第2讲 导数与函数的单调性（教师版）-2024年高考数学一轮复习考点（新教材新高考）

第02讲导数与函数的单调性（核心考点精讲精练）

考情探究

1.4年真题考点分布

4年考情

考题示例考点分析关联考点

2023年新I卷，第19题,12分含参分类讨论求函数的单调区间利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数求函数的单调区间

2023年新II卷，第22题,12分利用导数研究函数的零点

（不含参）

根据极值点求参数

用导数判断或证明已知函数的单比较指数寡的大小

2022年新I卷，第7题,5分

调性比较对数式的大小

含参分类讨论求函数的利用导数研究不等式恒成立问题

2022年新H卷，第22题,12分

单调区间裂项相消法求和

利用导数求函数的单调区间利用导数证明不等式

2021年新I卷，第22题,12分

（不含参）导数中的极值偏移问题

2021年新n卷,第22题,12分含参分类讨论求函数的单调区间利用导数研究函数的零点

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分

【备考策略】1.理解函数的单调性与导数之间的关系

2能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间

3.能够利用导数解决与函数单调性的综合问题

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会在解答题考查，同时小题也会考查用导数判断函数

单调性，且近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。

考点梳理

知识讲解

1.导函数与原函数的关系

条件恒有结论

/v)>o府)在(a,6)上单调递增

函数y=/(x)在区间

rw<o府)在(a,b)上单调递减

(a,b)上可导

ru)=o人刈在(a,b)上是常数函数

2.利用导数判断函数单调性的步骤

第1步，确定函数的定义域；

第2步，求出导函数/(x)的零点；

第3步，用/(x)的零点将｛x)的定义域划分为若干个区间，列表给出/(x)在各区间上的正负，

由此得出函数y=/(x)在定义域内的单调性.

［常用结论］

1.若函数人x)在(a,b)上单调递增,则b)时，1(x)2。恒成立;若函数4X)在(a,6)上单

调递减，则xG(a,b)时，/'(x)40恒成立.

2.若函数/(X)在(a,b)上存在单调递增区间,则6)时，八x)>0有解;若函数/(x)在(a,

b)上存在单调递减区间，则6)时，/'(x)<0有解.

考点一、函数与导函数图象之间的关系

☆典例引领

1.(浙江•高考真题)设/'(》)是函数/(X)的导函数，y=/'(x)的图象如图所示，则y=/(x)的图象最有

可能的是()

【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数/'（X）的单调性即可判断.

【详解】由导函数的图象可得当x<0时，尸（x）>0,函数/（X）单调递增；

当0<x<2时，r（x）<0,函数f（x）单调递减；

当x>2时，/^（x）>0,函数〃x）单调递增.

只有C选项的图象符合.

故选：C.

2.（全国•高考真题）已知函数y=切'（》）的图象如图所示（其中/‘（X）是函数/（x）的导函数），则下面四个

【答案】c

【分析】先利用函数y=^'(x)的图象求得函数/(X)的单调区间，进而得到正确选项.

【详解】由题给函数y=V(x)的图象，可得

当x<-l时，xf'(x)<0,则八x)>0,则/(x)单调递增；

当T<x<0时,xf'(x)>0,则/'(x)<0,则/(x)单调递减：

当0<x<l时，xf'(x)<0,则/'(x)<0,则□x)单调递减:

当x>l时,xf(x)>0,则/'(x)>0,则/(x)单调递增；

则/(x)单调递增区间为(YO,-1),(1,+00)；单调递减区间为(-1,1)

故仅选项C符合要求.

故选：c

3.(全国•高考真题)如果函数丁的图象如下图，那么导函数y=/(x)的图象可能是()

【详解】试题分析：y=/(x)的单调变化情况为先增后减、再增再减因此y=/'(x)的符号变化情况为大于

零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A符合，故选A.

考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.

【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数

学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知

识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇

偶性、特殊点以及(T,xf+8,Xf-8时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一

一排除.

