9.4.2 菱形 苏科版数学八年级下册素养综合检测(含解析)

第9章中心对称图形——平行四边形9.4矩形、菱形、正方形第2课时菱形基础过关全练知识点4菱形的定义与性质1.(2023江苏宿迁宿豫期末)下列有关菱形对角线的说法错误的是()A.菱形的对角线互相平分B.菱形的对角线互相垂直C.菱形的对角线相等D.菱形的对角线平分一组对角2.【易错题】(2023江苏江阴期中)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=4,S菱形ABCD=24,则OH的长为()A.6B.5C.3D.2.53.【教材变式·P79T2】已知某菱形的周长为20,两条对角线长的和为14,则该菱形的面积为.

4.(2022青海西宁中考)如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)若AE=4,CF=2,求菱形的边长.知识点5菱形的判定5.(2023江苏江阴文林中学期中)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=12,则四边形CODE的周长为()A.12B.18C.24D.30第5题图第6题图6.(2023江苏宿迁怀文中学月考)如图,过▱ABCD对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线,分别交AB,BC,CD,DA于点E,F,G,H,则下列结论错误的是()A.EH=HGB.AC与EG互相平分C.EH∥FGD.AC平分∠DAB能力提升全练7.(2023甘肃武威中考,7,★☆☆)如图,将矩形纸片ABCD两次对折,使边AB与DC,BC与AD分别重合,展开后得到四边形EFGH.若AB=2,BC=4,则四边形EFGH的面积为()A.2B.4C.5D.6第7题图第8题图8.(2022湖南株洲中考,9,★☆☆)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E,则下列结论不一定正确的是()A.OB=12CEB.△ACEC.BC=12AE9.【半角模型】(2023江苏南京江宁月考,5,★★☆)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E、F分别为AD、DC上的动点,∠EBF=60°,点E从点A向点D运动的过程中,AE+CF的长度()A.逐渐增大B.逐渐减小C.保持不变且与EF的长度相等D.保持不变且与AB的长度相等10.【跨学科·美术】(2023江苏苏州星湾学校期中,13,★☆☆)图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来边长一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是°.

图①图②图③图④11.【新方向·尺规作图】【新课标例73变式】(2023江苏淮安北京路中学月考,17,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,E是对角线BD上一点,请仅用无刻度的直尺,以AE为边作一个菱形(保留作图痕迹,不写作法).12.(2023江苏无锡江阴期中,25,★★☆)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE=12AC,连接CE、OE,连接AE交OD于点(1)求证:OE=CD;(2)若菱形ABCD的对角线AC=4,BD=6,求AE的长.13.(2023江苏南京外国语学校期中,23,★★☆)如图,在▱ABCD中,E、F分别为AD、BC的中点,点M、N在对角线AC上,且AM=CN.(1)求证:四边形EMFN是平行四边形;(2)当△ABC满足时,四边形EMFN是菱形,并加以证明.

素养探究全练14.【几何直观】【新考向·实践探究题】(2023江苏南京秦淮月考)将一组邻边长分别为1,a(a>1)的平行四边形纸片按如图1所示的方式翻折一下,剪去一个边长为1的菱形(第一次操作);再把剩下的平行四边形如图2那样折一下,剪去一个边长等于此时平行四边形短边长的菱形(第二次操作);再把剩下的平行四边形如此反复操作下去.若在第三次操作后,剩下的平行四边形为菱形,则a的值为.

15.【几何直观】(2023江苏南京外国语学校期中)在菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,且AE=AF.(1)如图①,若∠B为直角,求证:CE=CF;(2)如图②,若∠B为钝角,求证:CE=CF;(3)若∠B为锐角,判断上述证明的结论是否成立,并说明理由.

