中考数学总复习《几何计算题》专项测试卷(带有答案)

第页中考数学总复习《几何计算题》专项测试卷(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________类型一求线段长典例精讲例如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为______________________________________．【思维教练】本题的关键条件是∠A＝2∠CBE，遇到二倍角，考虑构造等腰三角形，但∠A和∠CBE不在一个三角形中，故先过点C作CH∥AB交BD延长线于点H，将∠A和∠CBE转移到△CBH中，再延长BH使BD＝DF，得到等腰△CBF.例题图满分技法在几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下添加辅助线的方法进行求解：1.作二倍角的平分线，构造一个等腰三角形．如图①，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，△DBC是等腰三角形．2.延长二倍角的一边，构造两个等腰三角形．如图②，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，可延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形．3.利用等腰三角形再构造一个二倍角，与原二倍角构造在一个新的等腰三角形中．如图③，在△ABC中，∠B＝2∠C，可在BC边上取一点D，使DA＝DC，连接AD，则△ABD，△ADC都是等腰三角形．针对演练1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，延长CE交AB于点F，则BF的长为________．第1题图2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为BC的中点，将线段CD绕点D按顺时针方向旋转90°得到线段ED，连接CE并延长交AB于点F，则线段EF的长为________.第2题图3.如图，在△ABC中，点D、E在BC上，∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝45°，BD＝2，EC＝3，则BC的长为________．第3题图类型二线段最值问题(含取值范围)典例精讲例如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝6，BD⊥CD于点D，则线段AC长度的最大值为________．【思维教练】由BC＝6，BD⊥CD，根据“定弦定角模型”可知点D在以BC为直径的圆上运动；由AB＝AD，∠BAD＝60°可知△ABD是等边三角形，即点A可看作是点D绕点B逆时针旋转60°而来，从而点A的轨迹是将点D的运动轨迹逆时针旋转60°，要求AC的最大值，即是求点圆最值．例题图针对演练1.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，BD垂直平分AC，且AC＝4，BD＝6，点M在BD上，点N在AD上，连接AM，MN，则AM＋MN的最小值为________．第1题图2.如图，四边形ABCD中，AB＝1，CD＝4，M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN的取值范围为________．第2题图类型三面积问题典例精讲例在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是________.【思维教练】要求正方形的内接三角形面积最大和面积最小时的边长，由题意可知正三角形必有两顶点在正方形的一组对边上，可过另一顶点作正三角形的高，再结合正方形中存在90°角，结合四点共圆即可求解．针对演练1.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，点E、F分别是AD、CD的中点，若四边形ABCD的面积为4eq\r(3)，则△BEF的面积为________．第1题图2.如图，⊙O的半径为2，正方形ABCD内接于⊙O，点P是⊙O上一点，连接AP、BP，则△ABP面积的最大值为________．第2题图类型四轨迹问题典例精讲例如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是________．【思维教练】在直角三角形DEF中，∠DFE＝30°，∴在整个运动过程中∠EDF始终等于60°，即DE可看作DF逆时针旋转60°，然后缩短为原来的eq\f(1,2)，∴点E的运动轨迹也就是点F的运动轨迹逆时针旋转60°后缩短为原来的eq\f(1,2).例题图针对演练1.如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝eq\r(3)，点D在AB上运动，将△BCD沿CD折叠，得到点B的对应点B′，E为B′C的中点，则点D从点B运动到点A的过程中，点E运动的路径长为________．第1题图2.