2025届新高考数学精准冲刺复习空间角与距离

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算及探究，以解答题的形式

呈现.空间距离2022新高考Ⅰ卷第19题

（1）

求证：

BD

⊥

PA

；

（2）

求

PD

与平面

PAB

所成角的正弦值.

1.异面直线所成的角：利用方向向量、空间向量的坐标运算求解，或平

移后在三角形中求解.2.线面角：利用定义找出平面角求解或利用方向向量和法向量求解.3.二面角：利用定义找出平面角求解或利用法向量求解.4.点到平面的距离的计算：利用定义找出垂线段求解或利用等积法求解

或利用空间向量求解.

热点

空间角与距离[典例设计]

（1）

求点

A

到平面

A

1

BC

的距离；（2）

设

D

为

A

1

C

的中点，

AA

1＝

AB

，平面

A

1

BC

⊥平面

ABB

1

A

1，求

二面角

A

－

BD

－

C

的正弦值.[思维导图]（2）

如图，连接

AB

1交

A

1

B

于点

E

.

因为

AA

1＝

AB

，所以矩形

ABB

1

A

1

为正方形.所以

AB

1⊥

A

1

B

.

因为平面

A

1

BC

⊥平面

ABB

1

A

1，平面

A

1

BC

∩平面

ABB

1

A

1＝

A

1

B

，

AB

1⊂平面

ABB

1

A

1，所以

AB

1⊥平面

A

1

BC

.

因为

BC

⊂平面

A

1

BC

，所以

AB

1⊥

BC

.

由直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1知，

BB

1⊥平面

ABC

.

又

AB

⊂平面

ABC

，

BC

⊂平面

ABC

，所以

BB

1⊥

AB

，

BB

1⊥

BC

.

因为

AB

1∩

BB

1＝

B

1，

AB

1⊂平面

ABB

1

A

1，

BB

1⊂平面

ABB

1

A

1，所以

BC

⊥平面

ABB

1

A

1.因为

AB

⊂平面

ABB

1

A

1，所以

BC

⊥

AB

.

总结提炼

（1）

点到平面的距离，常先联系线面垂直，再利用面面垂直的性质定

理得到线面垂直，作出垂线段求解或利用等体积法求解.（2）

①

综合法求二面角：作角，证明，计算.二面角的作法常利用定

义法和三垂线定理.②

空间向量法求二面角：建系，写出点的坐标，求法向量，计算.[对点训练]1.（2022·广东模拟）如图，在三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，△

ABC

是边长

为2的正三角形，

D

是

BC

的中点，

AA

1＝2，∠

C

1

CB

＝60°，平面

BB

1

C

1

C

⊥平面

ABC

.

（1）

求证：

C

1

D

⊥

AB

；解：（1）

证明：如图，连接

BC

1.由三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1可知，

CC

1＝

AA

1＝2.因为△

ABC

是边

长为2的正三角形，所以

BC

＝2.所以

BC

＝

CC

1.又

因为∠

C

1

CB

＝60°，所以△

BCC

1为等边三角形.

因为

D

是

BC

的中点，所以

C

1

D

⊥

BC

.

因为平面

BB

1

C

1

C

⊥平面

ABC

，平面

BB

1

C

1

C

∩平面

ABC

＝

BC

，

C

1

D

⊂平面

BB

1

C

1

C

，所以

C

1

D

⊥平面

ABC

.

因为

AB

⊂平面

ABC

，所以

C

1

D

⊥

AB

.

（2）

求平面

A

1

AC

1与平面

AC

1

D

夹角的正弦值.

[典例设计]例2如图，在直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，∠

ACB

＝90°，

AC

＝

BC

＝

2，

AB

1⊥

BC

1，

BC

1与

B

1

C

相交于点

M

.

求：（1）

AA

1的长度；（2）

点

M

到平面

ABB

1

A

1的距离.[思维导图]

CA

，

CB

，

CC

1两两垂直→以

C

为原点，建立空间直角坐标系运用空间向量的坐标运算求解→

总结提炼

距离的求解方法（1）

利用面面垂直作出垂线段.（2）

利用平行关系转化为点到平面的距离.（3）

利用空间向量计算.[对点训练]2.（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

A

1

C

⊥底面

ABC

，∠

ACB

＝90°，

AA

1＝2，点

A

1到平面

BCC

1

B

1的距离为1.（1）

求证：

AC

＝

A

1

C

；解：（1）

证明：因为

A

1

C

⊥平面

ABC

，

AC

⊂平面

ABC

，

BC

⊂平面

ABC

，所以

A

1

C

⊥

AC

，

A

1

C

⊥

BC

.

因为

A

1

C

1∥

AC

，所以

A

1

C

⊥

A

1

C

1.又因为∠

ACB

＝

90°，所以

BC

⊥

AC

.

因为

A

1

C

⊂平面

ACC

1

A

1，

AC

⊂

平面

ACC

1

A

1，

A

1

C

∩

AC

＝

C

，所以

BC

⊥平面

ACC

1

A

1.因为

BC

⊂平面

BCC

1

B

1，所以平面

ACC

1

A

1⊥平面

BCC

1

B

1.如图，过点

A

1作

A

1

O

⊥

CC

1于点

O

.

（2）

若直线

AA

1与

BB

1之间的距离为2，求

AB

1与平面

BCC

1

B

1所成角

的正弦值.

[典例设计]例3

（2023·温州模拟）如图，在四棱锥

P

－

ABCD

中，

AB

∥

CD

，∠

ABC

＝90°，△

ADP

是等边三角形，

AB

＝

AP

＝2，

BP

＝

3，

AD

⊥

BP

.

求：（1）

BC

的长度；（2）

直线

BC

与平面

ADP

所成的角的正弦值.[思维导图]取

AD

的中点

F

，连接

PF

，

BF

，

BD

→

PF

⊥

AD

→

AD

⊥平面

PFB

AD

⊥平面

PFB

→平面

PFB

⊥平面

APD

→

求解→

AD

⊥

BF

→等边三角形

ABD

→求解作

BG

⊥

PF

交

PF

的延长线于点

G

→BG

⊥平面

APD

→延长

BC

，

AD

交于点

H

，连接

GH

→∠

BHG

即为直线

BC

与平面

ADP

所成的角→

总结提炼

（1）

立体几何中的角度与距离问题，常与面面垂直有关，由面面垂直

得出线面垂直，作出相应的角度与距离，要根据具体图形合理作角、

距离.（2）

空间向量法解决问题时，关注图形的对称性，注意建系的合理

性，以便准确计算.

（2）

求二面角

A

－

PM

－

O

的余弦值.解：（2）

如图，过点

E

作

EQ

⊥

PM

于点

Q

，连接

AQ

.

因为

PO

⊥平面

ABCD

，

PO

⊂平面

POM

，所以平面

POM

⊥平面

ABCD

.

因为平面

POM

∩平面

ABCD

＝

OM

，

AE

⊥

OM

，

AE

⊂平面

ABCD

，所以

AE

⊥平面

POM

.

因为

EQ

⊂平面