2022-2023学年上海市教育学会青浦清河湾中学九年级上学期期中考数学试卷含详解

2022学年第一学期期中练习

九年级数学练习卷2022年11月

一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）

1.已知（”+y）：y=5：2,那么X：y等于（）

A.3:5B.5:3C,2:3D.3:2

2.如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（）

A.扩大为原来的两倍B.缩小为原来的gC.不变D.不能确定

3.中，NC=90°,NA、/C所对的边分别为。、c,下列式子中，正确的是（）

A.tz=c-sinAB.a=c-cosAC.a=c・tanAD.a-c-cotA

4.在中，点/）、E分别在边A3、AC上，AD:BD=2:3,那么下列条件中能够判断。的是

（）

DE2DE2AE2AE2

A-----———B.-------—C.=―D.-----———

BC3BC5AC5AC3

5.已知平行四边形ABC。，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）

A.B.NA=/CC.AC=BDD.AB1.BC

6.已知一个单位向量e，设向量a、b是非零向量，则下列等式中正确的是（）

A.口"B.C\b\e-aD-\e\h-b

二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）

7.甲、乙两地实际距离是40千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是cm

8.化简：3（a+2〃）-2（a+4b）=

9.某山路的路面坡度i=l:J旃，沿此山路向上前进200m,升高了m.

10.己知点P是线段A8的黄金分割点（AP>BP）,若AP=6,则BP=

11.已知直线y=kx+b（Q0）与直线y=-』x平行，且截距为5,那么这条直线的解析式为___.

3

12.已知1ABe中，NC=90°,CO是AB边上的高，BD=2,AD=3,则8=

13.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,BC=2AD,若4。=。，BA=b，则AC=（用a，b表

示）

AD

Afj2

14.如图，直线AA〃B4〃CC，如果——二—,BB}=29CC,=3,那么线段AA1的长是

BC3

15.如图，矩形OEFG内接于_ABC,BC=6cm,DE=4cm,EF=2cm,则8c边上的高的长是

16.如图，己知在，ABC中，点。、E、尸分别是边A3、AC.5c上的点，DE//BC.EF//ABf且

5

17.如图，点G为等边.A6C重心，连接AG,以4G为边作等边△AGD，那么瞪业

3△ABC

18.HAABC中，NC=90°，AC=3,BC=2,将此三角形绕点A旋转，当点8落在直线BC上的点。处

时，点。落在点E处，此时点E到直线3c的距离为.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19.计算：tan60°+(^-1)°-।^*就

20.如图，AD是△ABC的中线，12118=，305。=也,4。=啦..求：

52

(1)BC长；

(2)NADC的正弦值.

21.如图，E是平行四边形ABC。的边84延长线上的一点，CE交AD于点F，交80于点G,

A£:AB=1:2,设R4=a，BC=b

（1）用向量4、分别表示下列向量:

AE--------EC=------，EG-......；

（2）在图中求作向量5G分别在a、b方向上的分向量.（不写作法，但要写出画图结果）

22.环球国际金融中心（图中AB所示）是目前某市的标志性建筑.小明家住在金融中心附近的大厦（图中8所

示），他先在自己家的阳台（图中的点。处）测得金融中心的顶端（点A）的仰角为37°,然后来到楼下，由于附

近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P处），测得点A的仰角

为45°,又点C、P、8在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，根据上述信息求出环球国际金融中心

（AB）的高度.（备用数据:sin37°=0.6,cos37°=0.8,tan37°=0.75）

23.如图，矩形ABC。中，点后是8边上一点，连接AC、BE交于点M,BE、AO的延长线交于点N

CMBE

(1)求证:

(2)联接。0,若E为CD中点，且ZW=A£>,求证：DM2=DEDC

24.已知：平面直角坐标系双？中，直线y=-3x+机经过点并且与>轴交于点C，点A在x轴正半

(2)联结AB、AC,求/ABC的余弦值；

(3)设直线交x轴于点E，问：在x轴上是否存在点「，使得△回(?与.A8E相似，若存在，请求出点P

的坐标，若不存在，请说明理由

25.如图，已知△ABC中，AB=8,8c=10,AC=12,D是AC边上一点，且联结BD,点

E、F分别是BC、AC上两点(点E不与B、C重合)，NAEF=NC,AE与BD相交于点G.

