2024年湖南省湖南师大附中教育集团中考数学三检试卷

2024年湖南师大附中教育集团中考数学三检试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如所示4个图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（）A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣33．（3分）在双曲线的任意一支上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣14．（3分）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：移植的棵数a1003006001000700015000成活的棵数b84279505847633713581成活的频率0.840.930.8420.8470.9050.905根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（）A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.85．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内得到与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（）A． B． C． D．7．（3分）已知反比例函数的图象上有点A（2，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3），则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y28．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为（）A．18 B．17 C．16 D．159．（3分）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（）A．x2＝1980 B．x（x+1）＝1980 C．x（x﹣1）＝1980 D．x（x﹣1）＝198010．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC＝，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，则a+b＝．12．（3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝120°，求∠A的度数为度．13．（3分）已知扇形的半径为2cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是cm．14．（3分）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为．15．（3分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．16．（3分）如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）17．（6分）计算：．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于A（m，6），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积．19．（6分）如图，灯塔B位于港口A的北偏东58°方向，且A，B之间的距离为30km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为10km．一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上，灯塔B到直线AD的距离为BE．（1）求BE的长；（2）求DE的长（结果精确到0.1）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）20．（8分）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）求证：△ADC∽△CDB；（2）若AD＝2，BD＝8，求CD．22．（9分）如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F．（1）求∠OCB的度数；（2）若EF＝3，求⊙O直径的长．23．（9分）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈端午节前在超市购买粽子的数量（单位：个）和付款金额（单位：元）．豆沙粽数量肉粽数量付款金额小欢妈妈2030270小乐妈妈3020230（1）求豆沙粽和肉粽的单价；（2）为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元，求m的值．25．（10分）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．参考答案与解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如所示4个图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是中心对称图形，故此选项合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是（）A．直线x＝1 B．直线x＝3 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝﹣3【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+3的对称轴是直线x＝1．故选：A．3．（3分）在双曲线的任意一支上，y都随x的增大而减小，则k的值可以是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣1【解答】解：∵双曲线的每个分支上，y都随x的增大而减小，∴k＞0，选项中为正数的只有k＝2，故选：C．4．（3分）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：移植的棵数a1003006001000700015000成活的棵数b84279505847633713581成活的频率0.840.930.8420.8470.9050.905根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（）A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.9左右，故估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9．故选：C．5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内得到与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（）A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）【解答】解：作AH⊥x轴于H，CG⊥x轴于G，∴△OCG∽△OAH，∴，∵A（4，3），∴OH＝4，AH＝3，∵△BOA∽△DOC，且OA：OC＝3，∴OG＝，CG＝1，∴C（﹣，﹣1），故选：B．6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：∵＝，∴＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故选：A．7．（3分）已知反比例函数的图象上有点A（2，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3），则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2【解答】解：函数图象如下：点A、B在y轴右侧且y随x的增大而增大，故y1＞y2；点C在y轴的左侧，函数值y为正，故y3＞y1＞y2，故选：D．8．（3分）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为（）A．18 B．17 C．16 D．15【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，∴AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC，∵AD＝3，BE＝2，CF＝4，∴AF＝3，BD＝2，CE＝4，∴BC＝BE+EC＝6，AB＝AD+BD＝5，AC＝AF+FC＝7，∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝18．故选：A．9．（3分）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（）A．x2＝1980 B．x（x+1）＝1980 C．