2022-2023学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2022.2023学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷

1.下列函数中，一次函数是（）

2

A.y=2B.y=%2+2%+1C.y=-+1D.y=3%

2.下列说法中，正确的是（）

A./一4%=0是二项方程B.号+q=0是分式方程

C.，石/一「工一1=0是无理方程D.是二元二次方程组

3.下列关于向量的等式中，正确的是（）

A.而+雨=0B.-|^4|=0C.|AB|+|^4|=0D.\AB+BA\=O

4.下列描述的事件中，随机事件的是（）

A.方程，TTI+l=0，在实数范围内有解

B.从矩形、菱形、等腰梯形中任取一个图形，它是轴对称图形

C.掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上

D.将10个球放入3个袋子中，至少有一个袋子里的球超过3个

5.顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是（）

A.等腰梯形B.菱形C.矩形D.正方形

6.下列命题中，假命题的是（）

A.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

B.一组对边相等，一个内角为直角的四边形是矩形

C.一组对边平行，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形

D.对角线相等的菱形是正方形

7.方程式-27=0的根是.

8.如果将直线y=-x+3向下平移2个单位，那么平移后所得直线的表达式为.

9.已知方程号+守=3,如果设丫=省，那么原方程转化为关于y的整式方程为

10.如果一个多边形的内角和为720。，那么它的边数是.

11.如果一次函数了=/c%+b（/c、b为常数，kH0）的图象过点（一1,2）且经过第一、二、三象限，那么当y>2

时，x的取值范围是.

12.如图，正方形A3。的对角线AC、BD交于点、O,图中与标相等的向量（除

了初是.

BC

13.如果从2、6、12、20、30、42这6个数中任意选一个数，那么选到的数恰好是4的倍数的概率是.

14.矩形的两条对角线的夹角为60。，一条对角线的长为2,那么矩形的周长为.

15.已知某汽车装满油后油箱中的剩余油量y（升）与汽车的行驶路程式千米）之间具有一次函数关系（如图所

示），为了行驶安全考虑，油箱中剩余油量不能低于5升，那么这辆汽车装满油后至多行驶千米，就

应该停车加油.

16.已知等腰梯形的中位线长为9,对角线互相垂直，那么该梯形的一条对角线长是

17.已知函数y=〃尤）满足当&时，对应的函数值y的范围是由＜y式瓦，我们称该函数为关于与

和瓦的方块函数.如果一次函数丫=/cx+b（k、b为常数,kRO）是关于1和2的方块函数，且它的图象不经

过原点，那么该一次函数的解析式为.

18.如图，菱形ABC。的边长为2,4048=60。，联结AC,将菱形ABC。

绕点4旋转，使点D的对应点E落在对角线AC上，联结DE,那么△DEC

的面积是.

19.解方程：Vx+2—>/~x=1

x—y—2=0

20.解方程组:

/4-y2=10,

21.如图，点E在平行四边形ABC。的对角线B/）的延长线上.

(1)填空：DA+DC=.AE-BC=

（2）求作：宿+笳（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）

E

'D

/-------'C

22.小明和小智从学校出发，到距学校路程12千米的自然博物馆，小明骑自行车先走，过了15分钟，小智

乘汽车按相同路线追赶小明，结果他们同时到达目的地，已知汽车的速度是小明骑车速度的2倍多20千米

/小时，求小明骑车的速度是每小时多少千米.

23.如图，在四边形ABC。中，4O〃BC,点E在边BC上，点F在边BC的延长线上，四边形AEFZ)的对角

线AF分别交DE、DC于点P、Q,且PO=PE,OE平分44DF.

(1)求证：四边形AEFQ是菱形；

(2)如果=Z.EDC=Z.EFP,求证：四边形A8C。为矩形.

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线丫=kx+b与x轴正半轴、y轴分别交于点4(a,0)、B(0,6),与双

曲线'=三(》＜。)交于点C(c,10),△40B的面积为9.

(1)求k与m的值;

(2)点尸在线段AC上，过点尸作PQlx轴，垂足为点。，以尸。为对角线作正方形PMQM如果点M恰好

落在上述双曲线上，求点尸的坐标.

25.已知在四边形ABC。中，AB//CD,乙4=90。，8E平分乙4BC,交边AD于点E.

(1)如图1,如果点E与点。重合，AD=AB,求证：四边形ABCO是正方形;

(2)如果48=5,AD=4,

①如图2,当BC=|，与时，求NEBC的度数；

②当aBEC是直角三角形时，求。E的长.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：A、此函数不是一次函数，故此选项不符合题意；

8、此函数是二次函数，故此选项不符合题意；

C、此函数不是一次函数，故此选项不符合题意；

此函数是一次函数，故此选项符合题意.