即时检测

1.(2023,浙江绍兴,统考模拟预测)如图是函数y=/(x)的导函数y=7'(x)的图象，若/⑵=0,则y=/(x)

【分析】根据导函数的图象在KI'H](0,1)内的函数的范围，判断出函数歹=/(x)区间(0,1)上各点处切线的斜

率的范围，根据导函数的图象得导函数函数值的符号，得函数N=/(x)的单调性，再结合四个选项可得答案.

【详解】山y=/(x)的图象可知I,当0<x<l时，0</V)<l,则在区间(0,1)上，函数歹=/(x)上各点处

切线的斜率在区间(0,1)内，

对于A,在区间(0,1)上，函数y=/(x)上各点处切线的斜率均小于0,故A不正确；

对于B,在区间(0,1)上，函数N=/(x)上存在点，在该点处切线的斜率大于1,故B不正确；

对于C,在区间(0,1)匕函数V=/(x)上存在点，在该点处切线的斜率大于1,故C不正确；

对于D,由尸/'(X)的图象可知，当0<x<l时，,当l<x<3时，/'(x)<0,当x>3时，f\x)>0,

所以函数y=/(x)上各点处切线的斜率在区间(0,1)内，在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+8)

上单调递增，

而函数y=/(x)的图象均符合这些性质，故D正确.

故选：D

2.(2023•黑龙江齐齐哈尔•统考二模)已知函数、=#'")的图象如图所示(其中f'(x)是函数/(x)的导函

数)，下面四个图象中可能是y=/(x)图象的是()

-20A2

【分析】根据y=4(x)的图像，得到不同范围下，f'(x)的正负，得到f(x)的单调性，得到答案.

【详解】由》=/卜)的图象知，当X€(-8,-l)时，矿(X)<O,故/心)>0,/(X)单调递增；

当xe(—1,0)时，矿(x)>0,故/”(x)<0,当xe[o,l),xf'(x)<0,故/”(x)40,

等号仅有可能在x=0处取得，

所以时，〃x)单调递减；

当时，矿(x)>0,故乃(x)>0,/(x)单调递增，结合选项只有C符合.

故选：C.

3.(2010•湖南•校联考二模)设函数/(x)在定义域内可导，y=/(x)的图象如图所示，则其导函数y=/'(x)

的图象可能是()

【分析】根据“X)的图象可得f(x)的单调性,从而得到了'(X)在相应范围上的符号，据此可判断/'(X)的

图象.

【详解】由"X)的图象可知,/(X)在(-8,0)上为单调递减函数，故xe(-8,0)时,r(x)<0,故排除A,

c；时，函数“X)的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以/'(X)的值是先正，再负，最

后是正，因此排除B,

故选：D.

考点二、利用导数求不含参函数的单调性

寸?典例引领

1.(2023•北京•统考高考真题)设函数/(x)=，曲线y=/(X)在点(1J⑴)处的切线方程为y=-x+l.

⑴求。力的值；

(2)设函数g(x)=/'(x),求g(x)的单调区间；

⑶求/(x)的极值点个数.

【答案】(l)a=T,6=l

(2)答案见解析

(3)3个

【分析】(1)先对/(x)求导，利用导数的几何意义得到/W=0,r(l)=-l，从而得到关于b的方程组，

解之即可：

(2)由(1)得g(x)的解析式，从而求得g'(x),利用数轴穿根法求得g'(x)<0与g'(x)>0的解，由此求

得g(x)的单调区间；

(3)结合(2)中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间(-双0),(0,西)，(再,马)与(/,+«>)上/'(X)

的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得/(x)的极值点个数.

【详解】⑴因为/&)=、-娓"叫xeR,所以广卜)=1-(3犬+53卜族+「

因为/(x)在(1,7(1))处的切线方程为广-x+l,

所以/⑴=-1+1=0,八1)=7,

所以。二-1/=1.

(2)由(1)g(x)=f(x)=1-(3x2-x3)e-x+1ifeR),

则g'(x)=T(x2-6x+6)e-"i,

令工2一6%+6=0，斛彳Jx=3士G，不妨设M=3—6，x2=3+VJ,则0<司〈工2，

易知e-川>0恒成立,

所以令g'(x)<0，解得0cx<玉或；令g'(x)>。，解得x<0或不<x<xz；

所以g(x)在(0,再)，(“2，+°°)上单调递减，在(-巩0)，(再/2)上单调递增，

即g(x)的单调递减区间为(0,3-6)和(3+道,+8),单调递增区间为(-8,0)和(3-行,3+6).

