2022年吉林省长春市于家乡中学高二数学文联考试题含解析

2022年吉林省长春市于家乡中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆和双曲线的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么|PF1|?|PF2|的值是（）A．m﹣a B．m2﹣a2 C． D．参考答案：B【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】不妨设P在双曲线的右支上，则|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|﹣|PF2|=2a，由此即可求得|PF1|?|PF2|的值．【解答】解：由题意，不妨设P在双曲线的右支上，则|PF1|+|PF2|=2m，|PF1|﹣|PF2|=2a∴|PF1|=m+a，|PF2|=m﹣a∴|PF1|?|PF2|=m2﹣a2故选B．【点评】本题考查椭圆、双曲线的标准方程，考查椭圆、双曲线的定义，属于基础题．2.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在参考答案：B【考点】双曲线的应用．【分析】过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，先看直线AB斜率不存在时，求得横坐标之和等于2，不符合题意；进而设直线AB为y=k（x﹣1）与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出A、B两点的横坐标之和，进而求得k．得出结论．【解答】解：过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x﹣1）代入抛物线y2=4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0∵A、B两点的横坐标之和等于5，∴，则这样的直线有且仅有两条，故选B．3.数列的前n项和为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D4.已知是虚数单位,则（▲）A．

B.

C.

D.参考答案：B略5.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（

）A.

B.

C.10

D.5参考答案：A6.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理先求出sinB的值，再由三角形的边角关系确定∠B的范围，进而利用sin2B+cos2B=1求解．【解答】解：根据正弦定理可得，，解得，又∵b＜a，∴B＜A，故B为锐角，∴，故选D．【点评】正弦定理可把边的关系转化为角的关系，进一步可以利用三角函数的变换，注意利用三角形的边角关系确定所求角的范围．7.用“辗转相除法”求得和的最大公约数是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D8.4种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数是A.12 B.10 C.8 D.6参考答案：A【分析】先求出所有的排法，再排除甲乙相邻的排法，即得结果．【详解】解：4种不同产品排成一排所有的排法共有种，其中甲、乙两种产品相邻的排法有种，故甲、乙两种产品之间至少有1种其它产品，则不同排列方法的种数是排法有种．故选A．【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，相邻的问题用捆绑法，属于中档题．9.函数的导数是(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：A略10.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：1参考答案：C【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若不等式＜对于任意的正整数n恒成立，则实数a的取值范围是

.参考答案：略12.已知二面角α－AB－β为120°，CDα，CD⊥AB，EFβ，EF与AB成30°角，则异面直线CD与EF所成角的余弦值为

参考答案：13.已知抛物线y2=2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②AM⊥BM；③A′F∥BM；④A′F与AM的交点在y轴上；⑤AB′与A′B交于原点．其中真命题的是

．（写出所有真命题的序号）参考答案：①②③④⑤【考点】抛物线的简单性质．【分析】①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A'F=AF，B'F=BF，从而由相等的角，由此可判断A'F⊥B'F；②取AB中点C，利用中位线即抛物线的定义可得CM=，从而AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，从而可得A′F⊥AM，根据AM⊥BM，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA'为矩形，则可得结论；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB'A'为矩形，则可得结论．【解答】解：①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A'A=AF，B'B=BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A'F⊥B'F；②取AB中点C，则CM=，∴AM⊥BM；③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A'F∥BM；④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A'F与AM的交点在y轴上；⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB'A'为矩形，则可知AB'与A'B交于原点故答案为①②③④⑤．14.已知是奇函数，当时，，（），当时，的最小值为1，则a的值等于

．参考答案：1由于当时，f(x)的最小值为1，且函数y=f(x)是奇函数，所以当时，有最大值为-1，从而由，所以有；故答案为：1．

15.下列五个命题①任何两个变量都具有相关关系

②圆的周长与该圆的半径具有相关关系③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究正确命题的序号为____________．参考答案：③④⑤16.若函数，则=

参考答案：17.函数的单调递增区间是________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知命题：方程有两个不相等的负实根，命题：恒成立；若或为真，且为假，求实数的取值范围．参考答案：解：由命题可以得到：

∴由命题可以得到：∴∵或为真，且为假

∴有且仅有一个为真所以，的取值范围为或．

略19.（2016秋?湛江期末）如图边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，（Ⅰ）证明：A1N∥平面AMD1；（Ⅱ）求二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1N∥平面AMD1．（Ⅱ）求出平面ADD1的一个法向量和平面AMD1的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣AD1﹣D的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1为轴建立如图直角坐标系．…（1分）则A1（2，0，2），N（1，2，2），M（0，2，1），A（2，0，0），D1（0，0，2）．．…（2分）设平面AMD1的法向量是．则．…（3分）取x=1，得．…（4分）所以，即．…又A1N?平面AMD1．∴A1N∥平面AMD1．…（6分）解：（Ⅱ）平面ADD1的一个法向量为，…（8分）平面AMD1的法向量是．由（Ⅰ）得．…（11分）由图形得二面角M﹣AD1﹣D的平面角是锐角，所以二面角M﹣AD1﹣D的余弦值是．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.（12分）已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．（1）若a＝2，求f(x)的单调区间和极值；（2）求f(x)在[1，e]上的最小值．参考答案：（1）增区间；减区间；21.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱中，分别是的中点．

(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)若，，且，求平面与底面所成的锐二面角的大小．[注：侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱]

参考答案：解：（Ⅰ）（法一）取边的中点，连接

……………1分∵为的中点，∴∥且=

同理可得：

∥且=…………2分又∵在直三棱柱中，∥且=∴四边形为平行四边形

…………1分∴∥

……………1分又∵平面,且平面∴∥平面

………1分（法二）取边的中点

………1分∵分别为,的中点∴∥,∥

………2分[∴平面∥平面

………2分∴∥平面

………1分略22.（本小题满分14分）已知椭圆过点，其焦距为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为.当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 图（1）

图（2）参考答案：（I）解：依题意得：椭圆的焦点为，由椭圆定义知：，所以椭圆的方程为.

……………4分（II）（ⅰ）设，则椭圆在点B处的切线方程为

令，，令，所以