2024年高考数学高频考点题型总结一轮复习 三角函数的图像与性质（精练：基础+重难点）

2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结

第20练三角函数的图像与性质（精练）

【A组在基础中考查功底】

一、单选题

1.下列函数中，在［。，本上递增的偶函数是（）

A.y=sinB.y=tan（-x）C.y=cos2.xD.y=|sinx|

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的性质判断即可.

【详解】对于A：y=sin］为奇函数，故A错误；

对于B：y=tan（-x）为奇函数，故B错误；

对于C：y=cos2x为偶函数，但是函数在（0,受上单调递减，故C错误；

对于D：y=/（x）=|sinA-|,则〃-x）=卜皿-"|=|-sinx|=,故丁=卜也才为偶函数，

且xe0,］时y=binX=sinx,函数在0,|上单调递增，故D正确；

故选：D

2.函数小）=旋措_5亩葭的最小正周期为（）

71

A.—B.兀C.4兀D.2兀

2

【答案】D

【分析】利用二倍角公式化简函数解析式，结合余弦函数的周期公式求其周期.

【详解】因为元）=cos2-sin23=cosx,

所以函数“X）的最小正周期T=2兀.

故选：D.

3.求函数/（x）=sinx+cos［x-0的最大值（）

A.否B.&C.2D.1

【答案】A

【分析】利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简/（无），从而求得了（无）的最大值.

【详解】f（尤）=sin尤+cos（x-3］=sinx+^^cosx+，sinx=』sin尤+^^8$尤=括$也1》+二］

I.6）2222（6）

所以，当尤+g=2fat+g,x=2E+£,左eZ时〃尤）取得最大值为由.

623

故选：A

4.若函数y=2sinx+a的最大值为—2,则。的值等于（）

A.2B.-2C.0D.-4

【答案】D

【分析】根据正弦函数的性质即可求解.

【详解】由于-LWsinxWl,所以sinx=l时，y=2sinx+“取最大值，故2+a=-2,所以。=-4,

故选：D

（71兀、

5.若。'彳,]1贝!jsina,cosa,tan（z的大小顺序是（）

A.cosavtanc<sincrB.tanavcosa<sincr

C.cosavsin。vtanaD.sinavcosa<tancr

【答案】c

【分析】利用正弦函数、余弦函数和正切函数的性质分别求得sine,cosa,tana在的取值范围，进而得到

sin%cos/tana的大小顺序.

【详解】当a』；,』时，1<sina<1,0<cosa<,tana>1

U2）22

贝！）0<cosa<——<sin<1<tana>则coscr<sin<z<tana

2

故选：C

6.设06贝UsinO+cosO的一个可能值是（）

A.In2B.匕出C.—D.1

27

【答案】B

【分析】根据辅助角公式以及三角函数的性质可得sine+cos8£（l,j^],进而可求解.

【详解】由于sin6+cos6=\/^sin又所以6+：出,引，

所以sin[e+j）e-^->1,所以sin6+cos（9e（l,0],

用（1，用,

故选：B

7.函数/（x）=sinx-lg尤零点的个数（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】画出函数y=sinx和y=lgx的图象，根据函数图象得到答案.

当0<x<l时，sinx>0,lgx<0,两函数图象没有交点;

当IWxWlO时，两函数图象有3个交点;

当x>10时，1g尤>12sinx,两函数图象没有交点,

综上，函数y=sin元和y=lg尤的图象有3个交点,

所以，函数〃x）=sinx-Igx零点的个数为3.

故选：C.

8.若0<tz<2兀，且sina<1,coscz<—,则。的取值范围是（

22

【答案】B

【分析】根据正余弦函数的取值范围，分别求解sina<±,cosa〈叵,再求解交集即可.

22

【详解】由sinac』，可得0<戊<三或次va<2兀；由cosa<显,可得

266244

综上，。的取值范围是（兽,与].

故选：B.

9.已知角尤为斜三角形的内角，〃x）=6tanx-3,则20的x的取值范围是（）

A-[EB.[EA「，句

【答案】D

【分析】确定变换得到tanx上白，解得答案.

【详解】角x为斜三角形的内角，则/，口生],

/（x）=>/3tanx-3>0,即tanxN石，故xey,-J.