(1)求证：BD平分NABC；

(2)设=CF=y,求>与x之间的函数关系式;

(3)联结FG,当△G£F是等腰三角形时，求BE的长度.

（■&用图）

2022学年第一学期期中练习

九年级数学练习卷2022年11月

一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）

1.已知（”+y）：y=5：2,那么X：y等于（）

A.3:5B.5:3C,2:3D.3:2

【答案】D

x+y=5k

【分析】根据题意，可设《c,，求出入'V，即可求解.

[y=2k

【详解】解：♦••（x+y）：y=5:2

x+y=5左x=3k

...可设＜，解得＜

y=2k、y=2k

x:y=3k:2k=3:2

故选：D

【点睛】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例的性质用攵表示出Hy的值.

2.如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（）

A.扩大为原来两倍B.缩小为原来的-C.不变D.不能确定

2

【答案】C

【详解】因为AABC三边的长度都扩大为原来的2倍所得的三角形与原三角形相似，

所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.

故选C.

3.中，ZC=90°,/A、/C所对的边分别为。、。，下列式子中，正确的是（）

A.a=usinAB.a-c-cosAC.a—c-tanAD.a-c-cotA

【答案】A

【分析】根据锐角三角函数的定义即可求解.

【详解】解：如图所示，

A.VZA=90°,/A、NC所对的边分别为〃、c

a

.sinA,

c

，a=c・sinA,故选项正确；

B.VZA=90°,2A、NC所对的边分别为。、c,

an

:.--cosB,

c

a=c»cosB，故选项错误；

C.VZA=90°,/A、/C所对的边分别为。、c,

-77;=tanA，AC=\lc2-a2，

AC

*"-a=Vc2—a2-tanA)故选项错误;

D.VZA=90°,/A、/C所对的边分别为〃、c,

-----=cotA,A。=J。?一。2，

a

cotA

故选：A

【点睛】此题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

4.在.A8C中，点。、£分别在边A3、AC上，AD:BD=2:3,那么下列条件中能够判断。石〃的是

()

DE2DE2AE2AE2

A.-----=-B.-----=一C.----=—D.-----=一

BC3BC5AC5AC3

【答案】C

【分析】可先假设。E〃8C，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论.

【详解】如图，

,/AD:BD=2:3

An2

•DE—故A选项错误,

"BCAB5

,故D选项错误；

ACAB5

n/7AD2

反过来，当——=——=一时，不能得到。石〃8C，故B选项错误;

BCAB5

APAno

当——=——=一时，能得到。石〃8C,故C选项正确；

ACAB5

故选：C.

【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用.

5.己知平行四边形A8CD,下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）

A.ZA=ZBB.ZA=ZCC.AC=BDD.AB1.BC

【答案】B

【分析】由矩形的判定方法依次判断即可得出结果.

【详解】解：A、NA=NB,NA+NB=180。，所以NA=NB=90。，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意；

B、NA=NC不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意；

C、AC=BD,对角线相等，可推出平行四边形ABC。是矩形，故不符合题意；

D、ABLBC,所以N8=90。，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意，

故选B.

【点睛】本题考查了矩形的判定，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩

形、有三个角是直角的四边形是矩形”是解题的关键.

6.已知一个单位向量e，设向量人是非零向量，则下列等式中正确的是（）

A.=eB-加巾c.=aD,\e\b=b

【答案】D

【分析】根据向量相等基本概念，对选项逐个判断即可，向量相等是指向量的模相等而且方向相同.

【详解】解：A,a与e的方向不一定相同，选项错误，不符合题意；

B、.与的方向不一定相同，选项错误，不符合题意；

C、q与e的方向不一定相同，选项错误，不符合题意；

D、匕与匕的方向相同，而且两个向量的模相等，选项正确，符合题意.

故选：D

【点睛】此题考查了向量的有关概念，解题的关键是熟练掌握向量的有关概念.

二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）

7.甲、乙两地的实际距离是40千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是cm

【答案】8

【分析】根据实际距离X比例尺=图上距离，代入数据计算即可.

【详解】解：40千米=4000000厘米，

4000000x------=8（cm）.

500000

故答案为：8.

【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是能够根据比例尺灵活计算，并且注意单位的换算问题.

8.化简：3（a+2Z?）-2（a+4/?）=

【答案】a-2b##-2b+a

【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，注意去括号法则.

