2025届新高考数学精准冲刺复习利用导数研究零点问题

2025届新高考数学精准冲刺复习利用导数研究零点问题

考点梳理考情回顾高考预测零点的存在性

的判断与证明2021新高考Ⅱ

卷第22题1.零点的存在性的判断与证明：重点考

查利用零点存在性定理，判断与证明零

点的存在以及根据零点个数求参数范

围.2.隐零点，零点偏移问题：重点考查零

点问题中的“设而不求”方法.隐零点、零点

偏移问题2021新高考Ⅰ

卷第22题

（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数

f

（

x

）＝（

x

－1）e

x

－

ax

2＋

b

.（1）

讨论函数

f

（

x

）的单调性；

（2）

从下面两个条件中选一个，求证：函数

f

（

x

）只有一个零点.

1.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间

和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与

x

轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化

为两个函数图象的交点问题.具体思路如下：（1）

利用导数讨论函数的单调性、极值或最值.对一般函数，可以直接

求导并讨论函数的单调性、极值或最值；对较为复杂的函数，可以先构

造几个函数，并分别借助导数讨论这几个函数的单调性、极值或最值.（2）

讨论零点的相关问题.由（1）可以建立函数之间的相互关系，进

而确定函数的零点或方程的根的情况；也可以根据函数的零点或方程的

根的情况建立关于相关参数的不等式（组）或方程（组）.2.当导数的零点无法直接求解出来时，我们称之为“隐零点”，即能确

定其存在，但又无法用显性的代数进行表达.这类问题的解题思路是对

函数的零点设而不求，利用整体代换思想，再结合题目条件解决问题.

热点

利用导数研究零点问题[典例设计]例1已知函数

f

（

x

）＝e1－

x

＋cos

x

，

x

∈（0，2π）.设f'（

x

）为

f

（

x

）的导数.求证：f'（

x

）有且仅有一个极值点.[思维导图]令f'（

x

）＝

g

（

x

），求

g

（

x

）的导数→从g'（

x

）中令

h

（

x

）＝1－e

x

－1cos

x

，并求导→探求、证明

h

（

x

）的隐零点→证明g'（

x

）的变号

零点，即为f'（

x

）的极值点

总结提炼

（1）

三步求解函数零点（方程根）的个数问题：第一步，将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与

x

轴

（或直线

y

＝

k

）在该区间上的交点问题.第二步，利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值（最值）、

端点值等性质.第三步，结合图象求解.总结提炼

（2）

需要求函数

f

（

x

）在区间

I

上的零点，但所述情形都难以求出其

准确值时，可以先证明函数

f

（

x

）在区间

I

上存在唯一的零点（例

如，函数

f

（

x

）在区间

I

上是单调函数且在区间

I

的两个端点上的函数

值异号时就可证明存在唯一的零点），这时可设出其零点是

x

0.因为

x

0

不易求出（当然，有时是可以求出但无需求出），所以把零点

x

0叫做

隐零点；若

x

0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行.实际

上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.[对点训练]1.已知

x

＝2是函数

f

（

x

）＝e

x

－

ax

2的极值点.（1）

求

a

的值；

[思维导图]逆向问题正向解→对函数

g

（

x

）求导，讨论

a

的范围研究极值→继续构

造新函数φ（

x

）并求导讨论极值情况→根据φ（

x

）有两个变号零点，

求参数范围

总结提炼

已知零点求参数的取值范围：①

结合图象与单调性，分析函数的

极值点；②

依据零点确定极值的范围；③

对于参数选择恰当的分类标

准进行讨论.[对点训练]2.已知函数

f

（

x

）＝ln

x

－

kx

（

k

∈R），

g

（

x

）＝

x

（e

x

－2）.若

g

（

x

）－

f

（

x

）≥1恒成立，求

k

的取值范围.

[典例设计]

（1）

求实数

a

的值；（2）

设直线

y

＝

b

与两条曲线

y

＝

f

（

x

）和

y

＝

g

（

x

）共有四个不同

的交点，其横坐标分别为

x

1，

x

2，

x

3，

x

4（

x

1＜

x

2＜

x

3＜

x

4），求

证：

x

1

x

4＝

x

2

x

3.[思维导图]构造函数

F

（

x

）＝

f

（

x

）－

b

，

G

（

x

）＝

g

（

x

）－

b

→对

F

（

x

），

G

（

x

）求导，探求零点个数→令

F

（

x

）＝

G

（

x

），构造函数，探求

方程的解→构造函数，探求

F

（

x

）与

G

（

x

）零点所在区间→得

x

1，

x2，

x

3，

x

4的关系

解：（1）

a

＝1.

总结提炼

零点关系的证明，一般先证明两个函数零点的个数，寻找两个函

数的公共零点以及零点的范围，然后利用指对数同构寻找零点之间的

关系消元代换.

（2）

求证：存在直线

y

＝

b

与两条曲线

y

＝

f

（

x

）和

y

＝

g

（

x