故选：D.

（兀1

10.当XW0,彳时，/（x）=4sinx+-一的最小值为（）

I2」sin尤

A.5B.4C.2D.1

【答案】B

【分析】令7=$也》，由，可得年（（）』，利用基本不等式求解即可.

【详解】令t=sinx,由工€（0个，可得fe（O,l],

所以/«）=书+122M=4,当且仅当书=1时，即r=J,x=（时取等.

t\tt2。

故选：B.

二、多选题

11.下列各式正确的是（）

3»57r

A.sin-<sin—B.cos——>cos——

2646

C.tan——<sin一D.sin—<cos—

6655

【答案】ABD

【分析】根据诱导公式和正余弦函数的单调性比较大小即可.

【详解】A中，因为0<!<B<W，由在单调递增，所以

siny^singy=sinxsin8<sin/，所以A正

oo262\2726

确；

B中，因为cos3〃=一受，cosL=-且，显然一立（一受，即cos,>cos/,所以B正确：

42622246

C中，tan（万=tanj,tan^>sin^,故tang>sinj,所以C错误；

666666

D中，因为cosg=sin1^,在（。,彳[内V=sinx单调递增，所以sin/<cosg,所以D正确；

故选：ABD.

12.函数“xbgsinZx+sin?尤（尤eR）,下列说法正确的是（）

A.〃x）的最小正周期为2兀

B./（0）=0

]01+A/2

C.〃x）的值域为

2；2

1+夜1-72

D.〃x）的值域为

2,2

【答案】BC

【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，然后根据性质分别分析即可.

【详解】/（X）=gsin2x+sin2x

1•01c1

=—sin2x——cos2x+—

222

.心兀工1

-----sin2%—H—9

2I4J2

所以T号=兀，

所以A不正确；

由/（0）=立sin（2x0_工]+」=_^x立+工=0,

、）2I4J2222

所以B正确；

因为X£R,

所以-IVsinQ尤-£|vi,

所以的值域为上咨，,

所以C正确，D不正确，

故选：BC.

13.已知函数〃*）=同时+上08^，则下列结论正确的是（）

A.〃x）的最小正周期为兀

B.f（x）的值域为[1,血]

C.”力的图象是轴对称图形

D.〃x）的图象是中心对称图形

【答案】BC

【分析】对选项A,根据:为/■"）的周期，故A错误，对选项B,时，枝,再结合周期即可

判断B正确，对选项C,根据“X）为偶函数，即可判断C正确，对选项D,根据“X）的值域为[1,3],即可判

断D错误.

【详解】对选项A,/+sin[x+1J+cos[x+>|）=|cosx|+kinx|=/（x）,

所以蓝为的周期，故A错误.

对选项B,当xe0,^时，〃x）=sinx+cosx=0sin[x+：）,

因为尤+兀，所以¥wsin[x+：]wi,即14〃到4应.

因为|■为“X)的周期，所以“X)的值域为故B正确.

对选项C,函数f(x)=binx|+|cosx|的定义域为R,

f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx\=f(x),

所以/(无)为偶函数，关于>轴对称，即外”的图象是轴对称图形，故c正确.

对选项D,因为“X)的值域为[1,3],所以“X)的图象不是中心对称图形，

故D错误.

故选：BC

三、填空题

14.函数y=3+2cos(2x+1^的最小值是.

【答案】1

【分析】根据三角函数的有界性求出最小值.

■JTJT[7C\

【详解】当2尤+§=兀+2为r,左eZ时，gp.Y=-+far,々eZ时，cos12x+§J取得最小值为,此时

y=3+2cos+(J取得最小值为1

故答案为：1

15.函数y=sin(2x+1)在xe[0,守上的值域为.

【答案】[0』

【分析】根据给定区间，求出函数相位的范围，再利用正弦函数性质求解作答.

IT717r冗

【详解】xe[(),§],则2尤+TI],于是sin(2x+§)e[0,r|,

所以所求值域为[0』.

故答案为：[0』

16.函数>=红手的定义域为________.

COSX+1

【答案】{x|xW刀■+2左犯左£z}

【分析】求出COSX+1W0的解后可得函数的定义域.