【详解】解：3（a+2Z?）-2（a+4b）=3a+6Z?-2a—86=”一2匕，

故答案为：a—2b.

【点睛】本题考查平面向量的加减运算，熟练掌握向量的加减运算法则是解题的关键.

9.某山路的路面坡度i=l:J旃，沿此山路向上前进200m,升高了m.

【答案】10

【分析】设斜面高为r，长为由勾股定理即可求出结果.

【详解】解：•.•坡面坡度i=l：V399.

山坡的垂直距离：山坡的水平距离=1：V399-

设斜面高为f,长为J3993

由勾股定理，得：F+（回^。2=2002,

解得:r=10,

二山坡的垂直距离10米,即升高了10米.

故答案为10.

【点睛】本题考查三角函数的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意勾股定理的合理运用.

10.已知点P是线段A8的黄金分割点（AP>BP）,若AP=6,则3P=

【答案】36-3##-3+36

【分析】根据黄金分割的定义列出方程即可求出结论.

【详解】解：根据黄金分割的定义，得AP'ABBP，

即6?=（BP+61BP,

整理得：8P2+6BP—36=0，

解得8P=-3+36或-3-3石（不符合实际，舍去），

因此BP=3不—3，

故答案为：375-3.

【点睛】本题考查黄金分割点，掌握黄金分割的定义是解题的关键.

11.已知直线y=kx+b(k#0)与直线y=-gx平行，且截距为5,那么这条直线的解析式为.

【答案】x+5

【详解】分析：根据互相平行的两直线的关系求得系数k的值，再根据再y轴的截距确定出b的值即可得到直线的

解析式.

详解：：直线y=kx+b平行于直线y=-!x,

3

1

・・k=一-.

3

又・・•截距为5,

・・・b=5,

这条直线的解析式是y=-gx+5.

故答案是：y=--x+5.

点睛：此题主要考查了待定系数法求函数的解析式，关键是明确互相平行的两直线的系数k相同.

12.已知中，ZC=90°,CO是AB边上的高，皮)=2,AD=3,则8=

【答案】V6

【分析】根据题意配图，找到图形中的△CD3与"DC相似，即可得出8与A£＞和8。的数量关系，据此求出

结果.

【详解】解：如图所示，

ZAC£)+ZA=90°,ZACD+ZBCD=90°,

■■■ZA=ZBCD

又ZADC=NCDB=90。

•••Rt二ADCSRMCDB(两角对应相等的两个三角形相似)，

ADCD,

■•—-即RI1C£T=AOB"

CDBD

CD2=2x3=6.

CD=y/6.

故答案为：A/6

DB

【点睛】本题考查了直角三角形相似判定和性质的应用，配图并发现图形中相似的直角三角形是解题关键.

13.如图，在梯形ABC。中，AD//BC,BC^IAD,若A£)=a，BA=b，则AC=(用a，b表

示)

【答案】2d—b

【分析】根据AD〃BC，BC=2AD,AD=a，可得3c=2AZ5=2d，再由AC=6C-84，即可求解.

【详解】解：•••A£)〃BC，BC=2AD,AD=a'

•••BC=2AD=2a，

,•*BA=b，

•••AC=BC-BA=2a-b-

故答案为：2a—b

【点睛】此题考查了平面向量的知识与梯形的性质，此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意数形结合

思想的应用.

4R2

14.如图，直线A&〃，如果——=_,=2,CC,=3,那么线段4%的长是

BC3

41

【答案】-##1-

33

【分析】过点4作AE〃AC,交BB］于点、D,交CG于点E,可得四边形A8D4,和四边形BCED是平行四边

形，设AAjUX,从而得到CE=BZ)=A4(=x,A^D=AB,DE=BC,进而得到。片=2-》，ECt=3-x,

AD2

若=嚏，再根据.AQ51SA^G，即可求解.

AnJ

【详解】解：如图，过点A作4E〃AC,交BB】于点D,交CG于点E,

设A4,=x,

•；A4,//BB[//eq,

四边形ABD4,和四边形BCEO是平行四边形,

:.CE=BD=AA^=x,A。=AB,DE=BC,

Af)7

BB.=2,CC,=3,

BC3

.42=2DB-2-x,EC.=3-x,

DE3

.A2_2

,,\E5'

•:BB"CC\,

.\DBXs..AEC],

。

・・DB・y津4=若，即11n:2;——x==2，

EC】A^E3—x5

4

解得：x=]，

4

即A4,=3.

