四川省仁寿第一中学校（北校区）2023-2024学年高三年级上册9月月考文科数学试题

四川省仁寿第一中学校(北校区)2023-2024学年高三上学

期9月月考文科数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

2.已知集合A=k|a+2)(x-l)=o},B={-2,-1,0,1,2},那么金A等于()

A.{-2,0,1}B.{-1,0,2}C.{-2,-1,0}D.{0,1,2)

3.设数列{《,}是等差数列，是数列{%}的前〃项和，円+%=14,$=35,则眞等

于()

A.10B.15C.20D.25

x<3

4.若实数X,y满足,X+2”1,贝ljz=x+y的最大值为()

2x-y>2

A.8B.7C.2D.1

5.已知直线机，〃及平面a,尸，利ua,九ua,贝厂利〃尸,打〃尸”是“a〃/?”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3八

/、x2——,x>0

6.已知函数f(x)=4,则下列结论正确的是()

cos(^r+x),x<0

A.函数是偶函数B.函数〃兀)是增函数

C.函数/(刈是周期函数D.函数7。)的值域为［-1,+8)

7.已知a,P都为锐角，cosa=g,cos(a+/)=*,则cos/7等于()

A.1B.--C.--D.—

298298

8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆

柱的体积为()

A.兀

9.设a=307,b=,c=log070.8,则a,6,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

10.若两个正实数x,y满足4x+y=2盯，且不等式x+?<〃r-，〃有解，则实数机的取

值范围是()

A.(-1,2)B.(—00,—2)(l,+oo)

C.(-2,1)D.(-oo,-l)(2,+co)

11.四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记

录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是()

A.平均数为3,中位数2B.中位数为3,众数为2

C.中位数为3,方差为2.8D.平均数为2,方差为2.4

12.设函数=(依Tnx)(其中e为自然对数的底数)，若存在实数“使得

〃力<0恒成立，则实数机的取值范围是()

二、填空题

13.命题：“Vxe[l,2],2/-320”的否定是.

14.已知向量人满足a=(l,1),a+2b=(3,-l),则向量°与6的夹角为.

15.已知Ax)为偶函数,当“<0时,/(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=/(x)在点(1,-3)处

的切线方程是.

16.设函数/(x)=2sinx-cos(x+F),有下列结论：

①〃x)的图象关于点传,0)中心对称；

②“X)的图象关于直线x=3对称；

O

③“X)在”斎上单调递减；

Lo12

④/'(x)在上最小值为

其中所有正确的结论是.

三、解答题

试卷第2页，共4页

17.等比数列｛《,｝中，4=1,%=4%.

(1)求｛4｝的通项公式;

⑵记S„为｛为｝的前〃项和若Sm=63,求m.

18.在AASC中，角ARC的对边分别为a,O,c,且尸+/一/=述儿

3

(1)求sinA的值；

(2)若AABC的面积为正，且&sin8=3sinC，求AABC的周长.

19.某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、

生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目，现从该地区已选科的

学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的人占60%,选考政治的人

占75%,物理和政治都选的有80人.

⑴完成选考物理和政治的人数的2x2列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%

的前提下，认为考生选物理与选考政治有关？

选考政治的人数没选考政治的人数合计

选考物理的人数

没选考物理的人数

合计

(2)在该地区已选考物理科的考生中随机选出3人，求这3人中至少一人选政治的概率.

附：参考数据和公式：

P(K?认)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

犬=许翳諡对万，其中〃入+6+c+d

20.如图，在四棱锥P—A8C。中，PD丄面A8CD,ABCD,ABA.AD,

CD=AD=^AB=2,NBW=45。，E是布的中点，G在线段ABh,且满足CG丄BD.

⑴求证：DE〃平面P8C

(2)求三棱锥G-PBC的体积.

21.已知。为实常数，函数〃x)=e'-以-1(其中e为自然对数的底数)

(1)讨论函数/(x)的单调性;

(2)设“41,函数/(x)有两个零点，求实数。的取值范围.

x-t+-

22.在直角坐标系X。)，中，曲线C的参数方程为，；(/为参数)，以坐标原点为

y=t--

极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

Cpsin®-pcos®+6=0.

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程;

(2)若直线/与曲线C交于A,B两点，点P的直角坐标为(0,-1),求旭山-炉啣的值.

23.不等式|x-2|+|x-4|<4的解集为(",〃?).

⑴求〃的值;

(2)设mbycGR+,且/+82+,2=〃，求。+2/7+3c的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】利用复数的乘法可求（2+2。。-2i）.

【详解】（2+2i）（l-2i）=2+4-4i+2i=6-2i,

故选：D.

2.B

【分析】根据补集的运算，可得答案.

【详解】由题意，A=｛-2,1｝,则“4=｛-1,0,2｝.

故选：B.

