2022-2023学年新教材高中数学课时作业十九 函数的最大小值（北师大版必修第一册）

课时作业(十九)函数的最大(小)值

［练基础］

x+7,[-1,1

1.函数f(x)=则F(x)的最大值、最小值分别为()

2x+6,%e[l,2]

A10,6B.10,8

C8,6D.以上都不对

21

2已知函数F(x)=-xe［—8,-4),则下列说法正确的是()

x~\

Af(x)有最大值.，无最小值

57

B/Xx)有最大值日，最小值?

35

7

C/'(X)有最大值£无最小值

□

7

Df(x)有最大值2,最小值三

3函数f(x)=x—N*+1的最小值为()

51

A--B——

42

C-1D.0

一，

4函数f{x)=<*的最大值为

—x+2,x<l

5.函数/'(*)=,在［1,8］(力1)上的最小值是1则b=

x4

9v—1

6.已知函数F(x)=-［3,5］.

x+\

(1)判断函数在区间［3,5］上的单调性，并给出证明；

(2)求该函数的最大值和最小值.

［提能力］

7.［多选题］已知函数/"(旧=/—2x+2,关于/Xx)的最大(小)值有如下结论，其中正

确的是()

A.f(x)在区间上的最小值为1

B.f(x)在区间［—1,2］上既有最小值，又有最大值

C.f(x)在区间⑵3］上有最小值2,最大值5

D.当0<a<l时，/'(x)在区间［0,a］上的最小值为f(a),当a>l时，F(x)在区间［0,a］

上的最小值为1

8.已知函数y=V—2x+3在区间［0,加上有最大值3,最小值2,则0的取值范围是

9.已知函数g(x)=ax2—2ax+l+从a>0)在区间［2,3］上有最大值4和最小值1.

(1)求a、6的值;

(2)设f(x)=，若不等式f(x)—4>0在xe(2,5］上恒成立,求实数k的取值范围.

x—2

［战疑难］

10.已知若函数f(x)—2x+l在区间［1,3］上的最大值为材(a),最小值

为Ma),令g(a)=Ma)—Ma).

(1)求以a)的函数表达式；

(2)求函数g(a)单调增区间与单调减区间，并求出g(a)的最小值.

课时作业(十九)函数的最大(小)值

1.解析：当一1<X<1时，6Wx+7<8,

当1WXW2时,8W2x+6W10.

；.f(x)min=f(-l)=6,

f(x)max=f(2)=10.故选A.

答案：A

2.解析：f(x)=-^-=2+-£-,它在［一8,—4)上单调递减，因此有最大值f(-8)=*

无最小值.故选A.

答案：A

3.解析：令&+1=20,则x=t2—1,则f(t)=t2—t—l=(t—；)2—故函数的最小

i5

值在t=］取到，f(t)min=-

答案：A

4.解析：当x》l时，函数f(x)=l为减函数，所以f(x)在x=l处取得最大值，为f(l)=

X

1；当x<l时，易知函数f(x)=—x2+2在x=0处取得最大值，为f(0)=2.故函数f(x)的

最大值为2.

答案：2

5.解析：因为f(x)在［1,b］上是减函数，所以f(x)在［1,b］上的最小值为f(b)=［=］

b4

所以b=4.

答案：4

6.解析：(1)函数f(x)在［3,5］上是单调递增的，

证明：设任意xl,x2,满足3<xl〈x2W5.

2x1-12x2-1

因为f(xl)-f(x2)

xl+1x2+l

2x1—1x2+1—2x2—1xl+1

xl+1x2+1

3xl—x2

xl+1x2+1'

因为3Wxl〈x2W5,所以xl+l>0,x2+l>0,xl-x2<0.

所以f(xl)-f(x2)<0,

即f(xl)<f(x2).

所以f(x)=±U在［3,5］上是单调递增的.

X+1

(2)f(x)min=f(3)=，

二<5：I1匕T

f(x)max=f(5)=，，=方

7.解析：函数f(x)=x2—2x+2=(x—1)2+1的图象开口向上，对称轴为直线x=l.在选

项A中，因为f(x)在区间［—1,0］上单调递减，所以f(x)在区间［―1,0］上的最小值为f(0)

=2,A错误；在选项B中，因为f(x)在区间上单调递减，在［1,2］上单调递增，所

以f(x)在区间［—1,2］上的最小值为f(1)=1,又因为f(—1)=5,f(2)=2,f(-l)>f(2),

所以f(x)在区间［—1,2］上的最大值为f(—1)=5,B正确；在选项C中，因为f(x)在区间

［2,3］上单调递增,所以f(x)在区间［2,所上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正

确；在选项D中，当0<a<l时，f(x)在区间［0,a］上是减函数，f(x)的最小值为f(a),当

a>l时，由图象知f(x)在区间［0,a］上的最小值为1,D正确.

答案：BCD

8.解析：：y=x2-2x+3=(x—1)2+2,当x=l时，ymin=2；当y=3时，x2—2x+3=3,

解得x=0或x=2.由y=x2—2x+3的图象知，当mC［1,2］时，能保证y的最大值为3,最

小值为2.

答案：［1,2］

9.解析：(l)；g(x)开口方向向上，且对称轴方程为x=l,

.•.g(x)在［2,3］上单调递增，

.|gxmin=g2=4a—4a+l+b=l,

［gxmax=g3=9a-6a+l+b=4,

解得a=l且b=0.

(2)Vf(x)—k>0在xe(2,5]上恒成立.

所以只需k<f(x)min,

,zxx2—2x+111[]

由(1)知f(x)=--------=x+--=x-2+--+2^2\X-2-1-2=4.

x—2x—2x—2\lx—2

当且仅当x-2=-二,即x=3时等号成立.，k〈4.

x—2

即k的取值范围是(一8,4).

10.解析：(l)V^a^l,

的图象为开口向上的抛物线，且对称轴x=F1，3].

•..f(x)有最小值N(a)=l-.

1-

当2W：W3时，ae

2-f(X)有最大值M(a)=f(1)=a—1；

-

当1v〈2时，aeg

1,£&)有最大值\1[)=乳3)=92—5.

a-2+1ga4),

；.g(a)=

9a-6+版aWl).

(2)设*alWa2W),则

O乙

g(al)—g(