(3)由(1)f#/(x)=x-x3e-x+1(xeR),f'(x)=\-{3x2-x3)^,

由(2)知/'(x)在(O,xJ,(%，”)上单调递减，在(-8,0),(国,々)上单调递增，

当x<0时，/,(-l)=]-4e2<0,r(0)=l>0,BP/,(-l)/,(°)<°

所以/'(x)在(-8,0)上存在唯一零点，不妨设为马，则-1<七<0,

此时，当时，r(x)<0,则〃x)单调递减；当X3<X<0时，f^x)>0,则/(x)单调递增；

所以“X)在(-巴0)上有一个极小值点；

当xe(0,再)时，尸卜)在(0,再)上单调递减,

则((再)=/(3-@</(1)=1-2<0,故/(0)广&)<0,

所以;■”)在(0/J上存在唯一零点，不妨设为则0<X4<片,

此时，当O<X<X40寸，.欢x)>0,则〃x)单调递增；当》4。<再时，/'(x)<0,则/(x)单调递减；

所以〃x)在(0当)上有一个极大值点；

当刀武王,々)时，/'(x)在(马/2)上单调递增,

，

则/(x2)=.r(3+73)>/(3)=1>0,故/'(占)/'卜2)<0,

所以/'(X)在(%,%)上存在唯一零点，不妨设为天，则阳<匕<》2，

此时,当再<x<5时,/'(x)<0,则/(x)单调递减；当匕</<々时，/'(x)<0,则f(x)单调递增;

所以/(X)在(x„x2)上有一个极小值点；

当x>》2=3+6>3时，3A-2-x3=x2(3-x)<0,

所以/'(x)=1-(3--X3)e-x+'>0,则/(x)单调递增，

所以/(x)在(匕，-)上无极值点；

综上：/(x)在(-令0)和(4X2)上各有一个极小值点，在(0,王)上有一个极大值点，共有3个极值点.

【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断/'(再)与/'(々)的正负情况，充分利用/'(x)的单调性,

寻找特殊点判断即可得解.

3.(2021•全国•统考高考真题)已知a>0且awl,函数〃x)=h(x>0).

ax

(1)当a=2时，求/(x)的单调区间;

(2)若曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求。的取值范围.

【答案】(1)［。，二］上单调递增；1=,+8］上单调递减；(2)(l,e)U(e,+a)).

Iln2J［ln2)

【分析】(1)求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；

(2)方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线>=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点等价转化为方

程¥=等有两个不同的实数根，即曲线>=g(x)与直线、=皿有两个交点，利用导函数研究g(x)的单调

Ina1

性，并结合g(x)的正负，零点和极限值分析g(x)的图象，进而得到0<----<一,发现这正好是

ae

0<g(a)<g(e),然后根据g(x)的图象和单调性得到。的取值范围.

2

x2x-2,-x2-2*ln2x-2、(2-xln2)

【详解】(1)当a=2时，〃X)=FJ'(X)=

4’

*729

令/'(x)=0得—三，当()<x<三时，/心>0,当x>三时，/'(x)<0,

ln2In2In2

...函数/(X)在fo，N］上单调递增；14,+8〕上单调递减；

Vln2J\_\n2)

(2)［方法一］【最优解】：分离参数

/"(x)=—=1<=>(/=y*=xlna-aIn设函数g(x)=

v7axxax

则g，(x)=^^,令g'(x)=0,得x=e,

在(0,e)内g'(x)>0,g(x)单调递增;

在(e,+oo)上g[x)<0,g(x)单调递减;

・••g(x)M=g(e)=/

又g(l)=0,当x趋近于丹时,g(x)趋近于0,

所以曲线y=/(X)与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=@应有两个交点的充分必要条

a

件是0<如<L这即是0<g(a)<g(e),

ae

所以。的取值范围是(l,e)U(%+8).

［方法二］:构造差函数

由V=fM与直线歹=1有且仅有两个交点知/(x)=l,即犬=优在区间(0,+8)内有两个解，取对数得方程

Qlnx=xln。在区间(0,+°o)内有两个解.

