2023-2024学年江西省九江市永修县九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省九江市永修县九年级（上）月考数学试卷（10

月份）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.3x-1=0B.ax2+bx+c=0（a,b,c为常数）

C.x2+x=3D.3x2-2xy-5y2=0

2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A,对角线互相垂直B.对边相等C.对角相等D.是中心对称图形

3.解方程/=4的结果为（）

A.x=2B.%=4

C.Xj=­2,x2=2D.xr=­4,不=4

4.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）

A.当AB=BC时，它是正方形

B.当4C180时，它是菱形

C.当AC=8。时，它是矩形

D.当乙4BC=90。时，它是矩形

5.已知关于x的一元二次方程/+法+c=0有一个非零实数根c,则b+c的值为（）

A.1B.-1C.0D.2

6.如图，把一张矩形纸片48CD按如下方法进行两次折叠：第一次将ZM边折叠到OC边上得到折痕为。

连接A'M,CM,第二次将AMBC沿着MC折叠，MB边恰好落在MD边上.若4。=1,则AB的长为（）

二、填空题（本大题共6小题，共18.（）分）

7.把一元二次方程X。-3）=4化成aM+bx+c=0的一般形式，其中a=1,则常数项c=

8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点。，如果4ADB=25°,那么乙AOB八

的度数为.

9.关于久的方程/-2尤+k=0有两个相等的实数根，贝必的值是。

10.若关于x的一元二次方程a/=b（ab>0）的两个根分别为m与2m—6,则m的值为

11.如图，在平面直角坐标系中，四边形04BC是正方形，点4的坐标是（2,1）,）丁

D

则点C的坐标是.A

12.如图，在菱形力BCD中，AB=20Z=45。，点E在边AB上，4E=13,

点P从点4出发，沿着力TDTCTB的路线向终点B运动，连接PE,若

△APE是以AE为腰的等腰三角形，则4P的长可以是

EB

三、计算题（本大题共1小题，共3.0分）

13.解方程：x2—2x—1=0.

四、解答题（本大题共U小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.（本小题3.0分）

如图，在Rt△力BC中，乙4cB=90。，D为48的中点，乙4=30。，BC=2,求CD的长.

15.（本小题6.0分）

如图，矩形力BCD的对角线AC,BC相交于点。，过点C作BD的平行线交4B的延长线于点E.求证：AC=CE.

A0

16.（本小题6.0分）

如图，菱形力的对角线4C,8。相交于点。，过点4作AE1BC于E,若OB=2,S菱形ABCD=4,求4E的

长.

A

c

17.（本小题6.0分）

如图，AACB和ACE。都是等腰直角三角形，点B,C,E在同一直线上且E是8c的中点，请仅用无刻度的

直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）.

（1）在图1中，作口ABMC；

（2）在图2中，作正方形ACBN.

BB

z^DXV

ACAC

图1图2

18.（本小题6.0分）

如图，矩形绿地的长为12m,宽为9m,将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了7262,求

绿地的长、宽增加的长度.

19.（本小题8.0分）

设关于X的一元二次方程为/+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值，使这个方程有两个

不相等的实数根，并解这个方程.

①b=2,c=1；

（2）b=1,c=2；

@b=3,c=-1；

（4）b——3,c=2.

注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.

20.（本小题8.0分）

定义：如果关于x的一元二次方程a/+bx+c=0（a于0）满足b=a+c,那么我们称这个方程为“完美方

程”.

（1）下面方程是"完美方程"的是.（填序号）①/—4x+3=0；@2x2+x+3=0；（3）2x2—x—

3=0.

（2）已知3/+6》+n=0是关于》的“完美方程”，若m是此“完美方程”的一个根，求m的值.

21.（本小题8.0分）

如图，在。4BCD中，E,F分别是边CD,BC上的点，连接BE,DF,BE与DF交于点P,BE=DF.添加下列

条件之一使0ABe。成为菱形：①CE=CF;@BE1CD,DF1BC.

（1）你添加的条件是（填序号），并证明.

