上海延安中学2023年九年级上册数学期末学业质量监测模拟试题（含解析）

上海延安中学2023年九上数学期末学业质量监测模拟试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.若数据王，超，…，％的众数为。，方差为〃，则数据玉+2,々+2,…，Z+2的众数、方差分别是（）

A.a,bB.a,。+2C.a+2,hD.a+2,b+2

2.在△ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,贝UsinB的值是（）

4343

A.-B.—C.—D.一

5534

3.如图1,点P从△ABC的顶点A出发，沿A-8-C匀速运动，到点C停止运动.点尸运动时，线段AP的长度y

与运动时间x的函数关系如图2所示，其中。为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）

j'A

A.10B.12C.20D.24

4.如图，在△ABC中，DE//BC,BE和Q9相交于点R且&EFC=3SAEFD,则SAAOE：SAABC的值为（）

5.如图，已知。是中的边BC上的一点，NBAD=NC,NABC的平分线交边AC于E,交AO于尸，那

么下列结论中错误的是（）

A.△BAC^ABDAB.△BFA^ABEC

C.△BDF^ABECD.△BDF<^ABAE

6.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（）

A.都含有一个40°的内角B.都含有一个50°的内角

C.都含有一个60°的内角D.都含有一个70°的内角

7.某商品先涨价后降价，销售单价由原来10（）元最后调整到96元，涨价和降价的百分率都为x.根据题意可列方程

为（）

A.100（l+x）（l-x）=96B.100（l+x『=96

100

C.96（1+初1-x）=D.96（1+X）2=100

8.如图，PA、PB、。上分别切。于A、B、C点,若圆。的半径为6,OP=W,则应的周长为（）

9.若函数y=（a—的图象与X轴有且只有一^交点，则a的值为（）.

A.-1或2B.-1或1

C.1或2D.-1或2或1

10.如图，△ABC的内切圆。O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=5,BC=13,CA=12,则阴影部

分（即四边形AEOF）的面积是（）

A.4B.6.25C.7.5D.9

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.在RtAABC中，ZC=90\AB=10,BC=8,贝!IcosA的值等于

12.从数-2,-g，0,4中任取一个数记为m,再从余下的三个数中，任取一个数记为n,若k=mn,则正比例函

数丫=1«的图象经过第三、第一象限的概率是.

13.己知圆锥的母线长为4,底面半径为2,则它的侧面积为（结果保留"）.

14.如图，已知一块圆心角为270。的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是

60cm,则这块扇形铁皮的半径是cm.

270°l

CF1

15.如图，AB是。。的直径，弦CD_LAB于点G,点F是CD上一点，且满足——连接AF并延长交。O于点

FD3

E,连接AD、DE,若CF=2,AF=1.给出下列结论：®AADF^AAED；②FG=2；③tanNE=@：④SADEF=4石.

其中正确的是(写出所有正确结论的序号).

16.如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点4、5、C、。、。都在横格线上，且线段AO,

5c交于点。，则A5：C。等于.

17.一元二次方程x(x—2)=x-2的一个根为x=2,另一个根为.

18.可乐和奶茶含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因不能超过0.000085kg,将数据0.000085

用科学记数法表示为一.

三、解答题(共66分)

19.(10分)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(1)分别写出图中点A和点C的坐标；

(2)画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转；90°后的AA'8'C'.

20.(6分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N.连接BM,

DN.

(1)求证：四边形BMDN是菱形；

(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.

21.(6分)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C(0,-3),抛物线的对

称轴为直线x=l.

(1)求此二次函数的解析式；

(2)若抛物线的顶点为D,点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线AE交对称轴于点F,试判断

四边形CDEF的形状，并证明你的结论.

22.(8分)已知二次函数丫=2炉+打-6的图象经过点(2,-6),若这个二次函数与x轴交于A.B两点,与y轴交于

点C,求出△ABC的面积.