3.B

【分析】根据给定条件求出等差数列｛《,｝的首项及公差即可得解.

【详解】因数列｛4｝是等差数列，由等差数列的性质知：%=七&=7,

而邑=5^x7=74=35,则4=5,

等差数列忆｝公差"==2,首项q=%-34=-1,

则Ss=54+^|^-d=-5+20=15.

故选：B.

4.B

【分析】由约束条件作出可行域，再结合图象求出目标函数的最值.

【详解】由约束条件作出可行域，如图：

答案第1页，共12页

联立I[x=3n，解得A(3,4)

由2=1+丫，得丫=-3+2,Z为直线y=-x+z的纵截距.由图可知，当直线y=-x+z过点

A(3,4)时，直线的纵截距z最大，且Za=3+4=7.

故选：B.

5.B

【分析】由充分条件与必要条件求解即可

【详解】由题意可知：

当相〃"“〃/?时，a与夕可能平行，也可能相交，故充分性不成立；

当a〃夕时，加〃尸,〃〃户成立，故必要性成立；

所以“加〃尸,〃〃尸”是“a〃夕”的必要不充分条件，

故选：B

6.D

【分析】根据偶函数的定义、余弦函数的性质、二次函数的性质，可得答案.

【详解】对于A,当x>0时，-x<0,/(-x)=cos(^-x)*x2--=./(x),故A错误；

对于B,由余弦函数的性质，易知函数/(*)在(YO,0]上不单调，故B错误；

对于C,由二次函数的性质，易知函数〃x)在(0,+8)上为增函数，故C错误；

对于D,由cos(7r+x)e[—l,l],且当x>0时，,则故D正确.

故选：D.

7.A

【分析】由同角三角函数的基本关系可得sina和sin(a+/7),代入

cos0=cos[(a+£)-2]=cos(a+/3)cosa+sin(a+/?)sina,计算可得.

【详解】解：Qa,夕都是锐角，cosajcos(c+所七,

―応京=拽sin(a+1)=J]-sin2(a+J)=，

7

/.cosp=cos[(a+£)-a]=cos(a+仍cosa+sin(a+尸)sina

1115A/34y/3

---------X------1-----------X----------

1471472

故选：A.

答案第2页，共12页

8.C

【分析】设圆柱的底面半径为，利用勾股定理求出，再根据圆柱的体积公式计算可得.

【详解】设圆柱的底面半径为厂，则/+卩[=俨，解得或，=一@(舍去)，

(2丿22

所以圆柱的体积y="2/7=7rx仔)xl=^.

故选：C

9.D

【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出4瓦C的大小关系.

【详解】因为。=3。7>1,

8=f=3°8>3°7=。，

c=log070.8<log()70.7=1,

所以c<l<a<Z?.

故选：D.

【点睛】本题考查的是有关指数幕和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指

数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对幕形式的数的大小关系，常用方法：

(1)利用指数函数的单调性：y=",当。>1时，函数递增；当。时，函数递减；

(2)利用对数函数的单调性：y=10g“x,当”>1时，函数递增；当0<”1时，函数递减；

(3)借助于中间值，例如：0或1等.

10.D

【分析】根据题意，将4x+y=2孙变形可得;+2=1,由基本不等式的性质可得x+g的

2xy4

最小值为2,由题意得〃一〃?>2,解不等式即可得答案.

4xv12

【详解】根据题意，两个正实数X,y满足4x+y=2刈，变形可得丁+卢=1,即丁+一=1

2xy2xy2xy

则有x+2/x+埒丄+2]=i+丄+込*后互=2,

414丿y丿8xyy

答案第3页，共12页

当且仅当4x=y=4时，等号成立，则X+］的最小值为2,

若不等式工+=<加2-加有解，则有加一机>2,解可得机<-1或加>2,

4

即实数，”的取值范围是(-8,-1)(2,+8).

故选：D.

II.D

【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案.

【详解】对于A,当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时，满足平均数为3,中位数为2,

可以出现点数6,故A错误；

对于B,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时，满足中位数为3,众数为2,可以出现

点数6,故B错误；

对于C,当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3,

平均数为：元=：(1+2+3+3+6)=3,

方差为$2=：［(1-3尸+(2-3日+(3-3)2+(3-3)2+(6-3>］=2.8,

可以出现点数6,故C错误；

对于D,若平均数为2,且出现6点，则方差S2>36-2)2=3.2>2.4,

则平均数为2,方差为2.4时，一定没有出现点数6,故D正确.

故选：D.

12.A

【分析】由题意可得a-处)<0,4g(x)=—,/i(x)=—，函数y=g(x)和函

XXXX

数丫=可耳的图象，一个在直线y=a上方，一个在直线y=a下方，等价于一个函数的最小

值大于另一个函数的最大值，即可得出答案.

