四川省成都市嘉祥教育集团2023-2024学年高一年级上册期中考试数学试题 含解析

2023-2024学年度高一上学期半期监测试题

数学

注意事项：

1.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，请

监考人员将答题卡收回.

2.选择题部分用2B铅笔填涂；非选择题部分使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、

笔迹清楚.

3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在

草稿纸、试题卷上答题均无效.

4.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.若集合"={RT<X<3},N={X|XN1},则集合“uN=（）

A.|x|x>-l|B.{x|-l<x<3}

C.{x|l<x<3}D.R

【答案】A

【解析】

【分析】由并集运算的定义可得.

【详解】：M=卜卜1<x<3},N=1x|x>11,

根据并集运算的定义可得，

A/uN={x|x>-1}.

故选：A.

2.已知Z={x|l«x«2},8={引14丁44},下列对应法则不可以作为从A到8的函数的是（）

A./:x->y=2xB,f\x-^y-x2

C.f:x-^y=—D.f:x-^y=\x-4\

X

【答案】C

【解析】

【分析】求出每个选项中对应法则中了的取值范围，结合函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，当lWx<2时，y=2xe[2,4],且[2,4仁8,A中的对应法则可以作为从A到B

的函数；

对于B选项，当时，j^=x2e[l,4],且8=[1,4],B中的对应法则可以作为从A到8的函数；

对于C选项，当lWx<2时，y=-,1,且-,1DB,C中的对应法则不能作为从A到8的函数;

x\_2]\_2

对于D选项，当时，-3<x-4<-2,则y=|x-4]e[2,3],且[2,3仁5,

D中的对应法则可以作为从A到8的函数.

故选：C.

3.下列结论正确的是（）

A.若则一>—B.若,C>0,则QC>6c

ab

C.若。>b,贝lj@>2D.若则/

cc

【答案】B

【解析】

【分析】取特殊值可判断ACD,利用不等式的性质判断B.

【详解】对A,取a=O,b=—1,显然,>,不成立，故A错误；

ah

对B,由不等式性质知。>3c>0,贝IJQC>6C正确，故B正确；

对C,取c=—l时，由可得故c错误；

CC

对D,“=0,6=-1时，显然（）2<（7）2,故D错误.

故选：B.

4.设xeR,则“x（x-4）<0”是“k一1|<1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求出不等式的解集，根据0<x<2为0<x<4的真子集，得到答案.

【详解】解不等式x(x-4)<0得0<x<4,

不等式上一1|<1化为一所以0<x<2,

因为“|0<x<2｝为｛x[0<x<4｝的真子集,

所以“x(x-4)<0”是“卜一1|<1"的必要不充分条件.

故选：B

5.函数/(%)=二一的最大值为()

X'+X+1

542

A.-B.-C.1D.

333

【答案】B

【解析】

【分析】利用配方法整理分母，结合不等式的性质，可得答案.

【详解】由八川++「+：梳则。7Tq.

故选：B

132

6.若0<x<上，则歹=上-+^^的最小值为()

32x1-3x

25

A.12B.6+4百C.9+V6D.

T

【答案】D

【解析】

32

【分析】由题意确定l-3x>0,且(l-3x)+3x=l将N甘+口；变形为

92

-2―+--)[(1-3x)+3x],展开后利用基本不等式，即可求得答案.

2x3xl-3x

【详解】因为0<x<；,故1—3x>0,则(l-3x)+3x=l,

3292

故”=-+—^_____3x]

2xl-3x(+)[(13x)+

139(l-3x)6x13cl9(l-3x)—6x-25

22x3xl-3x2V2x3xl-3x2

当且仅当止双=上,即J■时等号成立,

2x3%l-3x

3225

即»=—+-----的最小值为一,

2xl-3x2

故选：D

7.近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤v元/斤，甲和乙购买猪肉的方式

不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价为分别记为g，则下列

结论正确的是（）

A.呵=m2B.z»|>m2

C.m2>miD.加i，叫的大小无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】分别计算甲、乙购买猪肉的平均单价，作商法，结合基本不等式比较它们的大小.

2x2022ah

【详解】甲购买猪肉的平均单价为：町=2020=工―r=-g,

------11

abab

一必一…….一心乜,…6a+6ba+h

乙购头猪肉的平均单价为：%=-------=-----，

122

显然町>0,加2〉°，

2ab

且叫=7n=4ab=4ab4ab1

22

m2a+b（a+a+lab+blab+2ab

当且仅当a=b时取“=”，

因为两次购买的单价不同，即小b,

所以加1<m2,

即乙的购买方式平均单价较大.

故选：C.

