2022-2023学年四川省眉山市冠城七中实验学校高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省眉山市冠城七中实验学校高二(下)期中

数学试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.若复数z=>二则|z|=()

1—1

A.1B.6C.色D.<10

24

2.从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事

件是()

A.至少有一本政治与都是数学B.至少有一本政治与都是政治

C.至少有一本政治与至少有一本数学D.恰有1本政治与恰有2本政治

3.已知复数2=。+6，且z(l+2i)=1-i,则Q—b=()

A.|2B.l1C,-|7D.-l1

4.从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概

率为()

A.B.|C.|D.|

5.命题p：aVxeR,x2-mx+l>0,',命题q：um<2n,则p是勺的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

6.命题“三。W[0,+8),sbia>Q”的否定形式是()

A.VaG[0,+8),sina<aB.3aG[0,+8),sina<a

C.Va6(—8,0),sina<aD.BaG(—8,0),sina>a

7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,

…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}

称为“斐波那契数列"，则即=()

A.8B.13C.18D.23

8.设函数/(%)=x2/'(%)是/(%)的导数，则函数g(%)=尸(x)cos%的部分图象可以为()

9.地铁让市民不再为公交车的拥挤而烦恼，地下交通的容量大、速度快、准点率高等特点弥

补了单一地面交通的不足,成都地铁9号线每5分钟一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则

他候车时间不超过3分钟的概率是（）

A.0.6B.0.8C.0.4D.0.2

10.已知命题p：VxG/?,sinx>—1；命题q：3x,y&R,sin（x+y）=sinx+siny,则下

列命题是真命题的是（）

A.pAqB.pA（-q）C.pV（「q）D.（~p）Aq

H.已知x丧_0=o在％6（0,+8）上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）

1111

A.（0,五］（02）C.Q,e珂D.（1,诙）

12.函数f（x）=仇2%的图象与函数g（x）=e*-e~x+%-a的图象交点的横坐标为x（）,贝U

x

e°ln2xQ=（）

11

A.一InZB.——C.—D.Zn2

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：人）

篮球组书画组乐器组

高一4530a

高二151020

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣

小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为.

14.已知p：x>a,q：x2-x-2>0,若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是.

15.已知函数/(%)=e"+3在(0,+8)上单调递增，则a的最大值是.

16.已知定义在R上的偶函数/(%)满足/(x)=/(-x+4),/(2024)=去,若/。)一f(x)>0,

则不等式f(x+2)>］的解集为一.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知命题p：方程贮+£=1表示焦点在X轴上的椭圆；命题q：方程二一二=1表示焦

m4—mm—1m—3

点在x轴上的双曲线.若命题“pvq”为真命题，“p/\q"为假命题，求实数m的取值范围.

18.(本小题12.0分)

从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.

(1)将6名学生做适当编号，把选中3人的所有可能情况列举出来;

(2)求所选3人中恰有一名女生的概率；

(3)求所选3人中至少有一名女生的概率.

19.(本小题12.0分)

某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表:

推销员编号12345

工作年限%/年35679

(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;

(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=叼i-t)纥2a=y-bt-

20.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=^x2-(a+l)x+alnx.(其中a为常数)

(1)若a=-2,求曲线y=/(x)在点(2/(2))处的切线方程；

(2)当0Wa<l时，试讨论函数y=/(x)的零点个数，并说明理由.

21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=Inx—ax+l(ae/?).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若对任意的*>0,f(x)W0恒成立，求实数a的取值范围.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(%)=a(x2—%)—Inx(aGR).

(1)若/(x)在％=1处取到极值，求a的值；

(2)求证：当nN2时’焉+焉+…+点》

答案和解析

1.【答案】B

2+t_(2+i)(l+i)_l+3i

【解析】解：因为z

1-i(l-i)(l+i)

l"+3"E.

故选：B.

结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的模长公式即可求解.

本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长公式，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，

对于4,至少有一本政治和都是数学是对立事件，故A错误；

对于B,至少有一本是政治与都是政治，能同时发生，不是互斥事件，故B错误；

对于C,至少有一本政治与至少有一本数学，能同时发生，不是互斥事件，故C错误；

对于D，恰有1本政治与恰有2本政治，不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立的两个事

件，故。正确.