23.(8分)如图，直线y=；x+3分别交x轴、y轴于点A、C.点P是该直线与双曲线在第一象限内的一个交点,PB_Lx

轴于B,且SAABP=16.

(1)求证:△AOCsAABP；

(2)求点P的坐标；

(3)设点Q与点P在同一个反比例函数的图象上，且点Q在直线PB的右侧，作QD_Lx轴于D,当ABQD与AAOC相似

时，求点Q的横坐标.

24.（8分）有2部不同的电影A、B,甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看.

（1）求甲选择A部电影的概率；

（2）求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）

25.（10分）商场销售某种冰箱，该种冰箱每台进价为2500元，已知原销售价为每台2900元时，平均每天能售出8

台.若在原销售价的基础上每台降价50元，则平均每天可多售出4台.设每台冰箱的实际售价比原销售价降低了x元.

（1）填表：

每天的销售量/台每台销售利润/元

降价前8400

降价后——

（2）商场为使这种冰箱平均每天的销售利润达到最大时，则每台冰箱的实际售价应定为多少元?

26.（10分）如图，在ABC中，AO是BC上的高，tanB=cosZDAC.

(1)求证:AC=3O;

12

(2)若si〃C=—,A£>=24,求8c的长.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、c

【分析】根据众数定义和方差的公式来判断即可，数据司+2,々+2,…，x“+2原来数据相比都增加2,,则众数

相应的加2,平均数都加2,则方差不变.

【详解】解：•••数据王，/，…，x”的众数为。，方差为

,数据内+2,々+2,…，x“+2的众数是a+2,这组数据的方差是b.

故选：C

【点睛】

本题考查了众数和方差，当一组数据都增加时，众数也增加，而方差不变.

2、A

【分析】先根据勾股定理计算出斜边48的长，然后根据正弦的定义求解.

【详解】如图,

VZ0900,AC=8,BC=6,

•••AB=VBC2+AC2=V62+82=10,

AC84

sinB=-----=—=—

AB105

故选：A.

【点睛】

本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值.也考查了勾股定理.

3^B

【解析】过点A作AMLBC于点M,由题意可知当点P运动到点M时，AP最小，此时长为4,

观察图象可知AB=AC=5,

:.BM=JAB?_AM?=3，：•BC=2BM=6,

SAABC=一BCZXM=12,

2

故选B.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据已知和图象能确定出AB、AC的长，以及点P运动到与BC垂直时最

短是解题的关键.

4、C

【分析】根据题意，易证△DEFs^CBF,同理可证根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即

可解答.

【详解】'：SAEFC=3S&DEF，

：.DF：FC=1：3（两个三角形等高，面积之比就是底边之比），

,:DE〃BC,

:.△DEFS&CBF,

；.DE：BC=DFtFC=1：3

同理△AOESZUBC,

SAADE：SAABC=1：9»

故选：C.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方.

5、C

【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断.

【详解】VZBAD=ZC,

ZB=ZB,

AABAC^ABDA.故A正确.

VBE平分NABC,

，NABE=NCBE,

/.△BFA^ABEC.故B正确.

.♦.NBFA=NBEC,

.".ZBFD=ZBEA,

.,.△BDF^>ABAE.故D正确.

而不能证明ABDFsaBEC,故c错误.

故选c.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定.识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角.

6、C

【解析】试题解析：因为A,B,D给出的角40,50,70可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰

三角形相似；故A,B,D错误；

C.有一个6()的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确.

故选C.

7、A

【分析】涨价和降价的百分率都为％,根据增长率的定义即可列出方程.

【详解】涨价和降价的百分率都为根据题意可列方程l(X)(l+x)(l—x)=96

故选A.

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列出方程.

8、C

【分析】根据切线的性质，得到直角三角形OAP,根据勾股定理求得PA的长；根据切线长定理，得AD=CD,CE=BE,

PA=PB,从而求解.