故选：D.

根据一次函数的定义判断即可.

本题考查了一次函数.解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数旷=/^+匕的定义条件是：鼠b为常

数，k#0,自变量次数为1.

2.【答案】D

【解析】解：4方程的左边是二次二项式，不能说方程是二项方程，故本选项不符合题意；

B.方程是整式方程，不是分式方程，故本选项不符合题意；

C方程是有理方程，不是无理方程，故本选项不符合题意；

D方程组是二元二次方程组，故本选项符合题意；

故选：D.

分别根据一元二次方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义逐个判断即可.

本题考查了一元二次方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，能熟记定义是解此题的关键，

①分母中含有未知数的方程叫分式方程，②根号内含有未知数的方程叫无理方程.

3.【答案】B

【解析】解：•.•南+瓦？=G，

|画一画|=0，

|AB|+|R4|*0.

|AB+B7|=0>

.i.选项A、C、£）错误，选项8正确，

故选：B.

根据平面向量的运算法则逐一判断即可求解.

本题考查了平面向量的运算法则，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键.

4.【答案】C

【解析】解：A、方程，TTT+1=0,在实数范围内有解，是不可能事件，不符合题意；

8、从矩形、菱形、等腰梯形中任取一个图形，它是轴对称图形，是必然事件，不符合题意；

C、掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上，是随机事件，符合题意；

。、将10个球放入3个袋子中，至少有一个袋子里的球超过3个，是必然事件，不符合题意；

故选：C.

根据事件发生的可能性大小判断.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不

可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也

可能不发生的事件.

5.【答案】B

【解析】【分析】

根据等腰梯形的对角线相等和三角形中位线定理，所得四边形的各边都相等，所以判定为菱形.

此题考查了菱形的判定方法、等腰梯形的性质、三角形中位线定理等知识点，掌握菱形的判定

【解答】

解：如图所示，

根据三角形中位线定理，EF=GH=1BD,FG=EH=^AC,

•••4BCD为等腰梯形，

0Gi

：•AC=BD,

・・.EF=GH=FG=EH,

•••EFGH为菱形.

故选：B.

6.【答案】B

【解析】解：4、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；

8、一组对边相等，一个内角为直角的四边形不一定是矩形，故本选项说法是假命题，符合题意；

C、一组对边平行，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；

。、对角线相等的菱形是正方形，是真命题，不符合题意；

故选：B.

根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理判断即可.

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要

熟悉课本中的性质定理.

7.【答案】x=3

【解析】解：X3-27=0,

x3=27,

x=V27=3.

故答案为：x=3.

先移项，再开立方即可.

本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键.

8.【答案】y=-x+l

【解析】解：将直线y=—X+3向下平移2个单位，那么平移后所得直线的表达式为y=—x+3-2,即丫=

—X+1,

故答案为y=-x+1.

根据“上加下减”的规律写出函数解析式即可.

本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”直线平移的规律，属于基础题，中考

常考题型.

9.【答案】y2-3y+i=。

【解析】解：设'=号，则9寸

原方程化为：y+J=3,

去分母得：y2+1=3y,

即y2-3y+1=0,

故答案为：y2-3y+1=0.

结合已知条件换元后再去分母即可.

本题考查换元法解分式方程，换元法是解分式方程的常用方法，必须熟练掌握.

10.【答案】6

【解析】解：设它的边数是小根据题意得，

(n-2)-180°=720°,

解得71=6.

故答案为：6.

根据多边形的内角和公式(n-2)・180。列出方程求解即可.

本题考查了多边形的内角和，熟记公式是解题的关键.

11.【答案】x>-l

【解析】解：•••一次函数y=kx+b(k、b为常数,kK0)的图象过点(—1,2)且经过第一、二、三象限，

••.y随x的增大而增大，

.・.当y>2时，x的取值范围是x>-1.

故答案为：x>—1.

根据题意得出y随x的增大而增大，然后根据图象过点(-1,2)即可得到结论.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键.

12.【答案】OC

【解析】解：•••四边形ABCD是正方形，

・•・AO=OC,

又与元方向相同，

・•・AO=OC，

故答案为：OC.

根据正方形的性质得出4。=0C,即可求解.

本题考查了正方形的性质，平面向量，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.

13.【答案】1

【解析】解：”2、6、12、20、30、42这6个数中，4的倍数是12和20,共2个，

・•・任意选一个数，那么选到的数恰好是4的倍数的概率是:=\

OO

故答案为:寺.

2、6、12、20、30、42这6个数中，4的倍数是12和20,共2个，利用概率公式计算可得.

