃="

BFABABBC7

12

GH=—,最后在RtAGHC中，根据勾股定理即可求解.

【详解】解：过点G作GH丄3c于点〃,

^BF=x,贝lJCF=9—%，

・・・£为。。的中点，

・・.CE=-CD=3,

2

•.*AF±FE,

：.ZAFB+NEFC=90。,

・・•四边形ABC。为矩形，

：.1B90?,CD=AB=6,

\ZFAB+ZAFB=90°f

\ZFAB=ZEFCf

：/B=NECF=90。，

\FAB^EFC,

BFABx6

R即n一二----

~CECF39-x

解得：玉=3,%2=6,

,:BFcFC,

:・BF=3,CF=6,

设C〃=y,贝ijm=6-y,BH=9-y,

•:NFAB=NEFC,ZB=ZGHF=90°,

・・・、AFBsFGH,

.GH_FHGH_6-y

BFAB36

,.・ZGCH=NACB,ZGHC=ZB,

・・・ZABC^GHC,

.^GHy

••一9即一,

ABBC69

*Zr-rm/RGH2y

整理得：—=-^-,

•••?=J解得：y*,

oy/

2Xx—12

AGH7,解得：GH=(,

-=-----7

39

在RtzXGHC中，根据勾股定理可得:

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角

形的判定方法，以及相似三角形对应边成比例.

13.（本题2分）（2022秋•福建泉州•九年级校考阶段练习）如图，在一ABC中，矩形DEFG的顶

点D、E分别是边AB.AC的中点，边FG与BC边重合，AH±BC于点H,交DE于点、I,

A

【分析】首先利用中位线的性质得到。石〃3C,DE=gBC,然后利用平行线的性质可以得到

2

△ADEsAABC,最后利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】•:D、E分别是边AB,AC的中点，

/.DE//BC,DE=-BC,

2

:.Z\ADEsAABC,

•：AH±BC于点H,交DE于点I,

.AIDE_1

"AH~BC-2,

故答案为：g.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质，中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和中位

线的性质及其应用.

14.（本题2分）（2023秋•河南南阳•九年级校考期末）如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

点E、厂分别在边AC、BC±,连接即，沿跖折叠该三角形，使点C的对应点。落在边上，若YBDF

是直角三角形，则CF的长为.

【分析】由勾股定理可知，AB=5,由折叠的性质可知，CF=DF,设CF=a,分两种情况讨论：①当

ZBFD=90°8^；②当NBDF=9O。时，利用相似三角形的判定和性质分别求解，即可得到答案.

【详解】解：在RtA4BC中，NC=90。，AC=3,BC=4,

:.AB=4AC1+BC-=5>

由折叠的性质可知，CF=DF，

设CF=a,贝!］。尸=。，BF=BC-CF=4-a,

①如图，当/硒）=90°时，此时VBL屮是直角三角形,

ZBFD=ZC=9O°,ZDBF=ZABC,

DBFs.ABC,

BF_DF

4-aa

••二，

43

解得：”亍I?，即。尸=I与?；

②如图，当N瓦加=90。时，此时V5L屮是直角三角形,

ZBDF=ZC=90°,/DBF=ZABC,

/.FBD^ABC,

BF_DF

''AB~~\C'

4-a_a

.,一，

53

解得：«=3|,即cr=3i；

综上可知，CT的长为］12或13.

故答案为:,12或3

【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握

相似三角形的判定和性质是解题关键.

15.（本题2分）（2023•河南驻马店•驻马店市第二初级中学校考二模）如图，在边长为6的等边MC中，

点。在AC上，且C£>=2,点E在A8上（不与点A、B重合），连接。E,把VADE沿DE折叠，当点A的

对应点尸落在等边ABC的边上时，AE的长为

【答案】2或10-2抗？

【分析】分两种情况：当产点落在边3c上时，利用翻折的性质和等边三角形的性质可得"FC=/3EP,

可证DFCS.FEB,可得孚="=雙，可求AE；尸点落在边上时，利用30。所对的直角边等于斜

CFCDDF

边的一半即可求出A石.

