2022年浙江省杭州市常春藤A-Level国际高中高二数学文知识点试题含解析

2022年浙江省杭州市常春藤A-Level国际高中高二数学文知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（）A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形参考答案：B【考点】棱锥的结构特征．【分析】由已知得EF∥BD．由此能证明EF∥平面BCD．由已知条件推导出HG∥BD．HG∥EF．EF≠HG．从而得到四边形EFGH为梯形．【解答】解：如图所示，在平面ABD内，∵AE：EB=AF：FD=1：4，∴EF∥BD．又BD?平面BCD，EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD．又在平面BCD内，∵H，G分别是BC，CD的中点，∴HG∥BD．∴HG∥EF．又，∴EF≠HG．在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，∴四边形EFGH为梯形．故选：B．2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1参考答案：A【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．3.若直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．1参考答案：A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．【解答】解：由于直线x+2y+1=0的斜率存在，且直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，则×（﹣a）=﹣1，解得a=﹣2．故选：A．4.用系统抽样法（按等距离的规则）要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是（）A．7 B．5 C．4 D．3参考答案：B【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样法按等距离的规则，故可转化成一个等差数列，公差为8，第16项为125的等差数列，求首项，然后根据通项公式求出即可．【解答】解：由系统抽样知按等距离的规则可看成公差为8，第16项为125的等差数列，求首项a16=a1+15×8=125∴a1=5第一组确定的号码是5．故答案为：B5.已知函数的图象如图(其中是函数的导函数),下面四个图象中,的图象可能是B

A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知，则的值(

)A.都大于1 B.都小于1C.至多有一个不小于1 D.至少有一个不小于1参考答案：D【分析】先假设，这样可以排除A，B.再令，排除C.用反证法证明选项D是正确的.【详解】解:令，则，排除A，B.令，则，排除C.对于D，假设，则，相加得，矛盾，故选D.【点睛】本题考查了反证法的应用，应用特例排除法是解题的关键.7.连续抛两枚骰子分别得到的点数是a,b，则向量与向量垂直的概率是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意x∈R，都有f(x)＝f(2－x)成立，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0(其中f′(x)为f(x)的导数).设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c三者的大小关系是A.a<b<c

B.c<a<b

C.c<b<a

D.b<c<a参考答案：B由f(x)＝f(2－x)可得，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(3)＝f(－1).又当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，即f′(x)>0，则f(x)在(－∞，1)上单调递增.所以f(－1)<f(0)<f.即c<a<b，故选B.9.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元参考答案：B【考点】线性回归方程．【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果．【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故选：B．10.在等差数列中，若，公差，则有，类比上述性质，在等比数列中，若，公比，则，，，的一个不等关系是(

)Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则中位数与众数分别为

、

.

参考答案：23，23.12.抛物线焦点在轴上，且被截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为________________.参考答案：或略13.设数列的前n项和，则的值为

参考答案：1514.如果执行右边的程序框图，则输出的S=

参考答案：255015.将二进制数101101(2)化为八进制数，结果为________．参考答案：55(8)16.已知椭圆的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线上.当取最大值时，比的值为

.参考答案：

解析：由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于P点.设直线l交x轴于A，则，即∽，即

（1）又由圆幂定理，

（2）而，，A，从而有，.代入（1），（2）得17.二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3；四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，则猜想其四维测度W=．参考答案：2πr4【考点】F3：类比推理．【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W′=V，从而求出所求．【解答】解：∵二维空间中圆的一维测度（周长）l=2πr，二维测度（面积）S=πr2，观察发现S′=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4πr2，三维测度（体积）V=πr3，观察发现V′=S∴四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3，猜想其四维测度W，则W′=V=8πr3；∴W=2πr4；故答案为：2πr4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{}是首项,公比q≠1的等比数列,是其前n项和,且成等差数列.(1)求公比q的值(2)求的值.参考答案：解(1)由已知

,∵,整理得

解得,即或又q≠1,∴

,(2)构成为首项,以为公比的等比数列.∴=19.求展开式中按的降幂排列的前两项.参考答案：解析：

20.（本小题满分12分）函数f(x)若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称x0为函数f(x)的局部对称点．（Ⅰ）若a，b，c∈R，证明函数f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部对称点；（Ⅱ）是否存在常数m，使得定义在区间[﹣1，1]上的函数f（x）=2x+m有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由．

参考答案：解：（Ⅰ）证明：由f（x）=ax3+bx2+cx﹣b得f（-x）=-ax3+bx2-cx﹣b，由f（-x）=﹣f（x）得到关于x的方程2bx2﹣2b=0，……………1分当b≠0时，x=±1；当b=0，x∈R等式恒成立，所以函数f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部对称点；……………4分（Ⅱ）∵f（x）=2x+m，∴f（-x）=2-x+m由f（-x）=﹣f（x）得到关于x的方程2x+2﹣x+2m=0，……………6分因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．……………8分令t=2x∈，则，解得．……………12分

21.在△ABC中，若a=7，b=8，cosC=，求最大角的余弦值． 参考答案：【考点】余弦定理． 【专题】计算题；转化思想；分析法