构造函数g(x)=w(0,+oo),求导数得g'(%)=名一Ina=―生.

xx

当0<4Vl时，111〃<0,%£(0,中)0),。一工111。〉0,8(工)>0£(工)在区间(0,+8)内单调递增，所以，g(x)在(0,+8)

内最多只有一个零点，不符合题意；

当时，1FIQ〉0,令g'(x)=0得x=『―，xGf0,--1时，g'(x)>0；当xj'；­,+°°］时，g'(x)<。；

InaIInaJ\\na)

所以，函数g(x)的递增区间为递减区间为1号,+8］.

VIna；(lna)

由于0ve“<1</—,ge“=-l-ealntz<0,

In。I)

当时，有Qlnxcxlna,即g(x)<0,由函数g(x)=alnx-xlna在(0,+8)内有两个零点知

gJ---|=In-----1|>0,所以—^―>e,即a-eIna>0.

构造函数人(a)="elna,则力'(〃)=1，="£，所以力⑷的递减区间为(l,e),递增区间为(e,+8),所以

aa

A(a)>A(e)=0,当且仅当“=e时取等号，故〃(a)>0的解为。>1且awe.

所以,实数a的取值范围为(l,e)u(e,+oo).

［方法三］分离法：一曲一直

曲线y=/(x)与了=1有旦仅有两个交点等价为《=1在区间(0,+8)内有两个不相同的解.

ax

因为x"=a3所以两边取对数得alnx=xlna,即lnx=®，问题等价为g(x)=lnx与0(.<)=也有且仅

aa

有两个交点.

①当0<。<1时，则■<o,p(x)与g(x)只有一个交点，不符合题意.

a

②当a>1时，取g(x)=lnx上一点(%,1叫)若(%)=」谯(不)=一若00在点(％,1叫)的切线方程为

X工0

j；-lnx0=—(x-x0),gpj；=—x-l+lnx0.

X。%

Ina_1Intz_1

a玉「得，

当)=-x-l+lnx0与p(x)="n"为同一直线时有.ae'

犬0a

%=e.

lnxo-l=O,

直线p(x)=3的斜率满足：0<也@<!时，g(x)=lnx与p(x)=Wg有旦仅有两个交点.

aaea

idh{a)=^-,h\a)=1,令h'5=o,有〃=e.ae(l,e),A(a)〉O,〃(a)在区间(l,e)内单调递增；

aG(e,4oci),/z'(a)<0,//(a)在区间(4+=»)内单调递减；a=e时，人⑷最大值为g(e)=;,所当。>1旦"e时

士cIna,1

有0<---<―.

ae

综上所述，实数a的取值范围为(l,e)u(e,m).

［方法四］:直接法

/(x)=*0)J(x)=a八x"一1-a-X-a-XIna-x°_xa~'(a-xlna)

axax

因为x>0,由/''(x)=0得x=4.

Intz

当0<“<l时，/(X)在区间(0,物)内单调递减，不满足题意；

当a>l时，f>0,由/'(x)>0得0<x<J—J(x)在区间(0,内单调递增，由/口)<0得x>&,/(x)

InaInaIna7Ina

在区间(卷,+(»)内单调递减.

因为lJ”(x)=°，且吗〃x)=0,所以yj=]>1,即(嬴)_“F,即T

1--

、“°llnaj——a>(\na)\a,na>]naf

两边取对数，得(1一］lna>ln(lna),Hpina-1>In(lna).

令lna=f,则,令〃。)=1门7+1,则/5)=1-1,所以〃。)在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+8)

X

内单调递减，所以。(x)j⑴=0,所以t-121nf,则的解为fHl,所以IIWHI,即awe.

故实数。的范围为(Le)u(e,”).］

【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，

属较难试题，

方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数

形结合思想求解.

方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.

方法三：将问题取对，分成g(x)=lnx与p(x)=*两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线

a

斜率与一次函数的斜率比较得到结论.

方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.

2.(2023•全国•统考高考真题)已知函数/(x)=ax-半却

cosx\2J

⑴当a=8时，讨论/(x)的单调性；

(2)若f(x)<sin2x恒成立,求a的取值范围.

