解析函数y=(8x+2)2(8x+10)3的主要性质及其函数图像示意图

解析函数y=(8x+2)2(8x+10)3的主要性质主要内容：通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性及极限的性质，并通过函数导数知识求解函数的单调区间和凸凹区间，并简要画出函数y=(8x+2)2(8x+10)3示意图的过程与步骤。※.函数定义域根据函y=(8x+2)2(8x+10)3特征，可知函数自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）※.函数一阶导数：※.函数乘积求导法。∵y=(8x+2)2(8x+10)3，∴y'=16(8x+2)(8x+10)3+(8x+2)2*24*(8x+10)2，=(8x+2)(8x+10)2(128x+160+192x+48),=(8x+2)(8x+10)2(320x+208)※.取对数求导法。∵y=(8x+2)2(8x+10)3，取导数有：∴lny=ln(8x+2)2(8x+10)3,即：lny=2ln(8x+2)+3ln(8x+10),两边同时对x求导：eq\f(y',y)=eq\f(16,8x+2)+eq\f(24,8x+10),y'=y(eq\f(16,8x+2)+eq\f(24,8x+10)),y'=(8x+2)2(8x+10)3(eq\f(16,8x+2)+eq\f(24,8x+10)),y'=(8x+2)(8x+10)2[16(8x+10)+24(8x+2)],y'=(8x+2)(8x+10)2(320x+208).令y'=0，有8x+2=0，320x+208=0，即：x1=-eq\f(1,4)，x2=-eq\f(13,20).(1)当x∈(-∞，-eq\f(13,20))，(-eq\f(1,4),+∞)时，eq\f(dy,dx)>0,此时函数为增函数。(2)当x∈[-eq\f(13,20)，-eq\f(1,4)]时，eq\f(dy,dx)<0,此时函数为减函数。※.函数的凸凹性∵y'=(8x+2)(8x+10)2(320x+208)∴y''=8(8x+10)2(320x+208)+(8x+2)[16(8x+10)(320x+208)+320(8x+10)2]=8(8x+10)2(320x+208)+(8x+2)(8x+10)[16(320x+208)+320(8x+10)]=(8x+10)[8(8x+10)(320x+208)+16(8x+2)(320x+208)+320(8x+2)(8x+10)]=(8x+10){(320x+208)[8(8x+10)+16(8x+2)]+320(8x+2)(8x+10)}=(8x+10)(81920x2+106496x+29696)=1024(8x+10)(80x2+104x+29).令y''=0，则8x+10=0，或80x2+104x+29=0，即：x3=-eq\f(5,4)≈-1.25,x4=eq\f(-13-2\r(6),20)≈-0.89,x5=eq\f(-13+2\r(6),20)≈-0.40,此时函数的凸凹性性及凸凹区间为：(1)当x∈(-∞,-1.25),(-0.89,-0.405)时，y''<0,此时函数y为凸函数。(2)当x∈[-1.25,-0.89],[-0.405,+∞)时，y''>0,此时函数y为凹函数。.函数的极限lim(x→-∞)(8x+2)2(8x+10)3=-∞；lim(x→+∞)(8x+2)2(8x+10)3=+∞；lim(x→0)(8x+2)2(8x+10)3=22*103。.函数的五点图x-2.25-1.25-0.89-0.65-0.41-0.250.25(8x+2)22566426.6210.241.54016(8x+10)3-512022.92110.59308.855121728y-1310720610.051132.44475.20027648※.函数的示意图 y(-0.65,1132.44)(-0.89,610.05)(-0.405,475.2)