4

故答案：一

3

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性

质是解题的关键.

15.如图，矩形OEFG内接于_A5C,BC=6cm,DE=4cm,EF=2cm,则8c边上的高的长是

【答案】6cm##6厘米

【分析】过点A作4WLBC于点〃，交尸G于点N,先根据矩形的性质可得MN=EF=2cm,

FG=£>£=4cm,再证△AGf's^ABC，利用相似三角形对应高线之比等于相似比列出等式，即可求解.

【详解】解：如图，过点4作A"_LBC于点交FG于点N,

矩形。EEG中，O£=4cm,£R=2cm,

:.MN=EF=2cm,FG=£>E=4cm.FG//DE,

：.AN±FG,

FG//DE,

：.ZAGF^ZB,ZAFG=NC,

：./\AGF^/\ABC,

•_A_N___G_F_

设AM=jccm,则4V-(x-2)cm,

x-24

----=一,

x6

解得x=6,

即AM=6cm,

则8C边上高的长是6cm,

故答案为：6cm.

【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证明是解题的关键.

16.如图，已知在,A5C中，点。、E、F分别是边43、AC.3c上的点，DE//BC,EF//AB,且

AD:DB^3:5,那么

CB

【答案】-##5:8

8

【分析】根据平行线分线段成比例定理，由。E〃8c得到AE：EC=AD：OB=3：5,则利用比例性质得到CE：

。=5：8,然后利用£尸〃AB可得到CF：CB=5：8.

【详解】解：♦♦•£＞《〃BC,

：.AE-.EC=AD：08=3：5,

:.CE：CA=5：8,

'JEF//AB,

：.CF：CB=CE：CA=5：8.

即C匕F=25.

CB8

故答案为：I

8

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应

线段成比例.

5

17.如图，点G为等边.ABC的重心，连接4G,以AG为边作等边△4GD，那么寸3=______

、XABC

【分析】延长AG交于点凡连接8G,EF,设AC交OG于点E,设等边,一ABC的边长为。，根据三角形重

心的性质可得4/上8。,/84/=/。4/=4/84。=30°,从而得到NA4E=/C4F=30°,AE1DG，再

2

17

由三角形中位线定理可得EE〃AB,Eb=-AB,可得到「A6GS,.£EG,从而得到AG=-AE,再由勾股定

23

理可得4/=且。，从而得到EG=43a，AE=~,即可求解.

262

【详解】解：如图，延长4G交于点凡连接BG,ER,设AC交OGF点E,

设等边的边长为a,

•••点G为等边ABC的重心，△AGD是等边三角形，

:.BF=CF=%,44c=60。，NBAC=NZMG=60。，DG^AG,

2

：.AF±BC,NBAF=ZCAF=-ZBAC=30°,

2

ZDAE=ZCAF=30°,

：.AE1DG,

.•.点8,G,£三点共线，

即的_LAC,

AE=CE，

：.EF//AB,EF=-AB,

2

...ABGS^FEG，

即AG=2AF,

AGAB23

■:AFBC»AC=a,BF=CF=—,

2

•••AF=y/AC2-CF2=­a.

2

•••DG=AG=—a<

3

・“&

•・EG=——a，

6

・•.AE=YIAG2-EG2=-,

2

aV3

q-AEDG—x——a1

・°AGD2AEDG_23_I

一q[-AFBC''6~3

°ABCAFBC

——axa

22

故答案为：—

3

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形

重心的性质，熟练掌握等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形重

心的性质是解题的关键.

18.HAA8C中，ZC=90°-AC=3,BC=2,将此三角形绕点A旋转，当点5落在直线上的点。处

时，点C落在点E处，此时点E到直线8C的距离为.

【答案】—•

13

【分析】过8作BG1AD于G,利用旋转的性质及勾股定理求得AB=AD=y/n，再利用

SABD^^AD-BD^^AC-BG,得8G=与3,过E作交BO的延长线于“，利用A/WGs

9EH，得己一='—,故JB—F-，即可求出EH.