【答案】⑴答案见解析.

(2)(-00,3]

【分析】(1)求导燃后令ycos’x,讨论导数的符号即可;

(2)构造g(》)=/(x)-sin2x,计算g，(x)的最大值然后与0比较大小，得出。的分界点，再对。讨论即可.

cosxcos3.r+3sinxcos2xsinx

【详解】(1)f\x)=a-

cos6X

cos2x+3sin2x3-2cos2x

=a--------j-----=a-------j----

COSXCOSX

令cos?x=t，则1e(0,l)

。产+2f-3

则/'(x)=g(7)=a----=

t2

w,of<\,八8』+2t-3(2z-l)(4r+3)

ida=8J(x)=g(f)=---------=

t2

当即xW，/，(x)<0.

所以/(x)在(0高上单调递增，在(：,野上单调递减

(2)设g(x)=/(%)—sin2x

g(x)=/(x)—2cos2x=g(f)-2(2coSx-1="十丁~~--2(21)=Q+2-41/一|设

23

=a+2-4t+----

，,、“26-4/3-2Z+62(/-l)(2/+2f+3)八

^^=-4--+-=-——-------^0

所以夕。)<夕⑴=a-3.

「若ae(Yo,3],g，(x)=e(f)<"340

即g(x)在(°，5)上单调递减，所以g(x)<g(。)=0.

所以当aw(-oo,3],/(x)<sin2x,符合题意.

2°若ae(3,+oo)

当f—O,2-2=-3(L-g[+，所以9⑺--0°.

(p(\)=a-3>0.

所以％e(0,l),使得8%)=0,即期,w(o,9,使得g，(x0)=0.

当fe&,1),夕(f)>0,即当xe(O,Xo),g'(x)>0,g(x)单调递增.

所以当工€(0,%)名(刈>8(0)=0,不合题意.

综上,。的取值范围为(-8,3].

【点睛】关键点点睛:本题采取了换元，注意复合函数的单调性f=cosx在定义域内是减函数，若f°=cosx。,当

入&,1),*)>0,对应当工«0,为)8'(》)>0.

4.(2021•全国•统考高考真题)已知函数/(x)=x(l-lnx).

(1)讨论〃力的单调性；

(2)设a,b为两个不相等的正数，且bIna-alnb=a-6,证明：2<1+L<e.

ab

【答案】(1)/(X)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1,+8)；(2)证明见解析.

【分析】(1)首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.

(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令l=〃?==〃，命题转换为证明；2</n+〃<e,然后构造对称差

函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.

【详解】(1)/(力的定义域为(0,”).

由〃x)=x(l-lnx)得，//(x)=-lnx,

当x=l时，r(x)=0；当xe(O,l)时/[x)>0；当xe(l,+8)时，/,(x)<0.

故/(x)在区间(05内为增函数，在区间[1,内)内为减函数，

⑵[方法一]:等价转化

由bhia_aln6=a_b得_(1，即/(—)=/(—).

aabbab

由/b,得，wg.

ab

由(1)不妨设，e(0,l#e(l,+8)，则/山>0,从而〃?)>0,得］e(1,e),

ababb

①令g(x)=/(2-x)-〃x),

贝ijg'(x)-ln(2-x)+lnx=ln(2x-x^=ln［l-(x-l),

当X€(O,1)时，g<x)<0,g(x)在区间(0,1)内为减函数，g(x)>g(l)=o,

从而42—x)>/(x),所以〃2-3>/(3=/(3，

aab

由(1)得2-L<L即2<‘+1.①

abab

令MR)=X+/'(X),则〃,x)=l+，(x)=l_lnx,

当xe(l,e)时,h'(x)>0,〃(x)在区间(l,e)内为增函数，A(x)<ft(e)=e,

从而x+/(x)<e,所以?+/(，)<e.

bb

又由1e(0,l),可得L<L(l-ln,)=/(,)=/C)，

aaaaab

所以，+：</(!)+!=e.②

abbb

由①②得2<，+：<e.

ab

r»时—1,且小小▼,,,,YTTylno\nh11*“lno+1lnb+1

［方法一］【最优解】：blna-alnbf=a-b变形1为--------------,所以------=;

aboaab

令工=加」=〃.则上式变为"2(l-ln加)=〃(1一In〃)，

ab

于是命题转换为证明：2<m+n<e.

