控制系统的稳定性

关于控制系统的稳定性

如果系统受到扰动后，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的，或不具有稳定性。5.1系统稳定性的基本概念第2页,共46页，2024年2月25日，星期天

控制系统的稳定性也可以这样定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零，具有恢复原来平衡状态的性能，则称该系统为稳定；否则，称该系统为不稳定。

必须指出：稳定性是系统的固有特性，它取决于系统本身的结构和参数，而与输入无关。第3页,共46页，2024年2月25日，星期天5.2系统稳定性的充要条件

若系统初始条件为零，对系统加上理想单位脉冲信号，系统的输出就是线性系统的脉冲过渡函数，就相当于扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情况。如果当时，脉冲过渡函数收敛于系统原平衡工作点，即下式成立：则线性系统是稳定的。第4页,共46页，2024年2月25日，星期天

设系统闭环传递函数为：

系统闭环特征方程为:

设特征根互不相等，系统闭环传递函数可改写如下：闭环特征根为:

则系统脉冲响应的拉氏变换为：第5页,共46页，2024年2月25日，星期天得系统的脉冲过渡函数为（响应）(1)若为实数若系统稳定(2)若为复数发散第6页,共46页，2024年2月25日，星期天线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根都具有负实部或都位于S平面的左半平面，则系统稳定。(3)若特征根为k个实根，r个复数根，第7页,共46页，2024年2月25日，星期天★★

控制系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的根全部具有负实部。系统特征方程的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可以表示为：闭环传递函数的极点全部具有负实部，或者说闭环传递函数的极点全部位于平面的S左半面内。第8页,共46页，2024年2月25日，星期天例

一个单位反馈系统的开环传递函数为试说明系统是否稳定。解：系统的闭环传递函数为系统稳定第9页,共46页，2024年2月25日，星期天1.系统稳定性的初步判别（必要条件）设系统的闭环特征方程式为如下标准形式：2.劳斯稳定判据5.2代数稳定性判据第10页,共46页，2024年2月25日，星期天Routh稳定判据设系统的特征方程为根据特征方程的各项系数排列成Routh判据表(n=5为例)：Routh稳定判据：Routh表第一列元素符号一致且不等于0。第一列元素符号变化的次数就是正实部根的数目。第11页,共46页，2024年2月25日，星期天低阶系统的劳斯稳定判据

二阶系统劳斯阵列为：s2

a0

a2s1

a1 0s0

a2a0>0，a1>0，a2>0从而，二阶系统稳定的充要条件为：第12页,共46页，2024年2月25日，星期天

三阶系统劳斯阵列为：s3

a0

a2s2

a1

a3s1 0s0

a3从而，三阶系统稳定的充要条件为：特征方程的各项系数大于零，且：

a1a2-a0a3>0第13页,共46页，2024年2月25日，星期天例系统特征方程为试用劳斯判据判别系统的稳定性。(2)列写劳斯阵列表如下:解：(1)特征方程的所有系数均为正实数第一列的系数都为正数，系统稳定第14页,共46页，2024年2月25日，星期天例系统特征方程为试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。(2)列写劳斯阵列表如下:解：(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。有两个根位于s平面的右半平面第15页,共46页，2024年2月25日，星期天练习系统特征方程为试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定具有正实部根的个数。答案：系统不稳定,有两个根具有正实部,即有两个根位于s平面的右半平面第16页,共46页，2024年2月25日，星期天劳斯判据的特殊情况１、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不全为零，这时可用一个很小的正数来代替这个零，然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号，则系统临界稳定，否则不稳定。第17页,共46页，2024年2月25日，星期天解：(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。例系统特征方程为判别系统的稳定性。第一列为零(2)列写劳斯阵列表如下:系统不稳定，且有两个根具有正实部第18页,共46页，2024年2月25日，星期天练习系统特征方程为判别系统的稳定性。系统不稳定，且有两个根具有正实部第19页,共46页，2024年2月25日，星期天

若劳斯阵列表中某一行（设为第k行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。(3)解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。(1)用(k-1)行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶次为(n-k+2)，然后s的次数递降2。(2)将辅助方程对s求导，其系数作为全零行的元素，继续完成劳斯表。第20页,共46页，2024年2月25日，星期天(2)列写劳斯阵列表如下:解：(1)特征方程的所有系数均为正实数例系统特征方程为判别系统的稳定性。解辅助方程得:第21页,共46页，2024年2月25日，星期天例系统特征方程为判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根的个数。第22页,共46页，2024年2月25日，星期天

练习系统特征方程为第23页,共46页，2024年2月25日，星期天设一单位反馈控制系统如图所示，求使系统稳定的k的范围解(1)系统的传递函数为：特征方程为：(2)列劳斯阵列表系数都为正实数第24页,共46页，2024年2月25日，星期天(2)列劳斯阵列表