如图，在▱ABCD中，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连接BE，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，则eq\f(m,n)＝________．第2题图参考答案类型一求线段长典例精讲例4eq\r(5)【解析】如解图，延长BD到点F，使得DF＝BD,∵CD⊥BF，∴△BCF是等腰三角形，∴BC＝CF.过点C作CH∥AB，交BF于点H，∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，∴EH＝CE，∵EA＝EB，∴AC＝BH，∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，∴HF＝HC，∵BD＝8，AC＝11，∴DH＝BH－BD＝AC－BD＝3，∴HC＝HF＝8－3＝5，由勾股定理可得，在Rt△CDH中，CD＝4，在Rt△BCD中，BC＝4eq\r(5).例题解图针对演练1.eq\f(4\r(2),3)【解析】方法1：如解图①，过点D作DG∥AB交CF于点G，∵D是BC的中点，∴CD＝2，∴在Rt△ACD中，AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝2eq\r(5).∵∠ECD＋∠CDE＝∠CDE＋∠CAD＝90°，∴∠ECD＝∠CAD.∵∠CED＝∠ACD＝90°，∴△CED∽△ACD，∴eq\f(CE,AC)＝eq\f(DE,CD)＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(2,2\r(5))，∴CE＝eq\f(4\r(5),5)，DE＝eq\f(2\r(5),5)，∴AE＝AD－DE＝eq\f(8\r(5),5)，∴eq\f(DE,AE)＝eq\f(1,4).∵DG∥AB，∴△DEG∽△AEF，∴eq\f(AF,DG)＝eq\f(AE,DE)＝4，即AF＝4DG.∵DG∥BF，D是BC的中点，∴BF＝2DG，∴AF＝2BF，∴BF＝eq\f(1,3)AB＝eq\f(4\r(2),3).第1题解图①一题多解方法2：如解图②，延长AD至点G，使得DG＝ED，连接BG，∵ED＝GD，∠EDC＝∠GDB，CD＝BD，∴△CED≌△BGD，∴∠ECD＝∠GBD，∴CF∥BG，即EF∥BG，∴△AEF∽△AGB，∴eq\f(AF,AB)＝eq\f(AE,AG)，由方法1，得eq\f(DE,AE)＝eq\f(1,4)，即AE＝4DE，∴AE＝2EG，∴eq\f(AE,AG)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AF,AB)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BF,AB)＝eq\f(1,3)，∴BF＝eq\f(1,3)AB＝eq\f(4\r(2),3).第1题解图②方法3：如解图③，过点B作BG∥AD交CF的延长线于点G，则△AEF∽△BGF，∵D是BC的中点，DE∥BG，∴BG＝2DE，由方法1，eq\f(DE,AE)＝eq\f(1,4)，得即AE＝4DE，∴AE＝2BG，∴eq\f(AF,BF)＝eq\f(AE,BG)＝2，∴BF＝eq\f(1,3)AB＝eq\f(4\r(2),3).第1题解图③2.eq\f(3\r(2),14)【解析】如解图，延长DE交AB于点G，由题意得，DG∥AC，∵点D为BC的中点，AC＝4，∴DG＝eq\f(1,2)AC＝2.又∵DE＝DC＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(3,2)，∴EG＝DG－DE＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2).在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE＝eq\r(2)CD＝eq\f(3\r(2),2).∵DG∥AC，∴△EFG∽△CFA，∴eq\f(EG,CA)＝eq\f(EF,CF)，即eq\f(\f(1,2),4)＝eq\f(EF,EF＋\f(3\r(2),2))，解得EF＝eq\f(3\r(2),14)，∴EF的长为eq\f(3\r(2),14).第2题解图3.6【解析】如解图，取BE的中点M、DC的中点N，连接AM、AN，则AM＝BM，AN＝CN，∴∠BAM＝∠B，∠CAN＝∠C.∵∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝45°，∴∠BAC＝135°，∴∠B＋∠C＝45°，∴∠BAM＋∠CAN＝45°，∴∠MAN＝90°，设DE＝x，则BE＝x＋2，DC＝x＋3，AM＝eq\f(1,2)(x＋2)，AN＝eq\f(1,2)(x＋3)，∴MN＝ME＋EN＝eq\f(1,2)(x＋2)＋eq\f(1,2)(x＋3)－x＝eq\f(5,2)，在Rt△AMN中，AM2＋AN2＝MN2.∴(x＋2)2＋(x＋3)2＝52，解得x＝1或x＝－6(舍去)，∴BC＝2＋1＋3＝6.