本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数

之比.

14.【答案】2c+2

【解析】解：矩形的两条对角线的夹角为41=60。,

且矩形对角线相等且互相平分，

.•・△40B为等边三角形，

1

•••AB=AO--AC=1,

在直角△力BC中，AC=2,AB=1,

•••BC=VAC2-AB2=口，

故矩形的周长为2BC+2AB=2<3+2.

故答案为：2，？+2.

根据矩形的两条对角线的夹角为60。，可以判定AAOB为等边三角形，即可求得4B=4。，在直角△ABC中,

已知AC,AB,根据勾股定理即可计算BC的长，进而计算矩形的周长即可解题.

本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，等边三角形的判定，勾股定理在直角三角形中的运用，本

题中根据勾股定理计算8C的长是解题的关键.

15.【答案】450

【解析】解：设该一次函数解析式为丫=/^+从

将(400,10)、(500,0)代入丫=々％+方中,

(400k+b=10AZ(k=-0.1

l500fc+b=0'解2得B:U=50>

,该一次函数解析式为y——O.lx+50.

当y=-0.1%+50=5时，x=450.

故答案为：450

根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可

求出剩余油量为5升时行驶的路程，此题得解.

本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐

标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键.

16.【答案】9

【解析】解：如图，等腰梯形4BCC中，AD//BC,AC1BD,OE为等腰梯形的高，AD

过。点作交BC的延长线于F点，

根据梯形的中位线定理，得H

AD+BC=CF+BC=BF=9x2=1S.

•••梯形是等腰梯形，且对角线

•1,BD=AC=DF,BD1DF,

・••△BDF为等腰直角三角形，

BD=早BF=9，

故答案为：9.

能够根据梯形的中位线定理，求得梯形的两底和；再根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

本题考查了梯形中位线定理、等腰梯形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰梯形的性质

是解题的关键.

17.【答案】y=—尤+3

【解析】解：当％=1时，y=k+b；当％=2时，y=2/c+6,

①当时，解得

•0-y=x,不合题意，舍去；

②当记工二时，解得忆二，

・•・y=-x+3；

・•・一次函数的解析式为y=-%+3,

故答案为：y=-久+3.

根据定义得出｛笊*=」2或除*==2],分别求解即可•

本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一

次函数的图象及性质，理解定义是解题的关键.

18.【答案】「一1

【解析】解：连接80交AC于点0,

•••四边形ABCD是菱形，

：.AD=2,AC1BD,AC=2A0,AC平分/ZMB,

•••/.DAB=60",

1

・•・/.DAO=^DAB=30°,

在RtA4。。中，DO=^AD=1,AO=CDO=

：.AC=2A0=2-，

由旋转得：AD=AE=2,

■■■EC=AC-AE=2y/~3-2,

.•・△。£。的面积=犯5。。

1

=-X

2(2V3-2)x1

故答案为：-\/3—1.

连接交AC于点O,根据菱形的性质可得4。=2,ACLBD,AC=240,4(7平分4。48,从而可得4。4。=

30。,然后在Rt△ADO中，利用含30度角的直角三角形的性质可得DO=1,AO=C，从而可得AC=2<3,

再根据旋转的性质可得：AD=AE=2,从而可得EC=2，石-2,最后利用三角形的面积公式进行计算,

即可解答.

本题考查了旋转的性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的面积，根据题目的已知条件并结

合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

2c

1

X=

4-

【解析】将方程化为=然后两边平方即可求出答案.

本题考查无理方程的解法，解题的关键是将无理方程化为整式方程来解答，本题属于基础题型.

20.【答案】解：•••x-y—2=0,

x—y=2,

・••(%—y)2=%2+y2—2xy=4,

,:%24-y2=10,

・•・10—2xy=4,

・•・2xy=6,

A(%+y)2=x2+y24-2xy=10+6=16,

・・.％+y=4或一4,

.(x-y=2(x-y=2

"(x+y=4^(x+y=-4T

解得仁：喝：4

【解析】先求出久-y的值，根据完全平方公式得出加的值，再利用完全平方公式得出x+y的两个值，则

可得到两组关于x,y的方程组，即可得解.

此题主要是考查了高次方程的解法，能够熟练运用完全平方公式得出关于x,y的二元一次方程组是解答此

题的关键.

21.【答案】(1)丽；DE-,

(2)如图，而即为所求荏+万豆

【解析】解：(1)耐+比=丽,

•••AD=

：.AE-JC=AE-AD=DE;

故答案为：DB-,~DE.

(2)见答案.