答案全解全析基础过关全练1.C根据菱形的两条对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角可知A、B、D三个选项中的说法正确,C选项中的说法错误.故选C.2.C易将OH误以为是AB的一半,导致出现错误.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,DO=BO,AO=OC,∵OA=4,∴AC=2OA=8,∵S菱形ABCD=12AC·BD=24,∴4BD=24,∴BD=6.∵DH⊥AB,∴∠∵DO=BO,∴OH=12BD=12×6=3,3.答案24解析如图,四边形ABCD是菱形,4AB=20,∴AB=5,设AC=a,BD=b,则a+b=14,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴AO2+BO2=AB2,∴a22+b22=52,∴a2+b2=100,∴ab=(a+b)2-(a24.解析(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D,∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°,在△ABE和△ADF中,∠∴△ABE≌△ADF(AAS).(2)设菱形的边长为x,∴AB=CD=x,∵CF=2,∴DF=x-2,∵△ABE≌△ADF,∴BE=DF=x-2,在Rt△ABE中,根据勾股定理得AE2+BE2=AB2,即42+(x-2)2=x2,解得x=5,∴菱形的边长是5.5.C∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形CODE是平行四边形,∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=12,OA=OC,OB=OD,∴OD=OC=6,∴四边形CODE是菱形,∴四边形CODE的周长为4OC=4×6=24.故选C.6.D∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠OAE=∠OCG,∵O是AC的中点,∴OA=OC,在△AOE和△COG中,∠∴△AOE≌△COG(ASA),∴OE=OG,∴AC与EG互相平分,故选项B中结论正确,不符合题意;同理可得△COF≌△AOH,OF=OH,∴四边形EFGH是平行四边形,又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH是菱形,∴EH=GH,EH∥FG,故选项A、C中结论正确,不符合题意;当四边形ABCD是菱形时,AC平分∠DAB,根据已知条件无法证明四边形ABCD是菱形,故选项D中结论错误,符合题意,故选D.能力提升全练7.B根据对折的性质可得GE⊥FH,GE与FH互相平分,GE=BC=4,FH=AB=2,∴四边形EFGH为菱形,∴S菱形EFGH=12GE·FH=12×2×4=4.8.D在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∴AC⊥DB,∴∠AOB=90°,∵CE∥BD,∴∠ACE=∠AOB=90°,∴△ACE是直角三角形,故B选项中的结论正确;∵四边形ABCD是菱形,∴AE∥CD,OB=12BD,又∵CE∥∴四边形CDBE是平行四边形,∴CE=BD,∴OB=12CE,故A选项中的结论正确;在菱形ABCD中,AB=BC=CD,在▱CDBE中,BE=CD,∴BE=CD=AB=BC,即BC=12AE,故C现有条件不足以证明BE=CE,故D选项中的结论不一定正确.故选D.9.D如图,连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=CD,∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AB=BD,∠ABD=60°,∵DC∥AB,∴∠CDB=∠ABD=60°,∴∠A=∠CDB,∵∠EBF=60°,∴∠ABE+∠EBD=∠EBD+∠DBF,∴∠ABE=∠DBF,在△ABE与△DBF中,∵∠∴△ABE≌△DBF(ASA),∴AE=DF,∴AE+CF=DF+CF=CD=AB.故选D.10.答案60解析如图,∵∠BAD=∠BAE=∠DAE,∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°,∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°,∵BC∥AD,∴∠ABC=180°-120°=60°,故答案为60.11.解析如图,连接AC,与BD交于点O,延长AE,交BC于点M,连接MO并延长,交AD于点N,连接CN,交BD于点F,连接EC、AF,则四边形AECF即为所求作的菱形.12.解析(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴OC=12AC,AC⊥BD,∵DE=12AC,又∵DE∥AC,∴四边形OCED是平行四边形.∵AC⊥BD,∴平行四边形OCED是矩形,∴OE=CD.(2)在菱形ABCD中,AC=4,BD=6,∴OD=3,∵四边形OCED是矩形,∴CE=OD=3,∠OCE=90°,∴在Rt△ACE中,AE=AC13.解析(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠EAM=∠FCN,∵E、F分别为AD、BC的中点,∴AE=DE=BF=CF,在△AEM和△CFN中,AE=CF,∠EAM∴EM=FN,∠AME=∠CNF,∴∠EMN=∠FNM,∴EM∥FN,∴四边形EMFN是平行四边形.(2)△ABC满足AB⊥AC(∠BAC=90°)时,四边形EMFN是菱形.证明:连接EF交AC于O,如图所示.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AE∥BF,由(1)知AE=BF,∴四边形AEFB是平行四边形,∴AB∥EF,∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,∴∠COF=∠BAC=90°,∴EF⊥MN,∴四边形EMFN是菱形.故△ABC满足AB⊥AC(∠BAC=90°)时,四边形EMFN是菱形.素养探究全练14.答案53或43或5解析①如图,经历三次翻折后,四边形IJHF为菱形,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD=BC=CD=1,∴DF=CE=a-1,∵四边形GCEH为菱形,∴GC=CE=a-1,∴DG=FH=1-(a-1)=2-a,∵四边形DGJI为菱形,∴DI=DG=2-a,∴IF=a-1-(2-a)=2a-3,∵四边形IJHF为菱形,∴IF=HF,即2-a=2a-3,解得a=53②如图,经历三次翻折后,四边形DIHF为菱形,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=AD=BC=CD=1,∴DF=CE=a-1,∵四边形JCEG,IJGH,DIHF都为菱形,∴DI=13CD=13,∴a-1=13,解得③如图,经历三次翻折后,四边形FIJH为菱形,∵四边形ABCD,DCEF为菱形,∴AB=AD=CD=DF=EF=1,∴FH=a-2,∵四边形FIJH,IEGJ都为菱形,∴FH=FI=IJ=IE=12EF=12,∴a-2=12,∴④如图,经历三次翻折后,四边形HGIJ为菱形,∵四边形ABCD,DCEF,FEGH,HGIJ都为菱形,∴AB=AD=DF=FH=1,∴HJ=a-3,∴a-3=1,解得a=4.综上,a的值为53或43或515.解析(1)证明:∵∠B为直角,∴∠B=90°.∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AB∥CD,AB=AD=CD=BC,∴∠DAB=180°-∠B=90°,∴∠D=180°-∠DAB=90°,∴∠B=∠D=90°,又∵AE=AF,∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),∴BE=DF,∵BC=CD,∴CE=CF.(2)证明:如图,过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G,过点A作AH⊥CD交CD的延长线于点H,连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=BC=CD,∠ABC=∠ADC,∴∠ABG=∠ADH,又∵∠G=∠H=90°,∴△ABG≌△