【详解】由题设可得cosx+lwO,故X手兀+2k兀,keZ,

故函数的定义域为{x|xr万+2於r,AeZ}.

故答案为：{川Iw万+2k7i,左£z}.

17.函数y=sin?x-cos%的最大值为

【答案】7

4

【分析】化简函数解析式，结合换元法、二次函数的性质求得函数的最大值.

【详解】j=sin2x-cosx=-cos2x-cosx+1,令，=cosx,t,

贝！)y=f2一.+1=一。+工]+9,?e[-l,l],所以当/=时，函数取得最大值为

•(2)424

故答案为：y.

18.求/(x)=Jl—0cos(5-元)的定义域.

【答案】—苧张！k2k7r+^,kezj

【解析】将定义域问题转化为求cos(工-Jw",然后将g-x看成一个整体，利用余弦函数的图象即可得到关于

[2)22

x的不等式组，求解即可得到函数/'(尤)的定义域.

【详解】解：要使函数有意义，贝！jl-应cos[q-x)20,即cos(5-x)〈等，

由余弦函数的图象得，£+2%"41-彳<?+24;r,

424

解得，-^-+2k7i<x<^+2k7i,^keZ),

故函数的定义域是1x|-7+2"WxW£+2k7v,(keZ)j.

故答案为：-7+2%乃<尤4?+2%肛(ZeZ“.

【点睛】本题主要考查利用余弦函数的图象解三角不等式，利用三角函数的图象求解关于。x+。的正余弦，正切的

不等式，是十分重要的，一般的将5看做一个整体，利用函数的图象与直线'=。，利用数形结合方法求解.当

然，本题还可以利用诱导公式转化为关于正弦的不等式求解，但此处采用一种通性通法来求解，更具有一般性.

19.函数/'(x)=|2sin2%-cos2乂的值域为.

【答案】[0,3]

【分析】用余弦的二倍角公式转化为二次函数求值域.

【详解】因为解x)=|2sin2x—cos2x|=|2sin2x—(1—2sin2x)|=|4sin2x—1|,

又OWsi/xWl,IJl-1<4sin2x—1<3,贝[]。<]451112%-1归3,

即函数/(x)的值域为[0,3].

故答案为：［0,3］.

20.满足sinx„g且tan兀..1的x的取值范围为.

【答案】2左：肛2左》+3乃］，攵eZ

【分析】首先分别求出两个不等式的解，之后取公共部分即可得结果.

【详解】由sinX,工可得22万+—7T<x<2kn+,keZ,

266

_JIJI

由tanx.lnT^^+—<x<^+―eZ,

,53

取公共部分得2k7i+—7i<x<Ikji+—匹左wZ,

42

「、

故答案为：2k7i+-57i,2k7i:+-37i\,k^Z.

【点睛】该题考查的是有关三角形函数的问题，涉及到的知识点有已知三角函数的取值范围求角的范围，属于基础

题目.

21.函数y=sin%Tsinx|的值域是.

【答案】[-2,0]

f0,sinx>0

【分析】由题可得丫=c..c，然后结合正弦函数的值域即得.

[2sinx,sinx<0

，八If0,sinx>0

【详解】；y=sinx-|sinx|（=<，..,

[2sinx,sinx<0

所以sinxZO时，y=0,当sinx<0时，y=2sinxe[-2,0）,

所以函数〉=$苗*一同!1闻的值域是［-2,0］.

故答案为：

【B组在综合中考查能力】

一、单选题

1.下列函数中，不是周期函数的是（）

A.y=sinx-lB.j=sin2x

C.y=|sinx|D.y=sin|x|

【答案】D

【分析】利用正弦函数的性质可判断A的正误，利用二倍角公式结合正弦函数的性质可判断B的正误，利用周期

函数的定义可判断C的正误，利用反证法可判断D的正误.

【详解】对于选项A：

，=_/■(>)=sin尤-1,故其最小正周期为7=2Ji,故A正确.