【详解】VPA.PB、DE分别切OO于A、B、C点，

.,.AD=CD,CE=BE,PA=PB,OA±AP.

在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP=JI()2_62=8,

.,.△PDE的周长为2Ap=1.

故选C.

【点睛】

此题综合运用了切线长定理和勾股定理.

9、D

【解析】当该函数是一次函数时，与x轴必有一个交点，此时a-l=0,即a=L

当该函数是二次函数时，由图象与x轴只有一^交点可知A=(-4>-•4(a—l)x2a=0,解得

al——1,a2=2.

综上所述，a=l或一1或2.

故选D.

10、A

【分析】先利用勾股定理判断AABC为直角三角形，且NBAC=90。，继而证明四边形AEOF为正方形，设。。的半径

为r,利用面积法求出r的值即可求得答案.

【详解】VAB=5,BC=13,CA=12,

.,,AB2+AC2=BC2,

.,.△ABC为直角三角形，且NBAC=90。，

为AABC内切圆，

.,.ZAFO=ZAEO=90°,且AE=AF,

二四边形AEOF为正方形，

设。。的半径为r,

.*.OE=OF=r,

••S四边形AEOF二12,

连接AO,BO,CO,

SAABC=SAAOB+SAAOC+SABOC,

・•・-(AB+AC+BC)r=-ABAC

229

r=2,

S四边彩AEOF=r2=4»

故选A.

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.

二、填空题(每小题3分，共24分)

3

11、-

5

【分析】首先由勾股定理求出另一直角边AC的长度，再利用锐角三角函数的定义求解.

【详解】•.,在RQABC中，ZC=90°,AB=10,BC=8,

­■•AC=VAB2-BC2=7102-82=6，

AC63

.■.cosAA=----=—一,

AB105

3

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边.

1

12、—

6

【解析】从数-2,-1,4中任取1个数记为m,再从余下，3个数中，任取一个数记为n.

2

根据题意画图如下：

共有12种情况，由题意可知正比例函数丫=1«的图象经过第三、第一象限，即可得到卜=的>1.由树状图可知符合mn

>1的情况共有2种，因此正比例函数丫=1«的图象经过第三、第一象限的概率是橙2=)1.

126

故答案为9.

6

13、8%

【分析】求出圆锥的底面圆周长，利用公式5='"?即可求出圆锥的侧面积.

2

【详解】解：圆锥的底面圆周长为2%x2=4万，

则圆锥的侧面积为,x4万x4=84.

2

故答案为8万.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，能将圆锥侧面展开是解题的关键，并熟悉相应的计算公式.

14、40cm

【解析】首先根据圆锥的底面直径求得圆锥的底面周长，然后根据底面周长等于展开扇形的弧长求得铁皮的半径即可.

【详解】•.•圆锥的底面直径为60cm,

二圆锥的底面周长为60兀011,

二扇形的弧长为607rcm,

设扇形的半径为r,

nl270^r

贝！I-------=60JT

解得：r=40cm,

故答案为：40cm.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面周长，利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求解.

15、④.

【解析】①；AB是。O的直径，弦CD_LAB,

-AD=CD>DG=CG,

:.NADF=NAED,

VZFAD=ZDAE（公共角），

.,.△ADF^AAED,故①正确；

cCF1

②T—=一，CF=2,

FD3

/.FD=6,

.,.CD=DF+CF=8,

.♦.CG=DG=4,

/.FG=CG-CF=2,故②正确；

③；AF=1,FG=2,

AG=y/—FG~=V5，

.AGy[5

.•.在Rt4AGD中，tan/ADG=——=—,

DG4

.•.tan/E=好，故③错误

4

④,:DF=DG+FG=6,AD=[AG?+DG?=后，

SAADF=-DF*AG=-x6x=3-^5,

22

VAADF^AAED,

S.ADF_AEY

°AEDAD

・3石_3

••SAAED=7>J5，

SADEF=SAAED-SAADF=4^5;

故④正确.

