福建省宁德市第四中学高二数学文月考试题含解析

福建省宁德市第四中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知ξ～N（1，62），且P（﹣2≤ξ≤1）=0.4，则P（ξ＞4）等于（）A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8参考答案：A【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】利用对称性得出P（1≤ξ≤4），从而得出P（ξ＞4）．【解答】解：∵ξ～N（1，62），∴P（1≤ξ≤4）=P（﹣2≤ξ≤1）=0.4，∴P（ξ＞4）=P（ξ＞1）﹣P（1≤ξ≤4）=0.5﹣0.4=0.1．故选A．【点评】本题考查了正态分布的对称性特点，属于基础题．2.下列命题中错误的是（）A．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面βB．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面βC．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ参考答案：B【考点】平面与平面垂直的性质．【分析】如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．【解答】解：如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．故选B【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的性质．解题的关键是对平面与平面垂直的性质及判定定理熟练记忆．3.从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取两个数字，一共可以组成没有重复数字的五位偶数的个数为()A．2880

B．7200

C．1440

D．60参考答案：A试题分析：先取后排，＝2880考点：排列组合4.若函数的图象总在直线的上方，则实数a的取值范围是（

）A．(－∞,0)

B．(0,+∞)

C．(1,+∞)

D．(－∞,1)参考答案：D由题意得在区间上恒成立，，令函数所以函数在区间（0，1）上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，选D.

5.若，则P，Q的大小关系为A、 B、 C、 D、参考答案：A6.已知倾斜角为的直线经过，两点，则（

）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.参考答案：A7.椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则到F2的距离为（

）.A． B． C． D．4参考答案：C略8.如图是某工厂对一批新产品长度（单位：mm）检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为(

)A．20 B．25 C．22.5 D．22.75参考答案：C【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．【解答】解：根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5，0.3+0.08×5=0.7＞0.5；∴中位数应在20～25内，设中位数为x，则0.3+（x﹣20）×0.08=0.5，解得x=22.5；∴这批产品的中位数是22.5．故选：C．【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数的应用问题，是基础题目．9.已知向量，且，那么实数等于(

)A．3

B．

C．9

D．参考答案：D10.某博物馆一周(七天)内要接待三所学校学生参观，每天只安排一所学校，其中甲学校要连续参观两天，其余学校均参观一天，则不同的安排方法有(

)

A．210种

B．50种

C．60种

D．120种参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，若则实数x=

．参考答案：4【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用．【分析】利用向量垂直的性质求解．【解答】解：∵，，∴=6﹣2﹣x=0，解得x=4．∴实数x的值为4．故答案为：4．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．12.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.参考答案：13.设是椭圆的左右焦点，若该椭圆上一点满足，且以原点为圆心，以为半径的圆与直线有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是______________．参考答案：略14.已知命题p：方程表示的曲线为椭圆；命题q：方程表示的曲线为双曲线；若p或q为真，p且q为假，则实数的取值范围为.参考答案：若p真，则，得m>2；若q真，则(m－1)(m－3)<0，得1<m<3；由题意知，p、q一真一假.若p真q假，则，得m≥3；若p假q真，则，得1<m≤2，综上，m∈(1,2]∪[3，＋∞)15.如果a＞0，那么a++2的最小值是．参考答案：4【考点】基本不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，∴a++2≥2+2=4，当且仅当a=1时取等号．∴a++2的最小值是4．故答案为：4．【点评】考查了基本不等式的性质，属于基础题．16.小华的妈妈经营一家饮品店，经常为进货数量而烦恼，于是小华帮妈妈进行统计，其中某种饮料的日销售量y（瓶）与当天的气温x（℃）的几组对照数据如下：x1015202530y110125160185220