【详解】解：①当尸点落在边上时,

把VAD石沿。E折叠,

:.ZA=ZEFD=6O°,

ZEFC=ZB+ZBEF,

:.ZEFD+ZDFC=ZB+^BEF

ZEFD=ZA=ZB=6O°，

:.ZDFC=ZBEF,

:.△DFCsBEB,

BEBFEF

~CF~~CD~~DF

而EF+BE=EA+BE=AB=6,DF=DA=AC—CD=4,

.6-AE6-CFAE

"CF2一彳

CF=4（6-AE）

AE即考啓，及，

CF=6--AE

2

解得A£=10-2万或A£=10+2万（舍去）;

②尸点落在边上时，

ZA=ZDFE=60°,ZDE4=90°,ZADE=ZFDE,

:.ZADE=30°,

:.AE=^AD=^AC-CD）=^x4=2.

所以AE的长为2或10-2万.

故答案为：2或10-2后.

【点睛】本题考查翻折的性质，相似三角形的判定和性质以及含30。角的直角三角形的性质，，解题时要考

虑全面，难度中等.

16.（本题2分）（2023•江苏泰州•校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点E在直

线AD上，从点A出发向右运动，速度为每秒0.5cm,点尸在直线BC上，从点5出发向右运动，速度为每

秒2cm,BE、AF相交于点G,则BG+CG的最小值为cm.

【答案】10

【分析】过点G作直线分别交AD、BC于点M、N,过点G作直线PQ〃CD,分别交A3、DC

于点AQ,易知四边形ABMW、PBNG、GNC。为矩形，证明,GAEjG用，由相似三角形的性质可得

AFGM

—=—；设E、尸两点运动时间为乙则AE=0.5f,BF=2t,易得GM=lcm,GN=4cm；作点C关于

直线尸。的对称点K,由轴对称的性质可得CG=KG,故当3、G、K三点共线时，3G+KG的值最小，即

BG+CG取最小值，此时，在RtZkBCK中，由勾股定理求得BK的值，即可获得答案.

【详解】解：如下图，过点G作直线分别交AD、BC于点M、N,过点G作直线尸。〃

分别交AB、DC于点P、Q,

易知四边形ABMH、PBNG、GNCQ为矩形，MN=AB=5cm,

:四边形A3CD为矩形，

AAD//BC,AB//DC

:.NGAE=NGFB,ZGEA=ZGBF,

：..GAE^GFB,

.AEGM

,•而一而‘

设E、P两点运动时间为厶则AE=0.5t,BF=2t,

则有要=竽=；，即GN=4GM,

GN2t4

'：MN=5cm,

：.GM=\cm,GN=4cm,

•.•四边形GNCQ为矩形，

/.QC=GN=4cm,

作点C关于直线尸。的对称点K,如图，

则QK=QC=4cm,KC=QK+QC=8cm,

由轴对称的性质可得CG=KG,

当3、G、K三点共线时，3G+KG的值最小，即3G+CG取最小值,

此时，在RtABCK中，BK=《BC?+KC°=后+8)=10cm，

，3G+CG的最小值为10cm.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质以及勾股定理等知

识，正确作出辅助线是解题关键.

17.（本题2分）（2023秋•江西吉安•九年级校考阶段练习）如图，在RtaACB中，NC=90。，点。为3c

上一点，过点8作AD的垂线交的延长线于点E,若+=9（T,4AD=5DE,AC=3后，则线

段的长为.

CD/

【答案】8^/10

【分析】通过导角证明=过点D作D尸丄AB于点广，根据角平分线的性质可得/）尸=八£,

4RAT）5

BF=BE,证明一后，得出==—=:，设AB=5x,BE=BF=4x,依次证明△DEBS/XACB,

BEDF4

AACD^ABCA,利用相似三角形对应边成比例即可求解.

【详解】解：ZC=90°,

二•ZC4£)+ZCZM=90°,

又ZAB£)+ZCDA=90°,

ZCAD=ZABD,

ZC=ZE=90°,/CDA=/EDB,

・・./CAD=/EBD,

ZABD=ZEBD,

如图，过点D作小丄AB于点尸，

DFLAB,DE工EB,

DF=DE,

在RtADEB和RtAPFB中,

DF=DE

DB=DB

/.RtADEB之RtDFB(HL),

BF=BE.