0<K<30,

其稳定的临界值为30。若要使系统稳定，其充要条件是劳斯阵列表的第一列均为正数，即K>0，30-K>0

第25页,共46页，2024年2月25日，星期天按稳定要求确定T的临界值。解劳斯阵列表为即必须T>25系统才能稳定。例11系统特征方程式为第26页,共46页，2024年2月25日，星期天第四节乃奎斯特稳定判据1.辅助函数控制系统的方框图开环频率特性闭环特征方程一、奈奎斯特稳定判据的数学基础设开环传递函数为取辅助函数：第27页,共46页，2024年2月25日，星期天(3)F(s)与开环传递函数只相差常量1，的几何意义为：平面的坐标原点就是平面上的点。辅助函数F(s)的特点：(1)F(s)的零点和极点分别为闭环极点、开环极点。(2)F(s)的零点、极点个数相同（n个)。第28页,共46页，2024年2月25日，星期天

假设复变函数为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都连续,也就是说在S平面上除奇点外处处解析，那么，对于S平面上的每一个解析点，在平面上必有一点（称为映射点）与之对应。映射的概念：例如，当系统的开环传递函数为第29页,共46页，2024年2月25日，星期天S平面上的点在F(S）平面上的映射第30页,共46页，2024年2月25日，星期天设在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续函数，若在S平面上任选一封闭曲线，并使不通过的奇点，则S平面上的封闭曲线

映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线。当解析点s按顺时针方向沿变化一周时，则在平面上，曲线按逆时针方向旋转的周数N（每旋转2

弧度为一周），或按逆时针方向包围F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线内包含F(s)的极点数P与零点数Z之差。即 若N>0，则按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N<0，则按顺时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N=0，则不包围F(s)平面坐标原点。顺包次数N=Z-P第31页,共46页，2024年2月25日，星期天5.映射定理在闭环系统稳定性分析中的应用⒈开环传递函数与闭环特征方程当时，。因而，研究对原点的包围情况，与研究对点的包围情况相同。这样，对闭环控制系统稳定性的研究，就转化为开环传递函数对点的包围情况的研究。第32页,共46页，2024年2月25日，星期天封闭曲线的选择研究闭环控制系统的稳定性，也可以归结为研究在S平面右半平面内有无零点。根据映射定理，如果选择一条封闭曲线L能包围在S平面右半平面内的所有可能的零点和极点，根据对原点的包围情况即G(S)H(S)对点（-1，j0）的包围情况，便可推断F(S)在右半平面有无零点和极点或它们的差值情况，进而可推断闭环系统的稳定性。G(s)H(s)在虚轴上无极点的封闭曲线在虚轴上有极点的封闭曲线0S平面S平面0第33页,共46页，2024年2月25日，星期天闭环系统稳定的充分必要条件是，GH平面上的奈奎斯特曲线当时，按逆时针方向包围点P周。（P为右半平面极点个数）三、奈奎斯特稳定判据应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况：1.当系统开环传递函数的全部极点都位于S平面左半部时(P=0）,如果系统的奈氏曲线

不包围GH平面的点（N=0），则闭环系统是稳定的(z=p-N=0），否则是不稳定的；

第34页,共46页，2024年2月25日，星期天2.当系统开环传递函数有p个位于S平面右半部的极点时，如果系统的奈氏曲线逆时针包围点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数(N=P)，则闭环系统是稳定的(Z=P-N=0),否则是不稳定的；

4.在有些情况下，

曲线恰好通过GH平面的点（注意不是包围），此时如果系统无位于S平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。3.如果系统的奈氏曲线顺时针包围点（N<0），则闭环系统不稳定。(Z=P-N>0）。第35页,共46页，2024年2月25日，星期天5.6.5奈奎斯特稳定判据例例5-9设单位反馈系统的开环传递函数为:当或时，用奈奎斯特判据判定系统的稳定性。解:系统的开环频率特性为:

第36页,共46页，2024年2月25日，星期天G(s)平面图5-35例5-9的奈奎斯特图00<K<1-K-1ReImK>1第37页,共46页，2024年2月25日，星期天当或时作出的的,()曲线如图5-35所示。由于()在右半平面有一个极点()即，属于开环不稳定情况。当时，曲线①按逆时针方向包围一周(图中为半周；)，按奈奎斯特稳定判据，可判定闭环系统稳定而曲线②未对包围，可知这时闭环系统不稳定。另外，由劳斯判据知闭环系统稳定的条件为，这也进一步证明了如上分析的正确性。第38页,共46页，2024年2月25日，星期天如图5-41所开环频率特性曲线穿过左边的实轴时称“穿越”。当增大时，奈奎斯特曲线从上向下穿越负实轴上的区段(曲线上升，增大)时称“正穿越”，反之，奈奎斯特曲线从下向上穿越负实轴上的区段（曲线下降，减小）时称“