8.函数“X）满足/（-x）=/（x）,当X”/e[0,+oo）时都有/（』）二/。2）〉0,且对任意的

玉-9L2」

不等式/（6+1）〈/@一2）恒成立.则实数。的取值范围是（）

A.[-5,1]B.[—5,0]C.[-2,0]D.[—2,1]

【答案】C

【解析】

【分析】分析得到函数为偶函数，在[0,+8）单调递增，则对任意的xe,不等式/（G+1）W/（x-2）

恒成立，转化为|6+1区|x-2|,xe恒成立，再转化为(ax+l)2—(x—2)2K0,得

1—xx—3I

(«--)(«-----)<0,X6-51恒成立，再分两种情况，得到。的范围.

xx\_2

【详解】由题得函数/(x)为偶函数，在［0,+8)单调递增，

则对任意的xe1,1,不等式/(6+1)</(工一2)恒成立，

则不等式/'(|办+1。,xepl恒成立,

则IOX+1区IX-2|,XG恒成立,

2

1—YY—3I

得（办+1）2-（工一2）2W0,得伍-----X。-------）<0,XG-,1恒成立,

xx\_2

I1—Yx—3

又当xe—,1,有04—41,-5<^—^<-2,

_2Jxx

-2<a<0.

故选：C.

【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性解不等式，考查了学生分析能力，逻辑思维能力，转化思

想，综合能力强，难度大.

二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分)

9.下列各组中M,P表示相同集合的是()

A.A/={xIx=2n,〃£Z},P={xIx=2(〃+l),〃£Z}

22

B.M={y\y=x+lfx^R},P={x\x=t+l,，£R}

,3,

C.M={x\----ez,%eN},P={xIx=2kl<Jt<4,}

5-xf

22-

D.M={y\y=x—if},P={(x，y)Iy=x1,x^R}

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答.

【详解】对于A,因为"GZ,则“+1GZ,因此集合M,P都表示所以偶数组成的集合，A正确,

对于B,M={y|y=N+l,xGR}=[l,+oo),P={x\x=t2+ZSR)=[l,+oo),即B正确，

对于C,例={2,4,6,8},尸={2,4,6,8}因此C正确，

对于D,集合M的元素是实数，集合尸的元素是有序实数对，因此D不正确.

故选：ABC

2x+1

10.关于函数/(%)=-----,正确的说法是()

x-1

A./(x)与x轴仅有一个交点

B./(x)的值域为卜»工2}

C.7(x)在(1,+8)单调递增

D.7(x)的图象关于点(1,2)中心对称

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据函数求值、值域的定义、函数单调性、对称性，可得答案.

【详解】对于A,令/(x)=0,则止1=0,由X—1H0,则2x+l=0,解得x=-L

x—12

所以函数/(X)图象与X轴交唯一一点(―；，°)，故A正确；

对于B,由函数/卜)=上^=2+上，显然——N0,则/(x)02,

X—1X—1X—1

所以函数/(x)的值域卜b=2},故B正确；

3

对于C,由函数/(x)=2+「y,根据反比例函数的单调性，

可得/(x)在(—00,1)和(1,+8)上单调递减，故C错误；

对于D,4—"2—x)=412+―--]=2+上=/(x),故D正确.

k2-x-lJx-1

故选：ABD.

11.若。>0,b>0,。+人=2,则下列不等式恒成立的是()

A.ab<\B.4a+^b<2

C.a2+b2>2D.-+^<2

ab

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据基本不等式可判断A正确，B正确，C正确；取特值可判断D错误.

【详解】因为a>0,b>0,a+b=2,

对于A,2=a+bN2M，当且仅当a=b=l时，等号成立，所以故A正确；

对于B,(yja+>/b)2=a+b+2>/ab<a+b+a+b—2(a+b)—4,当且仅当a=b=l时，等号成立，所以

4a+4b<2<故B正确；

-IT—212+b~+h~+Z>~+2ab(a+b)~4,,

对于C,a2+h2=------------->-------------=-------=一=2，故C正确；

2222

131]?

对于D,取〃=—,b=—,得—I—=2H—>2,故D错误.

22ab3

故选：ABC

12.设函数/(x)=min{|x-2|,f,|x+2|},其中min{x,y,z}表示x,门z中的最小者.下列说法正确的

有()

A.函数/(x)为偶函数

B.当XG(l,+oo)时，/(x-2)</(X)

C.当xe[—4,4]时，/(x—2)N/(x)

D.当xeR时，/(/(x))</(x)

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据给定函数，画出函数图象并求出函数/(X)解析式，再逐项分析判断即得.