4AD=5DE,DF=DE,

AD5AD

~DE~\~~DF'

ZAFD=ZAEB=90°,ZDAF=ZBAE,

・..DAFS_BAE,

.AB_BE

…而―BF'

.ABAD5

,-4?

设A5=5x,BE=BF=4x,

•e-AE=JAB?—BE?=3=，AF=AB-BF=x,

,c5%4x

..AD=—,DE——

33

4尤

...DF=DE=——

3

ZDFB=ZACB=90°,/DBF=ZABC,

「•ADFBs^ACB,

DFBF

ACBC

BCBF

•••ACDF

3

AC-3710,

BC=3AC=9y/10,

AB=VAC2+BC2=30,

ZACD=ZBCA=90°,ZCAD=ZABCf

AACD^ABCA,

CDCA

CA~CB

CA2G啊「

■-CD=——~~亠=回'

CB9而

BD=BC-CD=9加-加=8加,

故答案为：8M.

【点睛】本题考查角平分线性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，解

题的关键是通过导角证明厶班＞=NEBD.

18.（本题2分）（2023春•浙江宁波•八年级校联考期末）如图，正方形ABCD的边长为4,点£在线段AD

上，以OE为边构造正方形DEFG,使6在8的延长线上，连接CF,取CF中点〃，连接D8.当£为40

中点时，△CDH的面积为，当点£在"）边上运动（不含4D）时，的最小值为.

【分析】当£为4£＞中点时，过点〃作HN丄GC于点儿先证HN是△CTG的中位线，求出其长度，再根

据三角形面积公式计算即可；连接G”,EH,AC,BD,AC与3。交于点0,延长EE到点必使EM=FE,

连接O0,CM,根据正方形的性质先证点久0、状8在一条直线上，再证E”是△CW的中位线，并推

出当丄亜时，CM最小，根据正方形的性质得出CO丄即，故点〃与点。重合，求出对角线AC的长，

即可得出CO的长，于是得出的长，再根据正方形的性质证砲=即可得出的最小值.

【详解】解：当£为4）中点时，过点〃作"V丄GC于点儿如图1,

:正方形A3CD的边长为4,

AD=CD=4,

AE=DE=2,

:四边形OEFG是正方形,

FG=DE=2,FG丄GC,

：.HN//FG,

.CHCN

••丽一丽，

•••点〃是CF的中点，即g=1，

FH

•••里=1,

NG

二点”是GC的中点，

EW是△(7尸G的中位线，

：.HN=-FG=-x2=l,

22

S=-CD-HN=-x4xl=2；

CcDmH22

如图2,连接GH,EH,AC,BD,AC与交于点。，延长EE到点也使EM=FE,连接DM,CM,

AB

FE\M/

图2

•••四边形。EFG是正方形，

FE=DE,NFED=90°,

：.DE=EM,NDEM=90。,

/.是等腰直角三角形，

二ZEDAf=45°,

•••四边形ABC。是正方形，

NAD3=45。，ACYBD,

点以0、族6在一条直线上，

..•点£是根的中点，点〃是CP的中点,

EH是ACFM的中位线，

/.EH=-CM,

2

当CM最小时，最小,

即当CM丄3。时，CM最小,

CO1BD,

〃点与。点重合时，CM最小，

:正方形ABCD的边长为4,

/.AD=CD=4,ZADC=90°,AO=CO,

由勾股定理得AC=^AEr+CEr="+4?=472，

/.CO=-AC=-x4y/2=2y/2,

22

：.EH=LCO=LX2^=竝,

22

:四边形OEFG是正方形，

ZFGC=90°,

:点〃是CF的中点，

/.GH=-CF=FH,

2

.♦.点〃在尸G的垂直平分线上，

:四边形OEFG是正方形，

...点〃也在即的垂直平分线上，

EH=DH,

DH=应，

即OH的最小值为四；

故答案为：2,0.

