2023-2024学年北京市朝阳区高三（上）期中数学试卷

2023北京市朝阳高三(上)期中

数学

本试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)，满分150分，考试时长120分钟。考生务必

将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项。

1.已知全集。=Z,集合A={xeZ卜2Vx<2},«={-1,0,1,2),则(Q,A)iB=

A.{-1,2}B.{1}C.{0,l}D.{2}

2.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,”o)上单调递增的是

A.y=lgxB.y=xiC.y=x+-D.y=2X+Tx

X

3.若sinO=V^cos。,则tan26二

A「且B至C.一或D音

3322

4.已知a=logs0.5,b=50,5,c=O.50,6,则

\.a<c<bB.a<b<cC.c<a<hD.b<c<a

5.函数y=2sin(2x+3)的图象的一条对称轴是

兀C八八兀c兀

A.x=—B.x=()C.x=-D.x=—

662

6.设xeR,则“X(1+X)>0”是"0<x<l”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知平面内四个不同的点满足BA=2£)B-2£)C,则=

\BC\

23

A.-B.-C.2D.3

32

8.已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为刎.在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶

3

点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为

A.—B.1C.2—5/2D.4—2^2

3

9.已知函数f(x)=8'°),g(x)=f-4尤_4.设方wR,若存在QER,使得f(a)+gS)=0,

lln(x+l),XG[0,+oo)

则实数b的取值范围是

A.[-1,5]B.(-03,-1][5收)

C.[-l,+a>)D.(-oo,5]

10.已知点集A={(x,y)|xeZ,yeZ},S={(a,6)eA\\<a<5,l<b<5}.设非空点集TgA,若对S中任意一

点尸，在T中存在一点0(。与P不重合)，使得线段PQ上除了点P,Q外没有A中的点，则T中的元素个

数最小值是

A.lB.2C.3D.4

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知函数/(%)=sinTtx+cos7tx,则/(x)的最小正周期是.

12.已知单位向量a1满足e(a+2b)=2,则向量。与。的夹角为.

13.设公差为〃的等差数列{%}的前"项和为S“(〃€N*),能说明“若d<0,则数列{S,J是递减数列”为

假命题的一组内/的值依次为.

14.古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，----

他的《天文学大成》包含一张弦表(即不同圆心角的弦长表)，//\\

这张表本质上相当于正弦三角函数表.托勒密把圆的半径60等分，/“N

用圆的半径长的」■■作为单位来度量弦长.将圆心角a所对的弦长\0

60\7

记为crda.如图，在圆。中，60。的圆心角所对的弦长恰好等于，

圆。的半径，因此60。的圆心角所对的弦长为60个单位，

即crd60°=60.若。为圆心角，cos":(0。<6<180。)，则crde=.

15.如图，在棱长为1的正方体A8C£>-AB|CQ中，点M为AD的中点，点N是侧面OCCQ上(包括边

界)的动点，且给出下列四个结论：

①动点N的轨迹是一段圆弧；

J.G

②动点N的轨迹与C"没有公共点；/V7

③三棱锥N-B]BC的体积的最小值为七；A'T~~|

④平面8AW截该正方体所得截面的面积的最大值为，\/''、、J

其中所有正确结论的序号是.”/口/

AB

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.(本小题13分)

已知｛%｝是递增的等比数列，其前〃项和为S“(”eN*),满足％=6,S3=26.

(I)求｛%｝的通项公式及S,；

(II)若S.+an>2024,求n的最小值.

17.(本小题13分)

在中，b2+c2-a2^bc.

(I)求ZA；

(II)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使AABC存在且唯一确定，求

△ABC的面积.

条件①：cosB=—；

14

条件②：a+h-12；

条件③：c=12.

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按

第一组解答计分.

18.(本小题15分)

如图，在三棱锥P—ABC中，m_L平面ABC,PA=AC=BC=2,PB=2g.

(I)求证：BC,平面RAC：

(II)求二面角A—P3—C的大小;

(111)求点C到平面加B的距离.

19.(本小题14分)

已知函数f(x)=ex-sinx-ax2(aeR).

(1)若〃=0,求/(x)在区间呜］上的最小值和最大值;

(H)若。求证：/(%)在工=0处取得极小值.

20.(本小题15分)

已知函数,f(x)=〃?xlnx-*2+1(mGR).

(I)当加=1时,求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程;

(II)若f(x)W0在区间［L+0O)上恒成立，求机的取值范围；

(III)试比较山4与血的大小，并说明理由.

21.(本小题15分)

01,2J

已知4“=%七2"2",(加22)是/个正整数组成的加行加列的数表，当

<am,\am2ammJ

l<i<s<m,1<j<t<m^t9记d(q.|+|〃.-4，|.设〃cN”,若满足如下两个性质:

①%产{1,2,3,,〃}(i=1,2,•,，〃;/=1,2,…,〃?)；

②对任意％e{1,2,3,,〃},存在ie{1,2,je{1,2,,m],使数表得%j=k,则称4“为「”数表.

’1