故选：D.

利用对立事件、互斥事件的定义直接求解.

本题考查对立事件、互斥事件的定义等基础知识，是基础题.

3.【答案】A

【解析】解：z(l+2i)=1-1,

则z=U=(lT)(-2i)=■.工_入,

1+2/(l+2i)(l-2t)55'

'•z—a+bi,

■■a=-b=­I，

故a—b=|.

故选：A.

根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：6名专家随机选取2人的情况有德=15种，

其中甲、乙两人都未被选中的情况有C；=6种，

由甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为P=1—卷=|.

故选：D.

先计算出甲、乙2人都未被选中的情况，再通过对立事件关系即可得出甲、乙2人中至少有1人被

选中的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

5.【答案】A

【解析】解：对于命题p：uVxeR,x2—mx+1>0",

■.A=m2—4<0,得一2<m<2,

v—2<m<2可以推出m<2,但是m<2不能推出一2<nt<2,

•••p是q的充分不必要条件.

故选:A.

先根据命题p求出m的范围，再根据充分性和必要性的定义得答案.

本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了二次函数的性质，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“mae[0,+8),sina>a”的否定形

式是VaG[0,4-co),sina<a,

故选:A.

利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.

本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.

7.【答案】B

【解析】解：根据题意，由“斐波那契数列”的定义，从第三项起，每个数等于它前面两个数的

和，

nna1=1,a2=1,

贝U有=2,CI4=a2+。3—3a5—Q3+=5,CZg—CI4+=8,CLy—Qg+CL^—13.

故选:B.

根据题意，由“斐波那契数列”的定义，利用从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，逐项

进行计算，进而计算出。7.

本题考查归纳推理的应用，注意理解“斐波那契数列”的定义，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：•.・函数/(X)=/一看

•1•fix')=7.x,

则gQ)—2xcosx,

由g(一x)——2xcos(—x)——2xcosx——g(x),

得g(x)是奇函数，

故选项B,C排除，

由xe(O4)时，g(x)>0,

故选:A.

求出/(x)的导数，求出g(x)的解析式，根据函数的奇偶性排除B,C,取xG(0,今时，得g(x)>0,

求出答案即可.

本题考查了函数的奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题.

9.【答案】4

【解析】解：如图，设上次车于时刻A到达，而下次车于时刻跳到达，线段AR的长度为5，

T1,T1tT1t

设T是线段7i72上的点，且TR的长度为3.记等车时间不超过3分钟为事件4

则4发生即点，落在线段772上.

由上可知，D=7生=5,d=TT2=3,

故P(4)=^=|=0.6.

故选:A.

利用几何概型的概率计算公式即可求解.

本题主要考查了几何概型的概率计算公式，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解：因为sin(-今=-1>-1不成立，所以p为假命题；

因为当x=0,yWR时，sin(0+y)=sinO+siny成立，故q为真命题.

所以pAq,pA(-iq),pV(1q)为假命题，(「p)Aq为真命题.

故选：D.

利用命题的真假判定，真值表的应用求解.

本题主要考查复合命题及其真假，属于基础题.

11.【答案】D

【解析】解：x>0,且=

,,支表=a>0,两边取对数可得翳=Ina,

••・根据题意可得y=器与y=仇a在(0,+8)上有两个交点，

设式乃=整,则八%)=与匕乂>0，

••・当xe(0,，Z)时，/'(%)>0,/(©单调递增；当xe(，下,+8)时，f(x)<0,f(x)单调递减，

•••f(x)max=8且xe(0,1)时，/(x)<0；xG(1,+8)时，/(%)>0,

二要使y=臀与y=bia在(0,+8)上有两个交点，

11

则0VIna<—,1<a<e安，

故选：D.

根据题意可得亲=a，两边取对数可得整=Ina,从而根据题意可得y=等与y="a在(0,+oo)±

有两个交点，设fQ)=整,再利用导数研究f(x)的单调性及最值，从而建立不等式，即可求解.

本题考查方程的解的个数问题，利用导数研究函数的单调性，数形转化思想，属中档题.