对于选项B：

l-cos2x

y=/(x)=sin2x=

所以最小正周期为二=2兀;

对于选项C：

y=/(x)=|sin%|,

则/(x+兀)=|sin(x+7t)|=|-sinx|=|sinx|=/(x),

所以y=kinx|是周期函数；

对于选项D：

y=/(x)=sin|x|,假设函数y=/(x)是周期函数,

因为当xNO时，y=/(%)=sin.Y,由正弦函数的性质可得的最小正周期为2兀,

兀、.兀137l.371

但/(--)=sin-y=1,/r(z—)=siny=-1,

这与“尤)的最小正周期为2兀矛盾，故"尤)不是周期函数，故D错误.

故选：D.

2.函数f(x)=cosx-百sinx在0,]的最大值是()

A.2B.0C.1D.百

【答案】C

【分析】由已知可得，(x)=2cos[x+1].根据云的范围以及余弦函数的单调性，即可得出答案.

【详解】由已知可得，/(x)=2x:cosx-呼sinx=2cos'+".

122JI力

因为OVxvf,所以+等.

2336

yr57r

又>=85、在上单调递减，

36

所以，当丈+与=5,即》=0时，函数取得最大值"0)=2COS91.

故选：C.

3.E^/(x)=3sinx-8cos2],若/(彳卜〃。)恒成立，贝ijsin，=()

【答案】A

【分析】若恒成立，即〃。)=/(力1rax,由余弦的二倍角公式和辅助角公式化简〃尤)，求出〃x)a，

此时sin(e+e)=i,贝!je=]-e+2E,由诱导公式即可得出答案.

【详解】7(尤)=3sinx-8cos2=3sinx-8-^-^-^-=3sinx-4cosx-4=5sin(x+^>)-4,

43

其中tane=-],cos^=-,所以当sin(x+0)=l时，”*)1mx=L

若恒成立,则/。)=〃用厘=1,

jHs时sin(8+0)=1,贝[|8+0=5+2kn,即6=5—9+2kit,

3

sin6=sin[^一0+Ihi=COS0=M

故选：A.

二、多选题

4.已知向量a=(1,=(cosO,sin6)(。e[0,兀]),则()

IT

A.若ab,贝=B.a・b的最小值为T

o

C.|a+。|可能成立D.的最大值为3

【答案】BC

【分析】根据向量的数量积公式即可判断选项A、B；当.必=0时，则有|a+b|=|a-b|判断选项C；将卜-可转化

为三角函数的最值问题即可求解，判断选项D.

【详解】对于A,若。b,贝Usin。一道cose=2sin(e-5)=0.又6e[0,无],；.。=方，故A错误；.

对于B,a-b=cos0+s/3sm0=2sm^0+^,又℃0,兀],当6=兀时，sin[e+《]=-；,(a-b)^=-1,故B正

确；

5兀

对于C,由选项B可知，当6=L时，a,b=0，贝！)|。+。|=|。-6|,故C正确；

6

对于D,\a-b|=41一cos.J+-sin6)=^5-2cos0-273sin0=^5-4sin^+^,

当e=7T时，sin^+^=-1,故D错误.

故选：BC.

5.已知〃x)=cos(siru'),则下列选项中正确的是()

A.f(x)=f(x+n)B.”尤)关于X=7T轴对称

c.“X)关于(则中心对称D.“X)的值域为

【答案】AB

【分析】根据函数的周期性，对称性逐项检验即可判断ABC,利用正余弦函数的性质可判断D.

【详解】A中，因为/(x)=cos(sinx),所以/(%+7i)=cos[sin(x+7i)]=cos(-sinx)=cos(sinx)=/(x),所以A正

确；

B中，由A可得/(%+兀)=/(%),/(-x+TL)=cos[sin(-x+TI)]=cos(sinx)=/(x),所以〃芯+兀)=/(-x+兀)，所

以可得x=兀是函数的对称轴，所以B正确；

C中，因为/+=sin[x+]]]=cos(cosx),而/[]-x)=cossin[]-x)]=cos(cosx)=+,所以

TT

对称轴为x=],所以C不正确；

D中，因为sinxe[-l,l],所以e[cos(sinl),l],所以D不正确，

故选：AB.

三、填空题

6.函数y=sin[《+尤卜os[已-尤)的最大值为

【答案】

24

【分析】根据两角和与差的正余弦公式展开sinB+4cosB-4即可得出〉=3$m2%+乎，即可得出答案.