x（x﹣1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人，∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，故选：D．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA＝OB＝3，点C为平面内一动点，BC＝，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM：MA＝1：2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）【解答】解：∵点C为平面内一动点，BD＝，∴点C在以点B为圆心，为半径的OB上，在x轴的负半轴上取点D（﹣，0），连接BD，分别过C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足为F、E，∵OA＝OB＝，∴AD＝OD+OA＝，∴＝，∵CM：MA＝1：2，∴＝＝，∵∠OAM＝∠DAC，∴△OAM∽△DAC，∴＝＝，∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可知当D，B，C三点共线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，∵OA＝OB＝，OD＝，∴BD＝＝，∴CD＝BC+BD＝9，∵＝，∴OM＝6，∵y轴⊥x轴，CF⊥OA，∴∠DOB＝∠DFC＝90°，∵∠BDO＝∠CDF，∴△BDO∽△CDF，∴＝，即＝，解得CF＝，同理可得，△AEM∽△AFC，∴＝＝，即＝，解得ME＝，∴OE＝＝，∴当线段OM取最大值时，点M的坐标是（，），故选D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，则a+b＝﹣1．【解答】解：∵点A（﹣2，b）与B（a，3）点关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣1．故答案为：﹣1．12．（3分）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠C＝120°，求∠A的度数为60度．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠C+∠A＝180°，∵∠C＝120°，∴∠A＝180°﹣120°＝60°，故答案为：60．13．（3分）已知扇形的半径为2cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是πcm．【解答】解：扇形的弧长＝＝πcm．故答案为．14．（3分）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为九．【解答】解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，∵∠ADB＝20°，∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，而360°÷40°＝9，∴这个正多边形为正九边形，故答案为：九．15．（3分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．【解答】解：如图，连接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，则BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案为：．16．（3分）如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为8．【解答】解：设：A、B点的坐标分别是A（，m）、B（，m），则：△ABC的面积＝•AB•yA＝•（﹣）•m＝4，则k1﹣k2＝8．故答案为8．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分）17．（6分）计算：．【解答】解：原式＝×+4+﹣1﹣4＝．18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于A（m，6），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积．【解答】解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数和一次函数的图象上，∴．解得k＝﹣12，b＝3，∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为．答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；（2）∵点A（m，6）在反比例函数的图象上，∴，解得m＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，6），把x＝0代入得y＝3，∴点C的坐标为（0，3），∴OC＝3，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC'；＝＝9．19．（6分）如图，灯塔B位于港口A的北偏东58°方向，且A，B之间的距离为30km，灯塔C位于灯塔B的正东方向，且B，C之间的距离为10km．一艘轮船从港口A出发，沿正南方向航行到达D处，测得灯塔C在北偏东37°方向上，灯塔B到直线AD的距离为BE．（1）求BE的长；（2）求DE的长（结果精确到0.1）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：（1）由题意得，∠E＝90°，∵AB＝30km，∠BAE＝58°，∴BE＝AB⋅sin58°≈30×0.85＝25.5（km）．（2）∵BC＝10km，∴CE＝BC+BE＝35.5（km），∴DE＝CE÷tan37°≈35.5÷0.75≈47.3（km）．答：BE的长为25.5km，DE的长为47.3km．20．（8分）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有50名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为72度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．【解答】解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；故答案为：50，72；（2）B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），补全条形统计图如图所示：（3）名，答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；（4）列表如下：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率＝．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．（1）求证：△ADC∽△CDB；（2）若AD＝2，BD＝8，求CD．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∠ACB＝90°，∴∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠A＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB．（2）∵△ADC∽△CDB，，∴CD2＝AD•BD，又∵AD＝2，BD＝8，∴CD＝16，则CD＝4．22．（9分）如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，∠ABC＝2∠BCP，点E是的中点，弦CE，BD相交于点F．（1）求∠OCB的度数；（2）若EF＝3，求⊙O直径的长．【解答】解：（1）∵PC与⊙O相切于点C，∴OC⊥PC，∴∠OCB+∠BCP＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠OCB＝2∠BCP，∴3∠BCP＝90°，∴∠BCP＝30°，∴∠OCB＝60°．（2）连接DE，∵CD是直径，∴∠DEC＝90°，∵点E是的中点，∴，∴∠DCE＝∠FDE＝∠ECB＝∠DCB＝30°，∵∠E＝90°，EF＝3，∠FDE＝30°，∴DE＝FE＝3，∵∠E＝90°，∠DCE＝30°，∴，∴⊙O的直径的长为．23．（9分）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈端午节前在超市购买粽子的数量（单位：个）和付款金额（单位：元）．豆沙粽数量肉粽数量付款金额小欢妈妈2030270小乐妈妈3020230（1）求豆沙粽和肉粽的单价；（2）为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为（80﹣4m）包，（4m+8）包，A，B两种包装的销售总额为17280元，求m的值．【解答】解：（1）设豆沙棕的单价为a元，肉粽的单价为b元，由题意可得，，解得：答：豆沙粽的单价为3元，肉粽的单价为7元；（2）由题意可得，[3m+7（40﹣m）]×（80﹣4m）+[3（40﹣m）+7m]×（4m+8）