令〃工)=%(1-如力,则有/(加)=/(〃)，不妨设加<〃.

由(1)知0<加<1,1<〃<6,先证加+〃>2.

要证：m+〃>2<=>〃>2—〃</(2—m)<=>/(m)</(2—〃？)

=/(〃?)-/(2-加)<0.

令g(x)=/(x)-/(2-x),X£(0,l),

则8'(%)=_加工_加(2_1)=_111卜(2_工论_111］=0,

・•・g(x)在区间(0,1)内单调递增，所以g(x)<g(l)=0,即加+〃〉2.

再证加+〃<?.

因为加(1-ln〃?)=〃一In〃)〉〃？,所以需证〃(1一ln〃)+〃<en加+〃<e.

令/z(x)=x(l-lnx)+x,xe(l,e),

所以“(x)=l-lnx>0,故〃(x)在区间(l,e)内单调递增.

所以〃(x)<〃(e)=e.故即〃+?

综合可知2<—+—<e.

ab

［方法三］:比值代换

证明,+1>2同证法2.以下证明玉+%<e.

ab

不妨设工2=打，则/=强>1,

x\

由X［(l_lnX］)=X2(l_lnx2)得xO-lnxJuaJl—ln(历)］,Inx}=1--^-^,

/—1

要证再+/<e，只需证(1+。玉<e,两边取对数得ln(l+f)+ln/(1,

即ln(l+/)+l-史晨1,

/-I

In(l+Z)Inr

即证q——-<——・

tt-\

../、ln(l+s)..I-----ln(l+5)

记g(s)=-------,5e(0,+co),则oG、_l+s

Sg⑹-------2-----

S

S11

记〃(s)=-----ln(l+s),则〃'(s)=7；~~—<0,

14-5(1+5)1+5

所以，Ms)在区间(o,+00)内单调递减.h(s)<h(o)=o,则g'(s)<0,

所以g(s)在区间(0,+8)内单调递减.

由/€(1,+00)得，-1€(0,+8),所以g(f)<g(/T),

即ln(l+屋曳.

tt-\

［方法四］:构造函数法

,..Ina\nb1I11

由己知得--------；—=；-,A令—=/，丁=4，

abbaab

不妨设玉<々，所以/(司)=/(x2).

由(I)知，0<X,<1<x2<e,只需证2<玉+工2<e.

证明x,+x2>2同证法2.

口.、十”11-2d---FInx

再证明Xi+%<e.令Ax1-lnx、〃/、x

—12-h(x)=------(0<x<e),A(x)=--------；—

x-e(x-e)

P1cx-e

令(p(x)=lnx+——2(0<x<e)贝ij(p\x)=------7=——<0.

XtXXX

所以(。)>0(e)=0/(x)〉0,Mx)在区间(O,e)内单调递增.

因为0<X<W<。，所以-----L<-----j即/丁^>^—

X,-ex2-e1—Inx2x2-e

又因为/a)=/(xj,所以号也=%,9>匚，

、/、/1-Inx2%玉e

2

B|Jx；-ex2<%1(为一42)(玉+x2-e)>0.

因为再</，所以玉+工2<6，即，+1<e.

ab

综上，有2<1+；<e结论得证.

【整体点评】⑵方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想,

这些都是导数问题必备的知识和技能.

方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.

方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明

题中的不等式即可.

方法四：构造函数之后想办法出现关于玉+X2-e<0的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.

,即时检测

1.(2023•江苏盐城•统考三模)已知函数/(》)=^-十(。+1欧).