（2）在（1）的条件下，若N4=45。，ABFP的周长为4,求菱形的边长.

AC

E

D

22.(本小题9.0分)

【阅读】

解方程：(X-1)2-5(X-1)+4=0.

解：设x—l=y,则原方程可化为y2—5y+4=0,

解得乃=1，%=4.

当y=l时，即x—1=1,解得x=2；

当y=4时，即x—1=4,解得x=5.

所以原方程的解为％=2,x2=5.

上述解法称为“整体换元法”

【应用】

(1)若在方程?-含=0中，设丫=?，则原方程可化为整式方程：

(2)请运用“整体换元法”解方程：(2%-3产一(2x-3)-2=0.

23.(本小题9.0分)

如图1,在口ABCD中，点E,F在对角线4C上，AE=CF,DE1AC,过点。作DG〃/1C交BF的延长线于点G.

(1)求证：四边形CEFG是矩形.

(2)如图2,连接DF,BE,当/DFG=NBEF时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由.

24.(本小题12.0分)

(1)如图1,在正方形4BCC中，尸为对角线4C上一点，连接BF,DF.图中的全等三角形有(写出一对

即可，不必证明).

(2)如图2,P为DF延长线上一点，旦DP交BC于点E.判断△BPE的形状.并说明理由.

(3)如图3,过点尸作HF1BF交DC的延长线于点H.

①求证：HF=DF.

②若4B=C+1/CBF=30。，请直接写出CH的长.

图1图2图3

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4方程3x-l=0不是一元二次方程，故本项不符合题意；

B.方程aM+bx+c=0当。=0时不是一元二次方程，故本项不符合题意；

C.方程/+x=3符合定义，是一元二次方程，故本项符合题意；

D方程37—2xy-5y2=0含有两个未知数，不是一元二次方程，故本项不符合题意；

故选：C.

根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程判

断即可.

本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，

并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

2.【答案】A

【解析】解：力、菱形具有对角线互相垂直平分，平行四边形具有对角线互相平分，符合题意；

8、菱形具有对边相等，平行四边形具有对边相等，不符合题意；

C、菱形具有对角相等，平行四边形具有对角相等，不符合题意；

。、菱形是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，不符合题意.

故选：A.

利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解.

本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关犍.

3.【答案】C

【解析】解：X2=4,

%]=-2,%2=2,

故选：C.

两边直接开平方即可.

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配

方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

4.【答案】4

【解析】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

•••当4B=8C,平行四边形ABCD是菱形，但不一定是正方形，故选项4错误，符合题意；

当AC_L8D,平行四边形4BCD是菱形，故选项5正确，不符合题意：

当4c=BD,平行四边形48CD是矩形，故选项C正确，不符合题意；

当4ABe=90。，平行四边形ABCD是矩形，故选项。正确，不符合题意；

故选：4.

根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定可得出答案.

本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法.

5.【答案】B

【解析】解：,••关于x的一元二次方程/+bx+c=0有一个非零实数根c,

c2+be+c=0,即c(c+b+1)=0

rcH0,

c+b+1=0,

b+c=—1,

故选：B.

由关于x的一元二次方程M+bx+c=0有一个非零实数根c,可得c+b+l=0,然后移项变形即可得解.

本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解答本题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：•••四边形4BCD为矩形，

Z.ADC=/.BAD=90°,ABHCD,AB=CD,AD=BC.

由第一次折叠可知，/.DA'M=Z.DAM=90°,DA'=DA,

四边形AM4D为正方形，

：.AM=A'M=AD,

DM=VAD2+AM2=yTlAD=

由第二次折叠可知，4BMC=NB'MC,

vBM//CD,

4DCM=4BMC,

:.乙B'MC=4DCM,

CD=DM=<7,

•1•AB=CD=2-

故选:B.

由第一次折叠可知NDA'M=ZIMM=90。，DA'=DA,则四边4MAD为正方形，AM=A'M=AD,DM=

BAD,由第二次折叠可知NBMC=4B'MC,利用平行线的性质得“CM=&BMC,于是可得ZB'MC=

乙DCM,由等边对等角得CD=DM=GAD,以此即可求解.