12.【答案】B

【解析】解：令/(x)=g(x)，则，n2x=e*-L+x-/(刀>0),

所以蜻—e~x—x=ln2x—2x+^-=e~ln2x—eln2x+ln2x,

2x

设h(%)=e*—e~x—x(x>0),则"(%)=ex+e~x—l>14-0-1=0,

所以/l(X)在(0,+8)上单调递增，

所以&=-/n2x0,即e"。=57-,

所以短。"2%0="•(-q)=一1

故选：B.

xln2xLn2xx

令/(x)=g(Xb变形整理可得e"—e~—x=e~—e+ln2xt从而构造新函数/i(x)=e—

e-*-x(x>0),再利用导数研究其单调性，即可得解.

本题考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数，理解函数与方程的思想是解题的关键，考查

逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

13.【答案】30

【解析】解：根据分层抽样的定义和方法可得，

12_30

45+15=120+a'

解得a=30,

故答案为30.

根据每个个体被抽到的概率都相等可得：备=/，从而求得a的值.

45+15120+a

本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了每个个体被抽到的概率都相等，属于基础题.

14.【答案】(2,+8)

【解析】解：由/一尢一2>0,知(x-2)(x+1)>0,解得x<-l或x>2,

所以q：%<-1或%>2,

若p是q的充分不必要条件，贝(la>2,

所以a的取值范围是(2,+8).

故答案为：(2,+8).

解一元二次不等式，可得q：%<-1或%>2,再结合充分必要条件与集合的关系，得解.

本题考查充分必要条件的应用，理解充分必要条件与集合的关系是解题的关键，考查逻辑推理能

力和运算能力，属于基础题.

15.【答案】e

【解析】解：由已知可得/''(>)=e*-ax,

因/(x)在(0,+8)上单调递增，

则对任意的xe(0,+8),f'(x)20成立，

即a<§对设任意的x6(0,+8)恒成立，

所以只需aW(9)而”即可.

令9。)=7>则g'O)=

由“(%)<0,得。<x<1,所以g(%)在(0,1)上单调递减;

由g'(%)>。，得％>1，所以g(x)在(1,+8)上单调递增，

所以，g(x)在x=1处有极小值，也是最小值g(l)=e.

因此a<e,

所以a的最大值是e.

故答案为：e.

求出导函数，根据函数的单调性建立不等式，再分离参数构造函数g(x)=y.求出g(x)的最小值,

即可得出答案.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】(—8,—2)

【解析】解：因为/Q)为偶函数，

所以J(T)=f(X),

因为函数/'(X)满足/"(X)=/(-X+4),

所以/(-X)=/(-x+4),

所以f(x)的周期为T=4,

所以f(2024)=/(0+4x506)=f(0),

因为f(2024)=,

所以/(2024)=f(0)=《，

令9(x)=等

9⑺一~~-~'

因为/(%)—1(x)>o,

所以9'(乃=好膂<0,

所以g(x)在R上单调递减，

所以g(x+2)=隼祟，5(0)=菖=/(0)=盘,

不等式/(x+2)>1可转化为隼祟>或，即g(x+2)>g(0),

所以％+2V0,

所以%<—2,

所以不等式的解集为(一8,—2).

故答案为：(—8,-2).

由f。）为偶函数，满足f（x）=f（-x+4）,可得/（x）的周期为T=4,进而可得/（2024）=/（0）=1

令9（无）=借，求导分析g（x）的单调性，不等式/（久+2）＞二可转化为华祟＞E，即g（x+2）＞

g（0）,进而可得答案.

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

17.【答案】解：若p为真命题，则小＞4一6＞0,解得2＜M＜4.

若q为真命题，则解得小＞3,

因为pvq为真命题，pAq为假命题，所以p、q一真一假，

若p真q假，贝总:1（4,解得2＜加43,

若p假q真，则[小式2或m24,解得7nz明

综上所述，实数m的取值范围为：（2,3]U[4,+8）.

【解析】首先求出命题p、q为真时参数的取值范围，依题意p、q一真一假，分类讨论，分别得到

不等式组，即可求出参数的取值范围.

本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关

键，是基础题.