【详解】函数/(X)的定义域为(0,+8),

由{ax-me')(ar-Inx)<0,所以(“一皿)<0,

XX

人/、Inx..mex

令g(x)=----，以幻x=----，

XX

由题意知，函数y=g(x)和函数y=/i(x)的图象，一个在直线y=a上方，一个在直y下

方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，

答案第4页，共12页

.,、Inx八、/口,,、1-lnx

由g(x)=——(zX>0),得g(x)=——)

XX

所以当xe(0,e)时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

当xe(e,+oo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以g(x)nm；=g(e)=等=:,g(x)没有最小值，

亠,，、mex八、汨,,，、mex-X-me'me'(x-l)

由力(x)=——(zx>0),得“(X)=-------z--------=——4--,

XXX

当机<0时，在xw(o,l)上〃(x)>0,//(x)单调递增，

在XW(1,+8)上“(X)<0,/?(x)单调递减，

所以〃(x)有最大值，无最小值，不合题意，

当m>0时，在xw(o,l)上“(x)<0,%(尤)单调递减,

在X€(1,4-00)上“(X)>0,/i(x)单调递增，

所以=以1)="记,

所以〃(l)>g(e)即切e>丄，

e

所以〃―士，即〃?的取值范围为(4,+8).

e-e-

故选:A.

13.既2X：-3<0

【分析】根据含有一个量词的命题的否定形式，即可得答案.

【详解】命题："Vxe[l,2],2d-320”是全称量词命题，其否定为特称命题,

即为我目1,2],2片-3<0,

故答案为：[1,2],2片一3<0

TC1

14.一/一九/90。

22

【分析】根据条件求出b的坐标，然后可得答案.

【详解】因为。=(1,1),。+26=(3,—1),所以力=(1,—1)

所以4包=1x1+1x(-1)=0

答案第5页，共12页

所以向量a与b的夹角为］

故答案为：1

2

15.y=-2x-l

【详解】试题分析：当x>0时，-x<0,则/(-x)=lnx-3x.又因为了⑶为偶函数，所以

/(x)=/(-x)=lnx-3x,所以r(x)=1-3,则切线斜率为(⑴=-2,所以切线方程为

x

y+3=-2(x—l),gpy=-2x-l.

【考点】函数的奇偶性与解析式，导数的几何意义.

【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当x>0时，函数y=/(x),则当x<0时，求函数的解

析式有如下结论：若函数.f(x)为偶函数，则当x<0时，函数的解析式为y=-f(x)；若〃x)

为奇函数，则函数的解析式为y=-/(-力.

16.②③

【分析】整理化简/(x)解析式可得/(x)=sin(2x+J)-1，根据正弦函数的相关性质逐一进

62

行判断即可.

［详解］/(x)=2sinx-cos(x+^)=2sinx•cosx-sinx)=5/3sinxcosx-sin2x

\/31I.c」兀、1

=—sin2x+—cos2x—=sin(2xH—)—,

22262

当x=sin(2x浮5=0,则/(x)的图象关于点佟中心对称，故①错误；

当x=F时，sin(2>4+少=1，则/(X)的图象关于直线x=5对称，故②正确；

6666

■JrTT37rJr27r

由一+2far<2x+—<—+2kn,keZ,得E+—WxWE+——、kGZ,

26263

当k=o即xeU，当时，函数“X)单调递减，

63

则当时，函数/(x)单调递减，故③正确；

612

当勺时，2x+5£［-5,?］,可知函数/(x)在右勺上单调递增，

6666266

•••〃》)的最小值为/(一e)=$访2x(-^)+^-；=一1，故④错误.

故答案为：②③.

答案第6页，共12页

17.⑴勺=2"T或a“=(_2)i

(2)tn=6

【分析】(1)根据题意求出公比，再根据等比数列的通项即可得解：

(2)根据等比数列前〃项和公式计算即可.

【详解】(1)设公比为夕，

由4=1,%=4%，

得夕「442,解得夕=±2,

所以q=2〃7或%=(一2广;

(2)当4=2时，

1_yn

S=-------=2"—1=63,解得夕〃=6,

闭1-2

当4=-2时，

S=[±変=63,BP(-2)W=188,ZHGN,方程无解，

1+2

综上所述，m=6.

18.(1)；；(2)2+瓜+3五

【分析】(1)由已知条件结合余弦定理可求cosA的值，进而根据同角三角函数基本关系式

可求sin4的值.

(2)利用三角形的面积公式可求税的值，由正弦定理化简已知等式可得正6=3c,解得乩

c的值，根据余弦定理可求。的值，即可求解三角形的周长.

【详解】(1)-/=生纟历，.••由余弦定理可得2bc、cosA=生旦反，••・以)54=厶2，

333

・••在aABC中，sinA=Jjos2A=g.