根据上表得回归方程，其中，据此模型估计当气温为35℃时，该饮料的日销售量为_____________瓶.参考答案：244略17.函数(xR),若,则的值为

参考答案：0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若的展开式中前三项系数成等差数列，求：（1）展开式中含的一次幂的项；（2）展开式中所有的有理项（3）展开式中系数最大的项参考答案：（1）（2）T1＝；T5＝；T9＝（3）略19.（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，△BF1F2是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点F2的直线l，交椭圆于两点P、Q，使得PA∥QF1，如果存在，试求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由△BF1F2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，e==，即可求得椭圆C的标准方程及离心率；（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，利用韦达定理求得y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，由向量的共线定理求得y2=﹣2y1，即可求得y1和y2，则即可求得m的值，即可求得直线方程；解法2：当直线l⊥x时，=1≠，则PA∥QF1不成立，不符合题意，设直线L的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的共线定理即可求得x1和x2，即可求得k的值，求得直线方程．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：+=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由△BF1F2是边长为2的正三角形，a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，…（2分）∴椭圆C的标准方程为，…椭圆的离心率e==；…（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）．显然直线l的斜率不为零，设直线l的方程为x=my+1，则，…整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，△=36m2+36（3m2+4）=144m2+144＞0，由韦达定理可知：y1+y2=﹣，y1?y2=﹣，…（7分）则=（x1﹣2，y1）=（my1﹣1，y1）=（x2+1，y2）=（my2+2，y2），…（8分）若PA∥QF1，则（my1﹣1）y2=（my2+2）y1，即y2=﹣2y1，…（9分）解得：，则y1?y2=﹣，…（10分）故=，解得：5m2=4，即m=±，…（11分）故l的方程为x=y+1或x=﹣y+1，即x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0

…（12分）解法2：由（Ⅰ）得F1（﹣1，0），F2（1，0），A（2，0），直线l⊥x时，=1≠，则PA∥QF1不成立，不符合题意．…可设直线L的方程为y=k（x﹣1）..…（6分），消去y，可得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…（7分）则△=144（k2+1）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=﹣，①x1?x2=，②．…（8分）=（x1﹣2，y1），=（x2+1，y2）．若PA∥QF1，则∥，则k（x1﹣2）（x2﹣1）﹣k（x2+1）（x1﹣1）=0．化简得2x1+x2﹣3=0③．…（9分）联立①③可得x1=，x2=，…（10分）代入②可以解得：k=±．…（11分）故l的方程为x﹣2y﹣=0或+2y﹣=0．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．20.（本小题满分14分）已知函数．

（Ⅰ）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数在区间上的最大值；

（Ⅲ）若函数有两个不同的零点，求证：．参考答案：（Ⅰ）因为点在曲线上，所以，解得．因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为．

…4分（Ⅱ）因为．①当时，，，所以函数在上单调递增，则．②当，即时，，，，所以函数在上单调递增，则．

③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则．

……7分④当，即时，，，函数在上单调递减，则．

………9分综上，①当时，；②当时，；③当时，．

…………10分（3）不妨设．因为，所以，，可得，．要证明，即证明，也就是．因为，所以即证明，即．

…………12分令，则，于是．令（），则．故函数在上是增函数，所以，即成立．所以原不等式成立．

…14分21.计算：，；所以；又计算：，，；所以，．（1）分析以上结论，试写出一个一般性的命题；（2）判断该命题的真假。若为真，请用分析法给出证明；若为假，请说明理由．参考答案：（1）；（2）真命题【分析】（1）根据所给结论，可写出一个一般性的命题。（2）利用综合法证明命题是一个真命题。【详解】（1）一般性的命题：是正整数，则（2）命题是真命题。因为因为所以.【点睛】本题考查简易逻辑，推理和证明，属于一般题。22.(本题满分14分)已知函数．(1)讨论函数在定义域内的极值点的个数；(2)若函数在处取得极值，且对,恒成立，求实数的取值范围；(3)当且时，试比较的大小。参考答案：解：（1）函数的定义域为且------------1分?当时，对恒有在上是单调递减函数，无极值点.--------------------------2分?当时，由得当变化时，与的变化情况如下表-0+极小值综上可知，当时，函数没有极值点；当时，函数有一个极小值点，无极大值点----------------------------------------------------------------