18.【答案】解：（1）设4名男生为4、B、C、D,2名女生为E、F；

从中选出3人，其情况有（4、B、C）,（4、B、D）,（4、B、E）,（4、B、F）,（4、C、D）,

（4、C、E）,（4、C、F）,（4、。、E）,（力、0、F）,（A、E、F）,

（B、C、。），（8、C、F）,（8、C、F）,（B、0、E）,（8、D、F）,

（B、E、F）,（C、。、E）,（C、D、F）,（C、E,F）,（D、E,F）,共20种情况；

（2）记所选3人中恰有一名女生为事件4,则4包含（4、B、E）,（4、B、F）,（4、C、E）,（4、C、

F）,（4、。、E）,（4、D、F）,（B、C、E）,（B、C、F）,（B、0、E）,（B、D、F）,（C、D、E）,

（C、D、F）,共12种情况，

则其概率「（4）=m；

（3）记所选3人中2名女生为事件B,则B包含（4、E、F）,（B、E、F）,（C、E、F）,（D、E、F）,

共4种情况，

而所选3人中至少有一名女生包含事件4、B,则所选3人中至少有一名女生共有12+4=16种情

况；

则其概率p=苗

【解析】(1)根据题意，设4名男生为A、B、C、D,2名女生为E、F：进而用列举法依次列举从6人

中选出3人的情况即可；

(2)记所选3人中恰有一名女生为事件4从(1)查找只有一个女生的基本事件，可得其情况数目，

由等可能事件的概率，计算可得答案；

(3)记所选3人中2名女生为事件B,用列举法易得8包含的情况数目，而所选3人中至少有一名女生

包含事件力、B,将4、8的基本事件数目相加可得可得所选3人中至少有一名女生的情况数目，进

而由等可能事件的概率公式，计算可得答案.

本题考查列举法求事件的个数以及事件的概率，注意列举时按一定的顺序，做到不重不漏.

19.【答案】解：(1)设所求的线性回归方程为y=bx+a，

[(3+5+6+7+9)=6,

亍="(2+3+3+4+5)=3.4,

…隆善逊受=累=0.5,

%I®-120

a=y—bx=0.4，

•••年销售金额y产于工作年限工的线性回归方程为y=0.5x4-0.4.

(2)当x=11时，y=o.5x+0.4=0.5x11+0.4=5.9(万元)，

••・可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.

【解析】(1)根据表中的数据，求出3y，再利用公式求出仇利从而可求出推销金额y关于工作年

限x的线性回归方程；

(2)将x=11代入回归直线方程能估计他的年推销金额.

本题考查线性回归方程、年推销金额等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：(1)当。=-2时,f(x)=jx2+x-2lnx,

f(x)=x+l--=(x+2)("D,

7V7XX

f(2)=2且f(2)=4-2m2,

所以切线方程为y—(4一2，n2)=2(x-2),即2#-y—21n2=0.

(2)当a=0时，/(x)=1x2—x,

令/(x)=0得久=2或0(舍去)，

所以y=f(x)在(0,+8)上有一个零点，

当0<a<1时，「(%)=x—(a+1)+?==^£21),

在(0,a)上f'(x)>0,/(无)单调递增，

在(a,l)上/'(X)<0,f(x)单调递减,

在(1,+8)上/(x)>0,f(x)单调递增，

所以/'(x)的极大值为/(a)=-|a2-a+alna<0,

所以/(x)在(0,1)上没有零点，

又/(I)=-|-a<0且函数/(x)在(1,+8)上单调递增，

当XT+8时，/(X)-+4-CO,

所以/(X)在(1,+8)上只有一个零点，

综上所述，当04a<1时,f(x)在(0,+8)上有一个零点.

【解析】(1)当。=一2时，/(x)=1x2+x-2/nx,求导得尸(乃，由导数的几何意义可得切线斜

率为尸(2),计算/(2),由点斜式,可得答案.

(2)当a=0时，/(x)=^x2-x,令f(x)=0得x,可得函数/'(x)零点个数；当0<a<l时，求导

分析单调性，极值，零点，即可得出答案.

本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题.

21.【答案】解：(1)依题意，f(x)=i-a(x>0),

当aW0时，显然f'(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增；

当a>0时，令((x)>0,得0cx<；；令((x)<0,x>；；

即/Q)在(0、)上单调递增，在©,+8)上单调递减.

(2)由题意得/'(x)=Inx-ax+1<0(x>0)恒成立，等价于a>空口(x>0)恒成立，

令