故答案为①②④.

16、2：1.

【解析】过点O作OEJ_AB于点E,延长EO交CD于点F,可得OF_LCD,由AB//CD,PJWAAOB^ADOC,根据

4RCip

相似三角形对应高的比等于相似比可得k=F，由此即可求得答案.

CDOF

【详解】如图，过点O作OE_LAB于点E,延长EO交CD于点F,

VAB//CD,.,.ZOFD=ZOEA=90°,即OF1,CD,

VAB//CD,.,.△AOBSADOC,

又•••OE_LAB,OF±CD,练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，

.ABOE2

••——,

CDOF3

故答案为：2：1.

【点睛】

本题考查了相似三角形的的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解本题的关键.

17、尤=1

【分析】利用因式分解法解得方程的两个根，即可得出另一个根的值.

【详解】x(x—2)=x—2,变形为：(x-2)(x-l)=0,

：・x—2=0或x—1=0,

解得：X=1；工2=2,

一元二次方程x(x—2)=x—2的另一个根为：X=l.

故答案为：x=l.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法.

18、8.1x10-'

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO,与较大数的科学记数法不同的是其所

使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】解：0.000081=8.1x10".

故答案为：8.1x10'.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axl(r,其中iw|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前

面的。的个数所决定.

三、解答题(共66分)

19、(1)A(0,4),C(3,1)；(2)详见解析

【分析】(1)直接从平面直角坐标系写出点A和点C的坐标即可；

(2)根据找出点A、B、C绕点C顺时针方向旋转90。后的对应点A\B\C的位置，然后顺次连接即可.

【详解】解：(1)由图可得，A(0,4)、C(3,1)；

(2)如图，△A'B'C即为所求.

【点睛】

本题考查了利用旋转变换作图和平面直角坐标系，根据旋转的性质准确找出对应点是解答本题的关键.

20、(1)证明见解析；(2)MD长为1.

【分析】(1)利用矩形性质，证明BMDN是平行四边形，再结合MNJ_BD,证明BMDN是菱形.

(2)利用BMDN是菱形，得BM=DM,设D0=x,则AM=8—x,在A/A45A/中使用勾股定理计算即可.

【详解】(1)证明：••,四边形ABCD是矩形，

，AD〃BC,ZA=90°,

/.ZMDO=ZNBO,ZDMO=ZBNO,

VBD的垂直平分线MN

，BO=DO,

\,在△DMO和△BNO中

ZMDO=ZNBO,BO=DO,ZMOD=ZNOB

/.△DMOgABNO(AAS),

/.OM=ON,

VOB=OD,

四边形BMDN是平行四边形,

VMN±BD

ABMDN是菱形

(2)•.•四边形BMDN是菱形，

，MB=MD,

设MD=x,则MB=DM=x,AM=(8-x)

在RtZ\AMB中，BM2=AM2+AB2

即x2=(8-x)2+42,

解得：x=l

答：MD长为1.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，菱形的性质，及勾股定理，熟练使用以上知识是解题的关键.

21、(1)y=x2-2x-3；(2)四边形EFCD是正方形，见解析

b

【分析】(1)抛物线与y轴相交于点C(0,-3),对称轴为直线x=l知c=-3,-5=1,据此可得答案；

(2)结论四边形EFCD是正方形.如图1中，连接CE与DF交于点K.求出E、F、D、C四点坐标，只要证明DF_LCE,

DF=CE,KC=KE,KF=KD即可证明.

【详解】(1)...抛物线与y轴相交于点c(o,-3),对称轴为直线x=l

.♦.c=-3,---=——=1,即b=-2,

2a2

...二次函数解析式为y=f-2六3；

(2)四边形EFCD是正方形.

理由如下：

如图，连接CE与DF交于点K.