(2)■△ABC的面积为VJ,即gcsinA=」〃c=Q,:.bc=6五,

又丁0sin8=3sinC,由正弦定理可得友人=3c,,c=2,则屋=炉+。2-2bccosA

=6,

:.61=a,所以周长为。+匕+。=2+指+3竝.

【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定

答案第7页，共12页

理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

19.(1)列联表见答案，可以

⑵H

【分析】(1)根据题意，得出选考物理的考生及选考政治的考生人数，完成2x2列联表，计

算K"根据参考数据得出结论；

(2)根据独立重复试验概率公式及对立事件的概率关系计算得出结果.

【详解】(1)根据题意，选考物理的考生有200x0.6=120人，选考政治的考生有

200x0.75=150人，

2x2列联表补充完整如下:

选考政治的人数没选考政治的人数合计

选考物理的人数8040120

没选考物理的人数701080

合计15050200

^=200X(80X10-40X70)-=100S11J]1>10,828)

150x50x10x120x809

可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为考生选物理与选考政治有关.

Of)O

(2)在该地区已选考物理科的考生中随机选出1人，选考政治的概率为苗=：,没有选考

4()1

政治的概率为诲=§,

在该地区已选考物理科的考生中随机选出3人，则这3人中至少一人选政治的概率为

20.(1)证明见解析

(2)2

【分析】(1)取PB的中点F,连接ERCF,证明四边形CDE尸是平行四边形，进而可得。

平面PBC；

(2)根据^G-PBC=Vp—BCG，利用棱锥的体积公式求解.

答案第8页，共12页

【详解】(1)取P8的中点凡连接EF,CF,又因为E是雨的中点,

所以E尸〃A8,且所=丄厶民

2

因为C£>=，AB,S.AB//DC,

2

所以E/WCZ),且EF=CD,

所以四边形CDE尸是平行四边形，可得DE//CF,

因为CFu平面P8C,D&t平面PBC,所以OE〃平面P8C；

(2)因为A8〃QC,AB丄A。，所以A。丄CO,

因为丄平面A8C£>,AQu平面ABC£),所以尸。丄40,

因为/B4O=45。，所以在等腰直角三角形APQ中，PD=AD=2,

'：AD=CD=2,AB=4,

二在直角△CAB中，BD貝AD?+AB?=26,cos4ABD=嗚=^^，

•JCGVBD,设CGCBD=H,：.cosNCDH=cosZABD=—=—=

5CD2

：.DH=—,BH=BD-DH=—,

55

6亚

在直角AB/ZG中，/，。八„„BH/2亚，：.BG=3,

cosZABD=cosGBDH===------

BGBG5

••匕7PHC=LBCG=丄S八BCG,PD=—x—x3x2x2=2.

U—rlfl.-r—ol^lj3DL-KJ32

21.(1)答案见解析

⑵（o，i）

【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论”的范围，求出函数的单调区间即可；

(2)由(1)分情况讨论，当aWO,。=1时，不符合，当0<。<1时，f(lna)为函数/(x)的

最小值，令Ma)=〃lna)=a-alna-l,a>0,根据函数的单调性求出”的范围即可.

答案第9页，共12页

【详解】(1)尸(x)=e'-“，

当aWO时，関x)>0,/(x)在R上单调递增；

当a>0时，xe(lna,+oo)时，>0；xe(-<»,lna)时，/,(x)<0,

f(x)在(lna,yo)上单调递增，在(ro,Ina)上单调递减；

综上：时，“X)在R上是单调递增；

当a>0时，f(x)在(lna,w)上单调递增，在(ro,Ina)上单调递减；

(2)由(1)得，时，函数f(x)在R递增，不可能有2个零点，

当a=l时，函数f(x)在(-8,0)递减，在(0,+8)递增，

函数“X)的最小值为了(。)=0,，函数“X)只有1个零点，

当0<“<1时，函数/(x)在(-8,Ina)递减，在(Ina,m)递增,

f(lna)为函数〃x)的最小值，

令4(a)=/(lna)=a-aln«-l,O<a<l,

k.'(a)=l-lna-l=-lna,

当031时,当x)>0,故函数&(a)在(0,1)递增，且&(1)=0,

故ae(O,l)时，/(lntz)<0,

m(a)-In«-(--)=lna+—,«e(0,1),

aa

加⑷=^y^<0,m(a)在(0,1)上递减，

?n(a)>???(l)>0,即ae(O,l)时，-■-<Ina<0,

i_L

由于f(一一)=e°>0,/(0)=0,

a

所以，当ae(O,l)时，函数/(x)有2个零点.

22.(1)曲线C的普通方程为炉-V=4,直线/的直角坐标方程为石y-x+百=0；

(2)2

答案第10页，共12页

【分析】（1）对于曲线C,消去参数，对于直线/,运用极坐