【详解】因为sin(—+=sin—cosx+cos—sinx=—cosx+^-sinx,

<6J6622

cos|-—%]=cos—cosx+sin—sinx-V3

cosx+—sinx，

16J6622

所以，丁二；(cosx+Gsinx)(sinx+百cosx)=^3sin2x+73cos2x+4sinxcosx)=；sin2x+走.

TT7T

所以，当2x=—+2EMcZ,即冗=—+E次wZ时，

24

函数有最大值为

24

故答案为：!+2.

24

7.函数y=sin2x+2siru的最大值为.

【答案】述

22

【分析】首先求得V,设cosx=,£[-U],/⑺=4»+2-2,得出y的单调区间，即可得出最大值.

【详解】y'=2cos2x+2cosx=2(2cos2x-1)+2cosx=4cos2x+2cosx-2,

设cos%=y-l,l],/(/)=4?+2/-2,

令/⑺=0,得或f=-i,

所以当re(-l,g)时，/axo,

即在(-兀+2far,-q+2for)和弓+2for,%+2far)(ZeZ)上y单调递减，

当feg,I)时，/⑺>0,

即在(一三+2瓦,三+2日)(左eZ)上，>单调递增，

又因为/(一兀+2E)=0,%+2峭=当,

所以y的最大值为地，

2

故答案为：巫.

2

8.方程sin7tx=1x的解的个数是________.

4

【答案】7

【分析】根据题意可知，在同一坐标系下分别画出了=$血"和>=人的图象，找出两函数图象交点个数即可.

4

【详解】由正弦函数值域可得sin7tXG[-l,l],

又因为当x=4时，y=Jx=l；

所以，分别画出y=sinm和y=在xw[-4,4]上的图象如下图所示:

根据图像并根据其对称性可知，在xe[Y,4]上两函数图象共有7个交点；

由函数与方程可知，方程sin7tx=9x有7个解.

4

故答案为：7

fsinx,sinx>cosx

9.对于函数〃x)=.,给出下列四个命题：

[cosx,sinx<cosx

①该函数的值域为[-ML

②当且仅当x=2fai(左eZ)时，该函数取得最大值1；

③该函数是以2兀为最小正周期的周期函数；

37r

④当且仅当2版+兀<尤<2①+万(keZ)时，/W<0.

上述命题中，假命题的序号是.

【答案】①②

【分析】作出函数/(X)的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项.

.,fsinx,sinx>cosx

【详解】因为/(%)=.,

Icosx,sinx<cosx

对于③，当sinx之cosx时，/(x+27t)=sin(x+27i)=sinx,

当sinxvcosx时，/(x+2TI)=cos(x+2TI)=cosx,所以，函数/(%)为周期函数,

作出函数/(%)的图象(图中实线)如下图所示：

结合图形可知，函数/(力的最小正周期为2兀，③对；

对于①，由图可知，函数/■")的值域为一号1,①错；

对于②，由图可知，当且仅当x=2析或尤=2也+与0Z)时，函数取得最大值1,②错;

对于④，由图可知，当且仅当2E+7t<x<2E+¥，eZ)时，/(x)<0,④对.

故答案为：①②.

【C组在创新中考查思维】

一、单选题

1.函数〃x)=4sin；x-k-l|的所有零点之和为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】令f(x)=。两个解为零点，将零点问题转换成g(x)=4sin]x,〃(x)=|x-1|两个函数的交点问题，作图即

可求出零点，且g(x)和九⑴的图象关于x=l对称，零点也关于x=l,即可求出所有零点之和.

【详解】令f(x)=O,W4sin|x=|x-l|,解得x=-3或x=5,即为零点，

令g(x)=4sin^%,=,

T__A

g(元)的周期一四一-对称轴x=l+4左，&eZ,且〃(x)的对称轴x=l,

2

显然，/⑺在(0」)和。,2)上各存在一个零点，

57r

g(5)=4sin—=4=/Z(5)=|5-1|,/i(4)=3>g(4)=0,在(4,5)上两函数必存在一个交点，

•••fM在(4,5］上有两个零点，同理/。)在［-3,-2)上存在两个零点，

所以Ax)在［-3,5］上存在6个零点，

因为g(元)和〃(x)关于x=l对称，则/(x)零点关于x=l对称，

所以了⑺的所有零点之和为6x1=6.