Vy=x?-2尸3=(X-1)2-4,

••・顶点D(L4),

VC>E关于对称轴对称，C(0,-3),

，E(2,-3),

VA(-1,0),

设直线AE的解析式为y=kx+b,

—k+b-0

则

2k+b=-3

二直线AE的解析式为y=-x-l.

.,.F(L-2),

.*.CK=EK=1,FK=DK=1,

四边形EFCD是平行四边形，

XVCE±DF,CE=DF,

•••四边形EFCD是正方形.

【点睛】

本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法、一次函数的应用、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活

运用待定系数法确定函数解析式.

22、1.

【分析】如图，把(0,6)代入y=2x?+bx-6可得b值，根据二次函数解析式可得点C坐标，令y=0,解方程可求出

x的值，即可得点A、B的坐标，利用AABC的面积=,xABxOC,即可得答案.

2

【详解】如图,

,二次函数y=2x?+bx-6的图象经过点Q,-6),

:.-6=2x4+2b-6,

解得：b=-4,

•••抛物线的表达式为：y=2x2-4x-6；

.,.点C(0,-6)；

令y=0,贝！］2x2-4x-6=0,

解得：Xl=-1,X2=3,

...点A、B的坐标分别为：(-1,0)、(3,0),

，AB=4,OC=6,

△ABC的面积=—xABxOC=—x4x6=l.

【点睛】

本题考查二次函数图象上的点的坐标特征及图象与坐标轴的交点问题，分别令x=0,y=0,即可得出抛物线与坐标轴的

交点坐标；也考查了三角形的面积.

23、（1）证明见解析；（2）点P的坐标为（2,4）；⑶点Q的横坐标为：1+J万或1+逐.

【分析】（1）利用PB〃OC,即可证明三角形相似；

（2）由一次函数解析式，先求点A、C的坐标，由△AOCs^ABP,利用线段比求出BP,AB的值，从而可求出点P

的坐标即可；

Q

（3）把P坐标代入求出反比例函数，设Q点坐标为（n,根据与△AOC相似分两种情况，利用线段比

n

联立方程组求出n的值，即可确定出Q坐标.

【详解】（1）证明：；PBJ,x轴，OC_Lx轴，

/.OC/7PB,

.".△AOC^AABP；

(2)解：对于直线y=；x+3,

令x=0,得y=3；

令y=0,得x=-6；

AA(-6,0),C(0,4),

AOA=6,OC=3.

VAAOC^AABP,

.J"1：%

“SMBPIABJ)

*/SAABP=16,SAAOC=—OAxOC=—x6x3=9,

22

QQ

.°AAOC_7

.OCOA3363

・・---=----=—,即nn—=----二—,

PBAB4PBAB4

APB=4,AB=8,

AOB=2,

，点P的坐标为：(2,4).

(3)设反比例函数的解析式为：y=-,

X

把P(2,4)代入，得k=xy=2x4=8,

.1.

X

Q

点Q在双曲线上，可设点Q的坐标为：(n,-)(n>2),

n

贝!JBD=力-2,QD=-,

n

OAOC

①当ABaDs/iACO时，—

DU{JO

6_3

即口二R，

n

整理得：〃2—2〃-16=0,

解得：々=1+而或&=1一历；

-OAOC

②当ABODsaCAO时，-=—

QDDD

6_3

即g=K，

n

整理得：〃2-2〃-4=0，

解得：％=1+石，内小—石(舍去)，

综上①②所述，点Q的横坐标为：1+JI7或1+JL

【点睛】

此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，一次函数与反比

例函数的交点，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

24、(1)甲选择A部电影的概率为g；(2)甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率为

【解析】(1)甲可选择电影A或B,根据概率公式即可得甲选择A部电影的概率.

(2)用树状图表示甲、乙、丙3人选择电影的所有情况，由图可知总共有8种情况，甲、乙、丙3人选择同一部电影

的情况有2种，根据概率公式即可得出答案.

【详解】(1)•••甲可选择电影A或B,.•.甲选择A部电影的概率P=