⑴当4=1时，求“X)的单调递增区间；

⑵若/(x)20恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)。,+8)

⑵(-85

【分析】(1)代入求导得/'(X)=e'-：,再次设导函数为新函数进行求导得到其单调性和其零点，从而得

到的单调增区间；

(2)法一：令g(x)=xe'-e",利用导数和零点存在定理得存在唯一正实数不使得/e&=e",从而得到

/(x)min=/(Xo)=eJe"hK「e%,再利用隐零点法得飞+2叫-,<0,再次设新函数进行求导从而得到

xo

〃的范围；

法二：同法一求得/卜)01曲=/卜())=铲-/品。一6"。，则

/(x)min=e"Q+x。-。-e"“，利用基本不等式有/(x)mjnNe"(2-a)-e"aZ()，从而得到a的范围.

\x0)

【详解】(1)当〃=1时，/(x)=e、-e(l+lnr),/-(%)=ex-p

设*(x)=e'_:

又d(x)=e、+。>。；.e(x)在(0,+oo)上单调递增，

X

乂/'(1)=0,.•.当xe(o,l)时r(x)<0,当xe(l,+8)时尸(x)>0,

••./(X)的单调递增区间为(1,+8).

(2)对函数〃x)求导得，r(x)=e，-£=xe'-e",令g(x)=xe*-e",

XX

则g'(x)=e*+xe*>0,二g(x)=xe"-e"在(0,+<»)上单调递增,

又g(0)=-e"<0,当x->+8时g(x)->+<»,

故存在唯一正实数%使得x0e"。=e",

当x<Xo时,//(x)<0,/(X)单调递减，

当x>x0时，尸(x)>0,〃x)单调递增，

=xXoa

"(x)min/(o)=e-elnvo-e°a,

由〃x)20恒成立，得/卜)哂20,

由/e&=e"得x0+lnx0=a,A/(x)111ta=/(x0)=e*°-x0e*。%+21moA。

l-x0(x0+21nx0)>0,xn(x0+21nx0)-1<0,

x0+21nx0---<0,

x°

i21

设力(x)=x+21nx——,则〃'(x)=1+—+-y〉0，恒成立，

xxx

故力(x)在(o,+8)上单调递增，而〃⑴=0,

/.0<x0<1,

又Xo+lnx。=。且函数y=x+lnx在(0』上是增函数，

故。的取值范围为(-85

法2：同法一得/(x)111ta=/(Xo)=e%-e"hK()-e%,

由％e"=e"得x0+lnx0=a,

•••〃x)mM=e"*-e"a=e"(二*e%=e"\Ux0-a[e"a

2e"(2-a)-e"aN0,当且仅当％=1时等号成立，

e°(2-2a)>0,

故。的取值范围为(-85

x

【点睛】关键点睛：本题第二问利用零点存在定理及隐零点法得到/(x)1mn=/(x0)=e^-x0e-(r0+21iK())>0,

从而有％+2加。-，40,再次重新设函数〃(x)=x+21nx-L根据其单调性和零点得到0</<1,从而得

X0X

至ljae(-co,l].

2.(2023•浙江•校联考三模)已知/(x)="e'-aeT-2x

⑴当”=1时，求/(x)单调区间；

(2)当x>0时，/(x)>0恒成立，求。的取值范围；

(3)设机>”,W,/7GN,,证明：111——V——.

n*="+ik2mn

【答案】(1)单调递增区间为(TO,*®),无单调递减区间

⑵[1，+°0)

(3)证明见解析

【分析】(1)求导后，根据/'(X)20恒成立可得结论；

(2)方法一：由/(0)=0可知9>0,使得/(X)在(0,机)上单调递增，根据/'(0)20可知：将”2]代

回验证，知(e-e-v)4-2x2e'-eT-2x,利用导数可证得e*-e"-2x>0，知满足题意；

方法二：易说明。>0,求得/*'(x)后，令/=6”,则fe(l,+℃),令^=。*-2，+4,分别在A>0和AV0的情

况下，得到/(x)的单调性，进而确定使得/(元)>0恒成立的。的范围；

(3)令x=lnf,由(2)得令f=l+1(〃cN*),采用累加法可求得In%,进而放缩得到

t〃\'n

,m11f1111131的用用rmn，"人

n卜=“*\k2\nm)n+\n+2m-\t=„+|k

【详解】⑴当」=1时,/(x)=e*-eT-2x,.•/(x)=e'+eT-2,

•/ev>0.e-v>01e'+e~x>2-Je''e"r=2(当旦仅当x=0时取等号)，

，/'(x)20恒成立，\/(x)的单调递增区间为(YO,+8),无单调递减区间.