本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠

的性质是解题关键.

7.【答案】一4

【解析】解：x(x-3)=4,

2

Ax—3x-4=0,

va=1,

•••常数项c=-4.

故答案为：-4.

直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案.

本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式a/+版+c=0(a#0)其中a为

二次项系数，b为一次项系数，c为常数项是解题的关键.

8.【答案】50°

【解析】解：•••四边形4BCD是矩形，

OA=^AC,OD=^BD,AC=BD,

・•.OA=OD,

•・•/,ADB=25°,

・・・Z.OAD=/.ODA=25°,

・・・Z.AOB=Z.OAD+乙ODA=50°.

故答案为：50°.

根据矩形的性质证得04=OD,根据三角形的外角的性质即可解决问题.

本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

9.【答案】1

【解析】解：•••关于久的方程“2-2%+卜=0有两个相等的实数根，

•••△=(―2)2—4xlx/c=0,

解得：fc=1.

故答案为：1.

根据根的判别式△=(),即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值.

本题考查了根的判别式，牢记“当△=()时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键.

10.【答案】2

【解析】解：由题意得：

m+2m—6=0,

3m=6,

m=2,

故答案为:2.

根据题意可得m+2m-6=0,然后进行计算即可解答.

本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程的解是解题的关键.

11.【答案】(一1,2)

【解析】解：如图，过点C作CDlx轴，过点A作AElx轴，

••・点4的坐标是(2,1),

AE=1,OE=2,

•.•四边形04BC是正方形，

AO=CO,^AOC=90°,

•••乙4OE+乙COD=90°,且乙4OE+^OAE=90。，

•1•乙COD=^OAE,且4。=CO,Z.AEO=Z-CDO=90。，

•••△AOE^^0coQMS)

DO=AE=1,CD=OE=2,

•••点C坐标为(-1,2)

故答案为：(—1,2)

如图,过点C作CD1x轴，过点4作4E_Lx轴，由aAAS”可证△AOEWAOCD,可得DO=AE=1,CD=OE

2,即可求解.

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，添加恰当辅助线构造全等三角形

是本题的关键.

12.【答案】13或13丁花或5，^

【解析】解：过点。作DHLAB于

••,四边形4BCD是菱形，AB=20,乙4=45°,

•■AD=DC=BC=AB=20,

AH=DH=^AD=10V-l>13，

又点E在边48上，AE=13,

当点P在4。边上时，

若力P=AE,贝IL4P=13；

若PE=4E,则NAPE==45°,

•••AAEP=90°,

.•.△APE是等腰直角三角形，

•••AP=\T2AE=13V1;

当点P在CD边上时，AP>PE>AE,不可能为等腰三角形；

当点P在BC边上，且PE=4E=13时，如图，过点P作PG14B于G,

••・四边形4BCD是菱形,

■■■AD//BC,

乙PBG==45°,

・•.△PBG是等腰直角三角形,

•••PG—BG,

设PG=BG=y,

则EG=y+7,

•••EG2+PG2=PE2,

•••(y+7)2+y2=132,

解得：y=5(负值舍去)，

PG=5,AG=25,

.•■AP=VAG2+PG2=7252+52=5V-26；

综上所述，HP的长为13或13/1或

故答案为：13或或5，^.

过点D作DH148于可求得4H=DH=106,分四种情况：当点P在力。边上时，若力P=AE,若PE=AE,

可分别求得4P的长；当点P在CD边上时，AP>PE>AE,不可能为等腰三角形；当点P在BC边上，且PE=

4E=13时，可求得AP=5j4.

此题考查了菱形的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质.注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思

想与方程思想的应用是解此题的关键.

13.【答案】解："a=1,b=—2,c=-1,

•••A=b2-4ac=(-2)2-4x1x(-1)=8>0,

-b±Jb2-4ac-(-2)±V-8.,

•••X=2^-=2X1=1土々

=1+yj~2>x2=1-V-2.