【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质及

三角形中位线定理、正确添加辅助线是解题的关键，此题有点难度，需认真思考.

19.（本题2分）（2023春•浙江台州•八年级统考期末）如图，在边长为2的正方形A3CD中，点E,F分

别在边AB,BC上，AF丄DE，垂足为点G,以DG,GR为边作矩形。GFH.若图中阴影部分面积为3,则

矩形DGFH的面积为

AD

【答案】3

【分析】过点G作GK丄AD于K,交BC于J,,先证明△ABR四△ZME(AAS),可推出S四边形.E=S的

进而可得s四边形BFGE=S曲=＜，GK=(，再求得GJ=KJ-GK=[,由,AGW.RG/,可得黑=2=3,

ZZZAGrCrA

即bG=3AG,再由直角三角形面积可得AG・DG=AD-GK=1,利用S矩形次切=/G-OG=3AG-OG,即可

求得答案.

【详解】解：如图，过点G作GK丄AO于K,交3C于丿,

正方形ABCD的边长为2,

：.AB=AD=2,ZBAD=ZB=90°,AD//BC,

:.ZBAF+ZDAG=90°,

AF±DE,垂足为点G,

:.ZADE^ZDAG=90°,

:.ZBAF=ZADE,

ABF乌DAE(AAS),

…S^ABF

S'DAE，

艮卩SAEG+S四边形8产GE=SAEG+SADG,

一S四边形BFGE=SADG,

S四边形BFGE+S45G—§正方形4BCD-'阴影=2-3=],

£

••S四边形5FGE=SADG

2

即:3GK=g,

:.GK=-

2f

KJLAD,

ZAKJ=90。=NBAK=NB,

，四边形ABJK是矩形,

：.KJ=AB=2,

13

:.GJ=KJ-GK=2——=一，

22

ADBC,

AGKsFG,

3

AG~GK~，

2

...FG=3AG,

AGDG=ADGK=1,

S矩形DGFH=FG•DG=3AG,DG=3x1=3,

故答案为：3.

【点睛】本题是正方形与矩形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性

质，三角形面积，矩形面积，相似三角形的判定和性质等，综合性较强，有一定难度.

20.（本题2分）（2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级校考开学考试）如图，ZABC=90°,=点。在

C3延长线上，且亜，点尸在AC上，连接。尸，点E在。歹上，NBEF=45。，AG丄。尸于点G,若

FG=1,EG=6,则AC的长为.

【答案】3M

【分析】连接AD，过点8作私7丄方交。产于点过点8作8N丄AG,交AG的延长线于点N,根据

等腰直角三角形的判定和性质可得NAZM=/ZMB=/C4B=45。，求得N/MC=90。，根据等角的余角相等

可得NADb=NG4尸，推得N£DB=NGV,根据矩形的判定可证明四边形MGNB为矩形，根据全等三角形

的判定和性质可得==根据正方形的判定和性质可得即/=MG=GV=NB,根据等角

对等边可得=推得DE=AG,根据相似三角形的判定和性质求得OE=AG=3,根据勾股定理求

得AP=痴，根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：连接AD,过点8作丄D尸交于点过点B作3N丄AG,交AG的延长线于点N,

如图：

DBC

VZABC=90%AB=BC,BC=BD,

・・・△ABD和一ABC是等腰直角三角形，

JZADB=ZDAB=ZACB=ZCAB=45°,

：.ZDAC=ZDAB-^-ZCAB=90°,

AG丄。尸，

・•・ZAGF=90°,

又・・・NA£）尸+NAFD=90。，NG4F+ZAFG=90。，

・・・ZADF=ZGAF,

VZADF^-ZEDB=45°,ZG4F+ZG4^=45°,

:.ZEDB=ZGAB,

VBM±DF,BN丄AG,AG.LDF,

：.ZBMG=ZBNG=ZMGN=90°,

・・・四边形MGNB为矩形，

VZEDB=ZGAB,ZBMG=ZBNG=90°,BD=AB,

:.,DMB沿.ANB,

：.BM=BN,DM=AN,

・・・四边形MGA®为正方形,

BM=MG=GN=NB,

,：NBEF=45°,NBM