(2)当x>0时，/(x)>0恒成立，即Vxe(0,+oc),“e*-。葭-2x>0恒成立；

方法rQ/(O)=O,.-.3^>0,使得〃x)在(0,%)上单调递增，

.•.当xe(O,m)时，//(%)=aex+ae'x-2>0,/./'(0)=2a-2>0,解得：a>l；

当。21时，aex-ac~x-2x=(ex-e-x)a-2x,

vex-e'x>0，...(e*-eT)a-2xNeJt-e-*-2x,

设〃(x)=e，-eT-2x(x>0),则H'(x)=e'+-220,

・••”(同在(0,+8)上单调递增，.•.〃(x)>〃(0)=0,

(ex-e-x)a-2x>eA-e'r-2x>0,即“21满足题意;

综上所述：。的取值范围为口,”).

方法二：aex-ae~x-2x=(ev-e~vja-2x,

•.♦xe(0,+8),常--〉。，-2x<0,

则由Vxe(0,+8),原-前-、-2》>0恒成立得：”>0:

A

v./z(-x/)\=aex-ae-x-2x,f(x}=------—--2--e---+--Q-，

ex

令1=凡则1W(L+8),令丁=。/-2/+。，则A=4-面,

①当A〉。，即〃£(0,1)时，方程〃*_2/+〃=0的解为心右，

设4<%,・.・歹=。/一2/+〃的对称轴为z=->1,当/=1时，y=2a-2<0,

a

•■.0<；1<1</2,其中G=也七至,

2a

则当fe(l/2),即xe(0,lnf2)时，/'(x)<0；当fe&,+℃)时，即xe(32，+<»)时，f^[x}>0；

\/(x)在(O,1M)上单调递减，在(1%,转)上单调递增，

Q〃0)=0,.・.当x«0/nf2)时，/(力<0,与Vxe(0,+8),泡-W-2x>0恒成立相矛盾,故。«0,1)

舍去；

②当△«(),即。€口,+8)时，y=at2-2/+a>0,Bp//(x)>0,

\/卜)在(0,+8)匕单调递增，.•./(x)>/(0)=0,

即Vxw(0,+8),ae*-ae-*-2x>0恒成立；

综上所述：实数。的取值范围为。，田).

(3)由(2)得：Vxe(0,+oo),e'-e-*-2r>0;

令x=lnf,e",,-e-ln,-21n/=r-y-21nf,即/-；-21n/>0,

化简得ln(1+〃)-ln〃<〃£N’,

ln(l+/7)-lnn<~1-L

n+n+1

In(2+〃)-In(〃+l)<；

'・">〃，\n-=\nm-\nn,

n

In加一ln(7w-l)<；1]

+口m)

由…iH11I111

累加得：।lnm-ln-+—+----+-+•••+----

2\nmJn+1〃+2

.m〃？i

In---y-

Jk

nk=n+\H

.m-AIm-n

即nnin——y—<------成立.

n』+ik2mn

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数单调区间、恒成立问题的求解、不等式的证明等；本题

证明不等式的关键是能够利用(2)中的结论，将指数不等式转化为对数不等式，进而采用赋值的方式对不

等式进行放缩.

3.(2023・河北•校联考一模)已知函数f(x)=sin2x+ax2.

⑴当。=1时，求/(x)的单调区间;

⑵若xe0,y,不等式sin(2cosx)+aV之4(x)恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(l)f(x)在(-8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增；

(2)(-8,0].

【分析】(1)当。=1时，对函数求二阶导可以得到二阶导大于等于零，即x<0,/(x)<0,x>0时，/(x)>o,

即可得到答案.

(2)根据题意有不等式sin(2cosx"asin2x恒成立.令cosx=fe[0,1],则等价于不等式

sin2i>a(l-?2)……(*)恒成立，

①若f=l，不等式(*)显然成立，此时aeR

②若04f41时，不等式(*)等价于普.求出萼的最小值即可得到答案.

1-r1-r

【详解】(1)/'(x)=2sinxcosx+2x=sin2x+