【解析】本题考查了解一元二次方程的方法-公式法.

原方程是一元二次方程的一般形式，先由系数求得根的判别式，再利用求根公式求解.

14.【答案】解：•；N4CB=90。，。为4B的中点，

•・•CD是AB边上的中线，

CD=^AB,

•••LA=30°,

•■AB=2BC=4,

CD=2X4=2,

【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出4B,根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜

边的一半求出2BC=4B即可得解.

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性

质，熟记各性质是解题的关键.

15.【答案】证明：♦.•四边形力BCD是矩形，

BD=AC,AB//DC,

•••BE//DC,

又•:BD//CE,

四边形BECD是平行四边形，

BD=CE,

•••AC=CE.

【解析】根据矩形的性质可以得到4C=BD,根据平行四边形的判定和性质可以得到BD=CE,从而可以

得到4c=CE.

本题考查矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出BO=CE.

16.【答案】解：•.・四边形4BCD是菱形，

•••OA=OC.OB=OD=^BD,BDLAC,

BD=2OB=4.

S菱形ABCD=同c•BD=4,

・•・AC=2,

:.OC=1,

•••BC=VOB2+OC2=C.

S^ABCD=BC-AE=4,

44<5

-AE=7^=--

【解析】由四边形4BCC是菱形，。8=2,根据菱形的性质可得8。=4,再根据菱形的面积等于两条对角

线乘积的一半求得4c=2,再根据勾股定理求得BC,进而利用面积即可求得力E的长.

本题考查了菱形的性质及勾股定理，根据菱形的面积公式（菱形的面积等于两条对角线乘积的一半）求得

AC=2是解题的关键.

17.【答案】解：(1)如图1,0ABMc为所作;

(2)如图2,正方形ACBN为所作.

图1图2

【解析】(1)延长AE和CD,它们的交点为例点，则四边形4BMC满足条件；

(2)延长DE交于。点，然后分别延长C。和MB,它们相交于点N,则四边形2CBN满足条件.

本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把

复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行四边形和正方形的判定.

18.【答案】解：设绿地的长、宽增加的长度各为xm,

由题意得：(12+x)(9+x)=12x9+72,

整理得：X2+21x—72=0,

解得：Xj=3,x2=-24(不符合题意，舍去)，

答：绿地长、宽增加的长度各为3m.

【解析】设绿地的长、宽增加的长度为xm,由题意：将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增

力口了72nl2,列出一元二次方程，解方程即可.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

19.【答案】解：・.・这个方程有两个不相等的实数根，

:.b2—4ac>0.

a=1,

b2>4c,

选①②时，不符合，

③④均可.

选③解方程，则这个方程为+3X-1=0,

_-biy)b2-4cc__3+V13,

•1,*==~2~

-3+\T13-3-\T13

・•冗1-2，尢2-2，

选④解方程，则这个方程为久2一3X+2=0,

_-b+flfa_3+1,

"X2a2

X]-2,%2=1・

【解析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2>4c,由此可知b、C的值可在①②③中选取，然

后求解方程即可.

本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0,

方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0,方程有两个相等的实数根：根的判别式小于0,方程无解.

20.【答案】③

【解析】解：(1)①/—4%+3=0,

va=1,b=-4,c=3,

・•・a+c=4。匕，则方程%2—4%4-3=0不是“完美方程”；

②2/+%+3=0,

va=2,b=1,c=3,

・・・a+c=5Hb,则方程2/+%+3=0不是“完美方程”；

③2/—%—3=0,

va=2,b=-1,c=—3,

.・.a+c=b,则方程2/_%_3=0是“完美方程”；

故答案为：③.

(2)v3/+巾无+几=0是关于》的“完美方程”，

Am=3+n,

An=m—3,

,原方程为3-+mx+m—3=0.

・・・m是此“完美方程”的一个根，

・•・3m2+m2+m—3=0,即4*+m—3=0,

解得：m=—1或m

(1)根据“完美方程”的定义进行求解即可；

(2)根据“完美方程”的定义得到九=3,则原方程为3/+租工+巾—3=0,再由m是此“完美方程”

的一个根，得到462+加一3=0,解方程即可.

