2022年湖南省衡阳市第二成章实验学校高二数学文上学期期末试卷含解析

2022年湖南省衡阳市第二成章实验学校高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】将几何体还原成直观图，可得它是一个上、下底面是直角梯形，且高等于1的直四棱柱．根据题中的数据利用柱体的体积、表面积公式加以计算，可得答案．【解答】解：将该几何体还原成直观图，可得它是一个四棱柱，四棱柱的侧棱垂直于底面，侧棱长等于1；上、下底面是直角梯形，该梯形的上底等于1、下底等于2、高等于1，斜腰等于．由此可得它的侧面积S侧=（1+1+2+）×1=4+，∵底面积S底=（1+2）×1=，∴四棱柱的表面积S=S侧+2S底=7+，体积为V=S底h=．故选：C【点评】本题给出直四棱柱的三视图的形状，求它的表面积与体积．着重考查了三视图的认识、直棱柱的性质和柱体的表面积、体积公式等知识，属于中档题．2.f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（）A．bf（b）≤af（a） B．bf（a）≤af（b） C．af（a）≤bf（b） D．af（b）≤bf（a）参考答案：A【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】先构造函数g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），通过求导利用已知条件即可得出．【解答】解：设g（x）=xf（x），x∈（0，+∞），则g′（x）=xf′（x）+f（x）≤0，∴g（x）在区间x∈（0，+∞）单调递减或g（x）为常函数，∵a＜b，∴g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b）．故选：A．3.如图，⊙O：，，为两个定点，是⊙O的一条切线，若过A，B两点的抛物线以直线为准线，则该抛物线的焦点的轨迹是(

)A．圆 B．双曲线C．椭圆 D．抛物线参考答案：C4.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）A．S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播B．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5

听广播C．刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播D．吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶参考答案：C5.

若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为

()A.

B．2

C．0

D．1参考答案：D略6.函数在区间上的值域是

，则点的轨迹是图中的(

)

A．线段AB和线段AD

B．线段AB和线段CDC．线段AD和线段BC

D．线段AC和线段BD参考答案：A7.不等式的解集为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.已知等比数列的和为定值，且公比为，令，则的取值范围为

A.

B.

C. D. 参考答案：A略9.已知在中，，，，则等于（

）A．

B.或

C.

D.以上都不对参考答案：B10.如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数和众数依次为（）A．84，84 B．84，85 C．86，84 D．84，86参考答案：A【考点】BA：茎叶图．【分析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和众数【解答】解：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的中位数为84；众数为：84；故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数在上不单调，则的取值范围是

．参考答案：略12.函数的单调增区间是

参考答案：13.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D为AC中点，点E满足，则=．参考答案：﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知画出图形，结合向量的加法与减法法则把用表示，展开后代值得答案．【解答】解：如图，∵，∴=，又D为AC中点，∴，则===．故答案为：﹣2．14.（5分）设双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为D，点P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x﹣2y的最小值为

．参考答案：﹣考点： 双曲线的简单性质．专题： 计算题．分析： 求出双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线方程，然后把这两个方程和直线构成三个方程组，解这三个方程组的解，得到三角形三个顶点的坐标，把这三个顶点坐标分别代入目标函数z=x﹣2y得到三个值，其中最小的就是目标函数z=x﹣2y的最小值．解答： 解：双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线是y=±x，解方程组，，得到三角形区域的顶点坐标是A，B，C（0，0）．∴，，zC=0．∴目标函数z=x﹣2y的最小值为．答案：．点评： 把三角形区域三个顶点坐标分别代入目标函数z=x﹣2y得到三个值，其中最小的就是目标函数z=x﹣2y的最小值．15.已知i是虚数单位，复数的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．参考答案：-3分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部加虚部为0求解.解析：的实部与虚部互为相反数，，即.故答案为：-3.点睛：复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．16.某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号是

。参考答案：18略17.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(c<0)，其图象在点A(1,0)处的切线的斜率为0，则f(x)的单调递增区间是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c，再由a=2c，及a，b，c的关系，可得a，b的值，即可得到椭圆的方程；（Ⅱ）设点A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0，代入椭圆方程求得A的坐标，再由三角形的面积公式，结合基本不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由右焦点为，得，由点F到短轴的一个端点的距离等于焦距，得a=2c，即则b2=a2﹣c2=9所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设点A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则y0=kx0，设AB交x轴于点D，由对称性知：，由得得，所以，当且仅当，时取等号，所以△OAB面积的最大值．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意椭圆的性质和a，b，c的关系，考查椭圆的对称性和直线与椭圆方程联立，求得交点，考查运算能力，属于中档题．19.设数列{an}满足，，.（1）求数列{an}的通项公式；（2）令，求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案：（1）（2）【分析】（1）由数列恒等式，结合等比数列的求和公式，可得所求；（2）求得，运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】（1），当时，而，符合上式，所以数列的通项公式为（2），设，，相减可得，化简可得，可求和得：【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20.已知左焦点为的椭圆过点，过上顶点作两条互相垂直的动弦交椭圆于两点．(1)

求椭圆的标准方程；(2)

若动弦所在直线的斜率为1，求直角三角形的面积；(3)

试问动直线是否过定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

参考答案：解：

略21.在直角坐标系xoy中，直线的参数方程是，在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程是

（I）求圆C的直角坐标方程；

（II）求圆心C到直线的距离。参考答案：（1）圆C的直角坐标方程是；

（2）圆心C到直线。22.如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．参考答案：【考点】两条直线的交点坐标．【分析】根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而