故选：C

2.已知/(x)=cos2x-asinx,若存在正整数"，使函数y=在区间(0,须)内有2023个零点，则实数。所有可

能的值为()

A.1B.-1C.0D.1或一1

【答案】B

【分析】根据题意令sinx=/分析可得关于t的方程2?+^-1=0有两个不相等的实根，结合韦达定理可得他=-［，

分类讨论：出的分布，结合正弦函数分析判断.

【详解】^/(x)=cos2x-d!sinx=l-2sin2x-6!sinx=0,

令sinx=%£［—1,1］,贝！|1一2»—成=0,即2』+〃—1=0,

*.*A=a?—4x2x(—1)=a?+8>0,

则关于t的方程2/+〃—1=0有两个不相等的实根，设为乙,明令4

可得A+L=-5邛2=-5<。，则有：

1.若.<—1<0<f2<1，即sinx="<—1和sinx=/2e（0,l）,

结合正弦函数图象可知：sinxje（0,1）在（2E,2也+祖左eN*）内有两个不相等的实数根，sinx=tl<-l无实数根,

故对任意正整数n,y=/（尤）在（0,“兀）内有偶数个零点，不合题意；

2.若一1<彳<0<1</2，即sin%=%G（-l,0）^[lsinx=Z2>1,

结合正弦函数图象可知：sinx=/2>l无实数根，sinx="«T,O）在（2祈+兀,2也+2#,eN*）内有两个不相等的实

数根，

故对任意正整数n,，="力在（0,〃兀）内有偶数个零点，不合题意；

3.若一1<%<0<看2<1，BPsinx=/1G（-1,0）^0sinx=r2e（0,l）,

结合正弦函数图象可知：sinxje（O,l）在（2E,2E+#（AeN*）内有两个不相等的实数根，sinxfe（-l,O）在

（2E+兀,2E+2可9eN*）内有两个不相等的实数根，

故对任意正整数n,y=〃尤）在（0,"兀）内有偶数个零点，不合题意;

11

4.若4=—1,/2='，BPsinx=-l^nsinx=—e（0,l）,

结合正弦函数图象可知：sin尤=g在（2航,2也+句心—*）内有两个不相等的实数根，sinx=T在

（2E+兀,2E+2啜左eN*）内有且仅有一个实数根，

①对任意正奇数n,y=〃x）在（0,"兀）内有3x—+2=Wl个零点,

3〃+14045

由题意可得一^一=2023,解得几=-^-定N不合题意;

②对任意正偶数n,尸〃同在（0,"兀）内有3?]当个零点,

4046

由题意可得£=2023,解得〃=等任4,不合题意；

5.若；=--=1,即sinx=—和sinx=l,

结合正弦函数图象可知：sinx=l在（2E,2E+句伏eN*）内有且仅有一个实数根，sinx=-g在

（2E+兀,2航+2劝（AeN*）内有两个不相等的实数根,

①对任意正奇数n,y=在（0,叫内有3、?+1=理个零点，

3n-1

由题意可得当一二2023,解得〃=1349$N*,符合题意；

②对任意正偶数n,丁=〃力在(0,7讥)内有3?3T个零点，

4力4046

由题意可得三=2023,解得“=二-史N*,不合题意；

综上所述：当a=-30=1，"=1349时，符合题意.

此时q=T+l=g'解得a=T・

故选：B.

二、填空题

3.已知函数/(x)=|cos2尤|+1.给出下列四个结论：

①/(九)的最小正周期是兀;

②/(X)的一条对称轴方程为X=£;

4

9兀

③若函数g(x)=/(x)+》3eR)在区间0,—上有5个零点，从小到大依次记为占,马,为,匕,尤5,则

_O

玉+2(尤2+W+%4)+%=5兀；

-兀11

④存在实数4,使得对任意mwR,都存在占,马€--,0且玉片々，满足/'(4)=/'(〃?)+77〈(%=1，2).

L6」f(m)

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③

■971'

【分析】画出函数图像，可判断①②，对于③，转化为了=-6与y=/(x)在xe0,—上交点问题，数形结合得到