DEEH------=---------

2EH

【详解】解：如图，过8作8G_LAO于G,

,/将AABC绕点A旋转得到AADE，

AAD=AB，DE=BC,ZADE=ZABC,

•.♦RrMBC中，ZC=90°.AC=3,BC=2,

AB=AD=YJAC2+BC2=V13>

8D=2BC=4,ZABC=ZADB,

•••SABD=^AD-BD=^AC-BG,

.x12岳

••£>(jr=-----------，

13

过E作EH，BD交的延长线于”，

,/ZBAG=180°-ZABC-ZADB，ZEDH=180°-ZADB-ZADE，

ZBAG=ZEDH,

ZAGB=ZDHE=90°>

:.ZVLBGsM)EH，

.ABBG

:.----=-----,

DEEH

12V13

•,•恒

2~EH

24

EH=—

13

，点E到直线BC的距离为：一.

13

24

故答案为--.

13

此题主要考查旋转的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

4

19.计算：tan60°+

V3+1

【答案】36-3

【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数基，负整指数'幕，二次根式的混合运算，求解即可.

【详解】解：tan60。+

百+1-2+如巨量

2

=G—1+2回2

=3痒3

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，零指数累，负整数指数事和二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运

算法则.

20.如图，AD是AABC的中线,tanB―—,cosC——,AC—•求•

(1)BC的长;

(2)NADC的正弦值.

【答案】(1)6；(2)B

5

【分析】(1)过点A作A”_L6C于点H,利用锐角三角函数求出CH的长，再算出AH的长，再根据tanB求出

BH的长，最后求出BC的长；

AH

(2)利用勾股定理求出AD的长，NADC的正弦值等于——.

AD

【详解】解：(1)如图，过点A作于点H,

在Rt_AC〃中，

..「CH正”区

•cosC==—,AC=，

AC2

-AH=4AC2-CH'=1

在Rt-AB”中，

AH1

.tanBn=-----=—)

BH5

BH=5,

：.BC=BH+CH=6；

(2)-：BD=CD,

,•CD=3,DH=2,

AD=>JAH2+DH2=也,

在Rf中，sinZADH—

AD5

—ADC的正弦值是好.

5

【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握利用锐角三角函数求三角形边长的方法，和已知三角形边长

求锐角三角函数的方法.

21.如图，E是平行四边形ABCQ的边84延长线上的一点，CE交AD于点F，交BD于点、G,

AE:AB=1:2,设BA=a，BC=b

E

D

一

BC

（1）用向量4、b分别表示下列向量：

AE----------EC=-------->EG-------；

（2）在图中求作向量5G分别在a、b方向上的分向量.（不写作法，但要写出画图结果）

1393

【答案】（1）—a,—a+b,a—b

22105

（2）见解析；

【分析】（1）利用向量的线性运算，求解即可；

（2）过点G分别作A3、8C的平行线，即可求解.

【小问1详解】

解：：AE:AB=1:2

AB:BE=2:3

11

由题意可得：AE=-BA=-a；

22

.13

EC=EA+AB+BC=-AE-BA+BC=——a-a+b=——a+b

22

由平行四边形的性质可得：AB//CD,AB=CD

.CGCD2

3

从而得到EG=—EC

33393

EG=-EC=-x（--a+b）=-—a+-b,

552105

1393

故答案为：-a,—a+b>ciH—b

22105

【小问2详解】

如图：过点G作GM〃AB交6c于点"，过点G作GN〃BC交A8于点N

则向量BN、8M是向量BG分别在a、方方向上的分向量.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，向量的线性运算和平行四边形法则等知识，

熟练掌握上述知识是解题的关键.

22.环球国际金融中心（图中A8所示）是目前某市的标志性建筑.小明家住在金融中心附近的大厦（图中8所

示），他先在自己家的阳台（图中的点。处）测得金融中心的顶端（点A）的仰角为37°,然后来到楼下，由于附

近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P处），测得点A的仰角

为45°,又点C、P、B在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，根据上述信息求出环球国际金融中心

（A8）的高度.（备用数据：sin37°=0.6.cos37°=0.8,tan37°=0.75）

A

D，//0

9/篇，'[R|D

cPB

【答案】492米

【分析】构造37。所在的直角三角形，可得=那么A8减去60,即为AE；PB+PC即为长，利用

37。的正切值即可求得环球国际金融中心（A5）的高度.