本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键.

21.【答案】②

【解析】解：（1）②.

证明：,••BE1.CD,DF1BC,

・・・Z,CFD=乙CEB=90°,

在^CE8中

NCFD=乙CEB

Z.C=Z.C，

DF=BE

・・・△CFD»CEBQL4S),

CD=CB,

•・•四边形/BCD是平行四边形,

・・・四边形是菱形.

(2)如图，连接CP,

由(1)知△CFD三ZkCEB,

・・・CF=CE,

在Rt△CEP^Rt△CFP

(CP=CP

ICE=CF'

・•・Rt△CEP=Rt△CFP(HL),

・・・PE=PF,

在菱形ABC。中，乙4=45。，

・・・(BCD=45°,

・・•(CFD=乙CEB=90°,

・・・Z.BFP=Z-DEP=90°,

・・・Z.CBE=Z.BPF=乙BCD=45°,

/.BE=CE,BF=PF,

・・・△8FP的周长为4,

••・BP+PF+BF

BP+PE+BF

=BE+BF

=CE+BF

=CF+BF

=BC=4.

即菱形的边长为4.

(1)可证△CFD三△CEB,可得CD=CB,即可求证；

(2)连接CP,BjiiE/?tACEP^/?tACFP,可得PE=PF,再证BE=CE,BF=PF,即可求解.

本题考查了菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，掌握相关的判定方

法及性质是解题的关键.

22.【答案】y2-3=0

【解析】解：(l)y=?,

七二一鸟=0变形为：--3-^--=0,

Xx—1XX

则七1一名=0可化为：y-l=0,即y2_3=0,

xx—1y'

故答案为：y2—3=0；

(2)设y=2x—3,则原方程变形为y2—y—2=0,

A(y-2)(y+l)=0,

・•・y-2=0或y+1=0,

解得yi=2,y2=

当y=2时，即2x-3=2,解得x=|；

当y=-l时，EP2x-3=-1,解得x=l.

・,•原方程的解为=|,%2=

(1)将原方程变形为只含有子的形式，再将y="代入，化为整式方程即可；

(2)根据“整体换元法”，设y=2x-3,解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解.

本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，利用整体换元法解方程是解

答本题的关键.

23.【答案】(1)证明：在。ABCD中，AD=CB,AD//CB,

••Z-DAE=乙BCF.

又AE=CF,

•••△ADE三△CBF(SAS),

・•・Z-AED=Z-CFB.

vZ-AFG=Z-CFB,

・•・Z-AED=Z.AFG,

・・・DE//GF.

•・•DG//AC,

・・・四边形DEFG是平行四边形.

vDE1AC,

・・・乙CED=90°.

•••四边形CEFG是矩形.

(2)四边形DEFG是正方形.

理由：由(1)知OE〃B尸，DE=BF,

•••四边形CEB尸是平行四边形，

•­•DF//BE,

Z.AFD=Z.BEF.

Z.DFG=Z.BEF,

Z.AFD=Z.DFG.

在矩形DEFG中，Z.EFG=Z.DEF=90°,

乙DFE=乙EDF=45°,

DE=EF,

矩形DEFG是正方形.

【解析】⑴由平行四边形的性质可得力。=CB,AD//CB,从而得出NZME=NBCF,推出△ADE*

CBF(SAS),得到乙4ED=NCFB.再证出DE〃GF,从而得到最后结果；

(2)先证得DEBF是平行四边形，得出DF〃BE,从而得出乙4FD=/BEF.进一步得出乙4FO=NDFG.最后可

得出OEFG是正方形.

本题考查四边形综合题、平行四边形的性质及判定、矩形的性质与判定、正方形的判定和性质，全等三角

形的性质与判定等知识，解题的关键是学会特殊四边形的有关性质及判定.

24.【答案】△ADFWAABF

【解析】(1)解：•.•正方形4BCO，

•••AB=AD,