【详解】画出函数/(X)的图象，如图所示：

\3­/

\，-/

、・・/

.■一

•552呼I233

■，・.

|x+2〔,x<-1

对于A,观察图象得/(8)=<一,一14》41,当一IWXWI时，,f(-x)=f=/(x),

|x-2|,x)l

当x<-4时,-x>1»f(-x)=|-x-21=|x+21=/(x),当x〉l时，—x<—1,

f(-x)=|-x+2|=|x-21=f(x),因此VxeR,/(-%)=f(x),/㈤为偶函数,A正确；

对于B,当x〉l时，/(x)=|x-2|,y=/(x-2)的图象可看做是y=/(x)的图象向右平移两个单位而得,

经过平移后，》=/(》一2)的图象总是在y=/(x)图象的下方，即/(X—2)4/(x)恒成立，B正确；

对于C,当xe[-4,4]时，y=/'(x-2)的图象可看做是y=/(x)的图象向右平移两个单位而得,

而经过平移后，函数y=/(x-2)的图象有部分在函数y=/(x)的图象下方，C错误；

>2,0<Z<1

对于D,VxeR,/(x)>0,令f=/(x)NO,/(7)=<2—7,1</2,

t—2,t>2

则当OWfWl时，==t(1-t)>0,当1</W2时，t-f(t)=2t-2>0,

当f>2时，/-/(/)=2>0,因此V/20,/«)4f成立，即当xeR时，/(/(x))</(x),D正确.

故选：ABD

第n卷(非选择题共90分)

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.募函数V—/在(0,+8)上的单调性是.(填“单调递增”或“单调递减”)

y-x

【答案】单调递增

【解析】

【分析】根据基函数的性质求解.

【详解】因为々>0,所以幕函数v.蓝在(0,+8)上单调递增，

故答案为：单调递增.

14.已知函数/(x)是奇函数，当x>0时，/(x)=x2-l,则/(-2)=.

【答案】-3

【解析】

【分析】由奇函数的性质求解即可.

【详解】因为函数/(x)是奇函数，

所以/(—2)=—/(2)=_(22_1)=_3.

故答案为：—3

15.已知集合4={x|-lWxW4},集合8={x|2〃?<X<M+1},且X/xe史8为真命题，则实数

的取值范围为.

【答案】(―8,-2]U[l,+oo)

【解析】

【分析】利用集合交集的结果求参数的取值范围.

【详解】因为Vxw4%史8为真命题，

所以Zc8=0,

又因为Z={x[—1<XW4},8={x[2加<x<〃?+1},

(i)当8=0,即2加2加+1,加2/时，满足题意；

(ii)当BW0,即2“<加+1,机<1时，

2m</n+l2m</w+l

要使Zc8二0,则或，，解得tn<—2，

2m>4

综上所述，相<一2或〃7之1,

故答案为：(—8,—2][，[1,+8).

/、13x+Lx<1“、”、

16.已知函数/(x)={21，若”>加，且/(")=/(〃?)，设/=〃一加，则，的最大值为

x-l,x>1

【答案】已17

【解析】

I12

【分析】作出函数“X)的图象，由此可得加41,1<〃4石,加=;(〃2-2),进而得f=—―〃2+〃+一,根据

333

二次函数的性质即可求出t的最大值.

【详解】解：作出函数/(x)的图象如图所示：

由题意可得加<1,1<〃〈石，

且有3加+1=—1，即加=§("2-2)>

1,1,2

所以£=〃一机二〃——(n-2)=——n+/7+—,

333

因为1<〃4若，对称轴为〃=g,

所以当3时，，的最大值为1*7.

17

故答案为：—

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.已知集合Af={x[l<x<4},集合N={x[3<x<5}.

(1)求McN和Mu低N)；

(2)设/=卜,4彳44+3},若Zu(6N)=R,求实数0的取值范围.

【答案】17.A/cN={x[3<x<4}；M=1x|x<4s£x>5|

18.[2,3]

【解析】

【分析】(1)根据集合的交并补运算，可得答案；

（2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案.

【小问1详解】

由题意，可得a乂={小43或X”},

所以A/cN={x[3<x<4},Af口他2={杂<4或》25}.

【小问2详解】

因为N={x[a4x4a+3},若/u（4N）=R,

所以Ja+<3>5解得24a«3,所以。的取值范围是r[2,]3].

2r/、

18.已知函数/（x）=—:，xe（0,+oo）.

（1）判断函数/（x）的单调性，并利用定义证明；

（2）若/（2〃?-1）>/（1-机），求实数用的取值范围.

【答案】（1）/（x）在（0,+e）上单调递增：证明见解析

【解析】

【分析】（1）由单调性的定义直接证明即可；

（2）结合单调性构造关于机的不等式求解.