【详解】过点。作。48,交A8于点E,则NAEQ=90。

根据题意，得：ZAQE=37°,ZAPB=45°,CQ=60,C尸=84,ABIBC,CDLBC,

：.NABP=90°,

ZAPB=ZR4P=45°,

•••PB=AB，

VABIBC,CDLBC,QE1AB,

：.ZQCB=ZCBE=ZBEQ=90°,

四边形CBQE是矩形,

/.BE=CQ=60,QE=BC,

设AB=x(米)，则P8=x米，AE=(x-60)米,

QE=CB=(x+84)米，

在Rtz^AQE中，AE=0Etan37°,

3

即x-60=&+84）.

解得：x=492.

答：环球国际金融中心（AB）的高度约为492米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键.

23.如图，矩形ABCO中，点E是8边上一点，连接AC、BE交于点、M,BE、A。的延长线交于点N

CMBE

（1）求证:

（2）联接若E为CO中点，且=求证：DM2=DEDC

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）过点N作NPL8C交8C的延长线于点P,先证明四边形。CPN是矩形，再证

YBMCWNMA,得到生=生=变，再证△BCESABPM得到生=变，即可得到结论；

AMANBPBPBN

（2）先证明△6C£^Z\A©£（AAS）得到8C=£W=AD,再根据等边对等角和三角形内角和定理得到

ZAMN=ABMC=90°,由同角的余角相等得到NC8W=,进一步得到

ZDCM=NDNM=ZDMN,又ZMDE=/CDM,则△MDEsZ\CDAf,结论得证.

【小问1详解】

证明：过点N作NP,18c交8C的延长线于点P,则NP=90°,

；四边形ABC。是矩形，

ZADC=ZBCD=90°,AD=BC,AD〃BC,

NBCP=/CDN=90°,

二四边形OCPN是矩形，

DN=PC,

AN=AD+DN=BC+PC=BP,

,：AN//BC

：.NBMC^NNMA，

.CMBCBC

"AM~AN~BP'

■：CD//PN,

:.△BCEsMPN,

.BCBE

.CMBE

,,AM—BN；

【小问2详解】

,/E为CD中点、,

：.CE=DE

•:AD//BC,

：.NDNE=NCBE,

,//DEN=/CEB,

：.△BCE"ANDE(AAS)

:.BC=DN=AD,

DM=AD，

:.DM=DN=AD,ZDAM=ZDMA，

：.NDMN=/DNM,

：.ZAMD+4DMN=ADAM+4DNM=-xl80°=90°,

2

...NAMN=NBMC=90°,

:.ZCBM+ZBCM=ZBCM+ZDCM=90°,

/./CBM=NDCM,

NDCM=NDNM=NDMN,

ZMDE=ZCDM,

:.AMDESMDM,

,DM_DE

''~DC~~DM'

DM2=DE-DC.

【点睛】此题考查了矩形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握

相似三角形的判定和性质是解题的关键.

24.己知：在平面直角坐标系xoy中，直线y=-3x+m经过点并且与y轴交于点C,点A在X轴正半

(2)联结AB、AC,求/ABC的余弦值；

(3)设直线交x轴于点E，问：在x轴上是否存在点p,使得与,.ABE相似，若存在，请求出点产

的坐标，若不存在，请说明理由

【答案】⑴y=—3x+2、(2,0)；

2

(3)存在，(—1,0)或(—§,())

【分析】(1)将点8代入y=-3x+〃?求得加，从而求得点。的坐标，求得。4即可求解；

(2)求出线段A3、AC，8c的长度，判断出为直角三角形，根据三角函数的定义求解即可；

(3)由题意可得：NC4P=/8AE=45°,分两种情况，△APCsA4E3和分别求解即可.

【小问1详解】

解：将点代入y=-3x+m可得，-1=_3+〃？

解得加=2,即y=-3x+2

则C(0,2),从而OC=Q4=2,

则点A(2,0)

【小问2详解】

如下图：

AB=\J\'+12=V2>BC=5/3?+F=V10，AC=V22+22=2>/2

■:AB2+AC2=BC2

，为直角三角形

cosZABC=—=—

当P在A点的右侧时，NC4尸=135°,此时与△APC和△AEB不可能相似;

则点P在A点的左侧

设PQ,0),则AP=2—r

一2及

APAC2T_9

当△APCsaAEB时，,B|J4-一也‘解得］

'AE'AB-

3

即P(-1,0)

2&

APAC2T_

当△APCs^AB