【分析】

(1)根据向量的平行四边形法则写出历+配即可，根据平行四边形的对边平行且相等可得而=近，然后

根据向量的三角形法则求解即可；

(2)根据平行四边形的对边平行且相等可得比=荏，然后根据向量的平行四边形法则作出以。C、QE为邻

边的平行四边形，其对角线即为所求.

本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的

关键.

22.【答案】解：设小明骑车的速度是x千米/小时，则汽车的速度是(2x+20)千米/小时，

根据题意得：又一忐『焉

x2x+2060

整理得：x2-14%-480=0,

解得：X】=30.x2=-16,

经检验，与=30,x2=-16均为所列方程的解，

%=30符合题意，犯=-16不符合题意，舍去.

答：小明骑车的速度是30千米/小时.

【解析】设小明骑车的速度是x千米/小时，则汽车的速度是(2x+20)千米/小时，利用时间=路程+速度，

结合小明比小智多用了15分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论.

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

23.【答案】证明：⑴AD//EF,

4ADP=乙FED,

•••DE平分N40F,

4ADP=4FDE,

・•・Z.FDE=乙FED,

・•・DF=EF,

在与AFEP中，

2ADP=乙FEP

PD=PE,

Z.APD=(FPE

•••△40。分尸"(溢4),

:.AD=EF,

・・・四边形AEFD是平行四边形，

vDF=EF,

・・・四边形是菱形；

(2)vAD=EFfAD//EF.BC=EF,

：・AD//BC,AD=BC,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

•・・DF=EF,PD=PE,

・•・FP1DE,

vZ.EDC=乙EFP,乙CQF=乙DQP,

・•・乙DPQ=Z-FCQ=90°,

・・・乙BCD=90°,

二四边形A8C。为矩形.

【解析】(1)根据平行线的性质得到=根据角平分线的定义得到440P=4FOE,等量代换得

至ljNFDE=/FEC,求得OF=EF,根据全等三角形的性质得到AD=EF,根据菱形的判定定理即可得到结

论；

(2)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到FP1DE,求

得乙BCD=90。，于是得到四边形ABCD为矩形.

本题考查了菱形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关

键

24.【答案】解：⑴••,直线y=kx+b与x轴正半轴、y轴分别交于点4(a,0)、8(0,6),

•1■OA=a,OB=6,

的面积为9,

11

.-.^OA-OB=9,即加x6=9,

，Q=3,

・•・4(3,0),

把A、B的坐标代入y=kx+b得｛：)+6b=°,

解得仁

・•・一次函数为y=-2x+6,

•・・一次函数y=-2%+6与双曲线y=^(x<0)交于点

C(c,10),

・••10=-2c+6,

・•・c=—2,

・•・m=-2x10=-20；

(2)设P(x,-2x+6),由正方形的性质可知M(2x-

3,—x+3),

•••点M恰好落在上述双曲线上，

(2x-3)(-x+3)=-20,

解得X]=-1,%2=4(舍去)，

•••P(-l,8).

【解析】(1)利用三角形面积求得A点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，利用一次

函数解析式求得点C的坐标，代入y=散＜0)即可求得m的值；

(2)设P(x,-2x+6),由题意可知M(2x—3,—x+3),代入y=-《得到关于x的方程，解方程求得x的值,

从而求得点P的坐标.

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查/待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标

特征，三角形面积，反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示点M的坐标是解题的关键.

25.【答案】(1)证明：=90。，AB//CD,^ADC=90°,

5L-AD=AB,

•••^ADB=/.ABD=45°,

•:AB"CD,

•••乙ABD=/.CDB.

•••BE平分乙4BC,乙4BD=/CBD=45。，/.ABC=90°,

四边形ABC。是矩形，

又AD=AB,

四边形ABC。是正方形；

(2)①解：如图所示，过点C作CF1AB于点F,

图2

•：AB//CD,乙4=90°,

・・・4D=90°,

又CFtAB,

・•・四边形AR?。是矩形，

vAD—4,

CF=AD=4,

在Rt△8"中，

BF=VCB2-CF2=J(亨)2-4；=1，

取BC的中点G,连接FG,则8G=CG=FG=2BC=殍，

・•・FB=BG—FG,

••.△FBG是等边三角形，

vsinZ-FCB=经=［，

CDL

・・・乙CBF=60°,

•・•BE平分448C,

1

/.zE,BC=z^BC=30°；

②当4ECB=90。时，如图所示，过点5作BGJ.DC交DC的延长线于点G,则四边形ABGO是矩形,

•・・〃=90°,

・•・EA1AB,

•・•BE平分乙4BC,

・•.EC=EAf

在Rt△AEB^Rt△CEB中，

(AE=CE

=EB'

・•・Rt△AE