第3题解图类型二线段最值问题(含取值范围)典例精讲例3＋3eq\r(3)【解析】如解图，∵BC＝6，∠BDC＝90°，∴点D在以BC中点O为圆心，3为半径的圆上．∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BA＝BD，∴点A在以O′为圆心，3为半径的圆上，且∠O′BC＝60°，∴O′B＝BO＝3.∵∠OCO′＝30°，∴CO′＝3eq\r(3)，∴CA的最大值为3＋3eq\r(3).例题解图针对演练1.eq\f(8\r(5),5)【解析】如解图，连接CM、CN，CN交BD于点M′，设AC、BD相交于点O，∵BD垂直平分AC，∴AM＝CM，OA＝OC＝2.又∵∠ABC＝90°，∴OB＝eq\f(1,2)AC＝2，∴OD＝4，∴AM＋MN＝CM＋MN，∴当点C、M、N三点共线，且CN⊥AD时，CM＋MN的值最小，即AM＋MN的值最小，为CN的值．在Rt△AOD中，AD＝eq\r(OA2＋OD2)＝2eq\r(5)，易证△ANC∽△AOD，则eq\f(CN,DO)＝eq\f(AC,AD)，即eq\f(CN,4)＝eq\f(4,2\r(5))，∴CN＝eq\f(8\r(5),5)，∴AM＋MN的最小值为eq\f(8\r(5),5).第1题解图2.eq\f(3,2)＜MN≤eq\f(5,2)【解析】如解图，连接AC，取AC的中点H，连接MH、NH，∵M、H分别是AD、AC的中点，∴MH＝eq\f(1,2)CD＝2，同理可得，NH＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2).在△MHN中，MH－NH＜MN＜MH＋NH，即eq\f(3,2)＜MN＜eq\f(5,2).当点H在MN上时，MN＝MH＋NH＝eq\f(5,2)，∴eq\f(3,2)＜MN≤eq\f(5,2).第2题解图类型三面积问题典例精讲例2eq\r(6)－2eq\r(2)，2【解析】如解图，设△GEF为正方形ABCD的一个内接正三角形，作正△GEF的高EK，连接KA，KD，∵∠EKG＝∠EDG＝90°，∴E、K、D、G四点共圆，∴∠KDE＝∠KGE＝60°，同理∠KAE＝60°，∴△KAD是一个正三角形，则K必为一个定点．∵正三角形面积取决于它的边长，∴当FG⊥AB，边长FG最小，面积也最小，此时边长等于正方形边长为2.当FG过B点时，即F′与点B重合时，边长最大，面积也最大，此时作KH⊥BC于点H，由等边三角形的性质可知，K为FG的中点，∵KH∥CD，∴KH为△F′CG′的中位线，∴CG′＝2HK＝2(EH－EK)＝2×(2－2×sin60°)＝4－2eq\r(3)，∴F′G′＝eq\r(BC2＋CG′2)＝eq\r(22＋（4－2\r(3)）2)＝eq\r(（2\r(6)－2\r(2)）2)＝2eq\r(6)－2eq\r(2).例题解图针对演练1.eq\f(3\r(3),2)【解析】如解图，连接BD，在△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).∵四边形ABCD的面积为4eq\r(3)，∴S△ADC＝2eq\r(3).∵E为AD的中点，F为DC的中点，∴S△ABE＝S△DBE，S△CFB＝S△DFB，∴S四边形EBFD＝S△EBD＋S△FBD＝eq\f(1,2)S四边形ABCD＝2eq\r(3)，∵E、F分别为AD、CD的中点，∴EF＝eq\f(1,2)AC，EF∥AC，∴eq\f(S△DEF,S△DAC)＝eq\f(1,4).∴S△DEF＝eq\f(1,4)S△ADC＝eq\f(1,4)×2eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，∴S△BEF＝S四边形EBFD－S△DEF＝2eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).第1题解图2.2eq\r(2)＋2【解析】如解图，过点P作PH⊥AB于点H，过点O作OH′⊥AB于点H′，连接OP，AC，则PH≤OP＋OH′，当点H′、O、P三点共线，PH最大，最大值为OH′＋OP的值．∵正方形ABCD内接于⊙O，∴点O在AC上，OA＝2，∠BAC＝45°，∴AH′＝OH′＝OA·sin45°＝eq\r(2)，∴OP＋OH′＝2＋eq\r(2)，AB＝2AH′＝2eq\r(2).∴PH的最大值为2＋eq\r(2).∴S△ABP的最大值为eq\f(1,2)AB·PH＝eq\r(2)PH＝2eq\r(2)＋2，∴当PH最大时，△ABP的面积最大，最大值为2eq\r(2)＋2.第2题解图类型四轨迹问题典例精讲例eq\f(4\r(3),3)【解析】如解图，点E的运动路径是线段EE′的长．∵AB＝4，∠DCA＝30°，∴BC＝eq\f(4\r(3),3)，当点F与点A重合时，在Rt△ADE中，AD＝eq\f(4\r(3),3)，∠DAE＝30°，∠ADE＝60°，∴DE＝eq\f(2\r(3),3)，∠CDE＝30°，当F与点C重合时，∠E′DC＝60°，∴∠EDE′＝90°，∠DE′E＝30°，在Rt△DEE′中，EE′＝eq\f(4\r(3),3)，∴点E的运动路径长是eq\f(4\r(3),3).例题解图针对演练1.eq\f(π,2)【