【小问1详解】

证明：外力=—=2-----,XG（0,+oo）,

x+lX+1\7

/、/、222（x,

任取0<X]<工2，可知/（玉）一/（》2）=----7-----7=7----,v

x2+1x,+1（x,+l）（x2+1）

因为0<%<冗2，所以王一工2<0，玉+1>0,x2+1>0,

所以/（王）一/（々）<0,即/（%）</卜2）,

故/（X）在（0,+8）上单调递增；

【小问2详解】

由（1）知：/（X）在（0,+8）上单调递增，

2m—\>0

2

所以/（2〃?-1）>/（1-刃），可得<1—〃？>0解得一〈加<1

3

2m-1>\-m

故实数机的范围是

19.已知实数x>0,y>0,且2xy=x+y+a（^x2+y2],aeR.

(1)当a=0时，求2x+4y的最小值，并指出取最小值时x,N的值；

(2)当4时，求x+y的取值范围.

2

【答案】(1)%=上也，歹=药也，最小值3+2及

2-4

(2)[4,+oo)

【解析】

11C

【分析】(1)当。=0时;由已知可得一+—=2,然后利用乘1法，结合基本不等式可求.

xy

(2)当时，2中=+_y2)变成6盯=2(x+y)+(x+J1)),结合基本不等式可求.

【小问1详解】

11C

因为4=0时，已知等式即为2盯=x+y,结合x>0,y>0,所以一+—=2,

%V

故2x+4y」(2x+4田(，+工]=1+2+'+生N3+2R型=3+20,

2\<xy)yx\yx

x2y

当且仅当一=上时等号成立，并结合2中=”+儿

Vx

解得x=i±YZ,歹=马也时，等号成立.

24

【小问2详解】

当。=L时，已知等式即为

2

2xy=x+y++y2）=4xy-2（x+y）+（x206xy=2（x+y）+（x+y）-

x+y、2

注意到xy<

27

所以2（x+y）+（x+»4o4（x+y）«（x+»=x+y24

等号取得的条件是x=N=2.

所以x+V的取值范围是［4,+8）.

20.目前，我国的水环境问题己经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无

组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告,

对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为后=狂），其中丫为传感器在静水中

行进的速度（单位：knvh）,r为行进的时间（单位：h）,左为常数，如果待测量的河道的水流速度为3km小.设

该传感器在水中逆流行进10km消耗的能量为E.

（1）求E关于v的函数关系式；

（2）当v为多少时传感器消耗的能量E最小？并求出E的最小值.

【答案】（1）E=kv~----（v>3）

v-3

（2）v=6knvh,最小值120A.

【解析】

【分析】（1）求出传感器在水中逆流行进10km所用的时间，表达出所消耗的能量；

（2）变形后，利用基本不等式求出最小值，得到答案.

【小问1详解】

由题意，该传感器在水中逆流行进10km所用的时间（。〉3）,

v-3

则所消耗的能量£=五、」2（。>3）.

v-3

【小问2详解】

有E=人2•里=10左.工=10k-［（n-3）+3］2.10k（v-3）+-^―F6

v-3v-3v-3|_v-3_

210后2“n-3>-^+6=120%

9

当且仅当v-3=,即y=6km41时等号成立，

v-3

此时E=kv2-二取得最小值1204.

v-3

ax-2<0

21.已知命题?：工满足《,八,命题,：不满足工2_工一2<0.

QX+1>0

(1)若存在p为真命题，求实数。的取值范围;

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

【答案】(1)(-2,4)

(2)

【解析】

【分析】(1)根据题意，解不等式，结合不等式性质，可得答案；

(2)根据必要不充分条件，将题意写成集合，利用分类讨论思想，可得答案.

【小问1详解】

(1Afax-2<012

当xe|二,3|时，由，»得—1<ax<2,所以—<a£—.

[2；[ax+l>0xx

才c1122,-

而一2<—<—，—<一<4,..—2<<7<4»

x33x

故实数a的取值范围是(-2,4).

【小问2详解】

[ax-2<0/,、

设集合/=1>={x\-1<ax<2],

[ax+l>0j->

8=卜卜2_1-2<o)二卜卜-2)(x+1)<o}=|-1<x<21.

若p是9的必要不充分条件，则8真包含于A.

当。=0时，A=R,满足题意；

1212

当。>0时，A=<x—<x<—，，二—<—1且一22,解得0<aK1；

aa]aa

f211211

当QVO时，A=lx—<x<—、,一<—1且—>2,解得—Wa<0.

aaaa2

综上所述，实数a的取值范围是一1』.

L2J

22.对于函数/(x),若/(x0)=Xo,则称％为/(x)的“不动点”，若/[/(玉))]=%，则称为为/(x)的

“稳定点”，函数/(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和8,即/={x|/(x)=x},

8={x|/[/(x)]=x},那么，

(1)求函数g(x)=3x-8的“稳定点”；

(2)求证：4=B；

(3)若/(x)=ox2-l(a,xwR),且/=求实数”的取值范围.

【答案】(1)“稳定点”为x=4；⑵见解析；⑶一!标

_