高考文科数学复习第一轮-极坐标与参数方程(学生版2)

高考文科数学一轮复习（极坐标与参数方程）其次讲极坐标与参数方程目标认知

考试大纲要求：

1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的改变状况；

2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区分，能进行极坐标和直角坐标的互化；

3.能在极坐标系中给出简洁图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；

4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区分；

5.了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；

6.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。

重点、难点：

1．理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的意义，驾驭参数方程与一般方程的互化。

2．理解极坐标的概念，驾驭极坐标与直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程。

【学问要点梳理】:

学问点一：极坐标

1．极坐标系

平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。

2．极坐标系内一点的极坐标

平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对

就叫做点的极坐标。

（1）一般状况下，不特殊加以说明时表示非负数；

当时表示极点；

当时，点的位置这样确定：作射线，

使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。

（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。

综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，

即，,均表示同一个点.

3.极坐标与直角坐标的互化

当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：

直角坐标化极坐标：；

极坐标化直角坐标：.

此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.

4.直线的极坐标方程：

（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及.

（2）过垂直于极轴的直线：

5.圆的极坐标方程：

（1）以极点为圆心，为半径的圆：.

（2）若，，以为直径的圆：

学问点二：柱坐标系与球坐标系：

1.柱坐标系的定义：

空间点与柱坐标之间的变换公式：

2.球坐标系的定义：

空间点与球坐标之间的变换公式：

学问点三：参数方程

1.概念：一般地，在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标都是某个变数的函数：

，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.

相对于参数方程来说，前面学过的干脆给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的一般方程。

学问点四：常见曲线的参数方程

1．直线的参数方程

（1）经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：

（为参数）；

其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。

（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：

（为参数，为为常数，）；

其中的几何意义为：若是直线上一点，则。

2．圆的参数方程

（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：

（是参数，）；

特殊地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。

（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上随意一点的半径所成的角。

（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则干脆指出圆上点的横、纵坐标的特点。

3.椭圆的参数方程

（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。

（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。

如图中，点对应的角为（过作轴，

交大圆即以为直径的圆于），切不行认为是。

（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程事实上是关于椭圆的一组三角代换。

椭圆上随意一点可设成，

为解决有关椭圆问题供应了一条新的途径。

4.双曲线的参数方程

双曲线（,）的参数方程为（为参数）。

5.抛物线的参数方程

抛物线()的参数方程为（是参数）。

参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。

规律方法指导：

1、把参数方程化为一般方程，须要依据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消法；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等.

2、把曲线的一般方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性，留意方程中的参数的改变范【课前演练】一、选择题1.已知集合,,则=A．{x|-1≤x＜1}B．{x|x>1}C．{x|-1＜x＜1}D．{x|x≥-1}2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=A．-2B．C.D．23.若函数f(x)=x3(x∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是A．单调递减的偶函数B.单调递减的奇函数C．单凋递增的偶函数D．单涮递增的奇函数4．若向量满意,与的夹角为,则A．B．C.D．25．客车从甲地以60km／h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km／h的速度匀速行驶l小时到达丙地。下列描述客车从甲地动身，经过乙地，最终到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是二、填空题11．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是．12．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是．13．已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an=；若它的第k项满意5<ak<8，则k=14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点(2，π/6)到直线l的距离为．15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=．【经典例题精析】

类型二：参数方程与一般方程互化

4．把参数方程化为一般方程

(1)(，为参数)；（2）(，为参数）；

（3）(,为参数)；（4）(为参数).

思路点拨:

（1）将其次个式子变形后，把第一个式子代入消参；

（2）利用三角恒等式进行消参；

（3）视察式子的结构，留意到两式中分子分母的结构特点，因而可以实行加减消参的方法；或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参；

（4）此题是（3）题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法照旧，但须要留意、的范围。

总结升华：

1.消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。

2.消参过程中应留意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中事实上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法.

举一反三：

【变式1】化参数方程为一般方程。

（1）(t为参数)；（2）（t为参数）.

【变式2】（1）圆的半径为_________；

（2）参数方程(表示的曲线为（）。

A、双曲线一支，且过点B、抛物线的一部分，且过点

C、双曲线一支，且过点D、抛物线的一部分，且过点

【变式3】（1）直线:(t为参数)的倾斜角为（）。

A、B、C、D、

（2）为锐角，直线的倾斜角（）。

A、B、C、D、

5．已知曲线的参数方程（、为常数）。

（1）当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型；

（2）当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。

思路点拨:通过消参，化为一般方程，再做推断。

总结升华：从本例可以看出：某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。

举一反三：

【变式】已知圆锥曲线方程为。

（1）若为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。

（2）若为参数，为常数，求此曲线的离心率。

【课堂检测】选择题３０．椭圆的两个焦点坐标是()。A．(-3,5)，(-3,-3)B．(3,3)，(3,-5)C．(1,1)，(-7,1)D．(7,-1)，(-1,-1)六、1．若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）A．B．C．D．2．下列在曲线上的点是（）A．B．C．D．3．将参数方程化为一般方程为（）A．B．C．D．6．极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆七、1．直线的参数方程为，上的点对应的参数是，则点与之间的距离是（）A．B．C．D．2．参数方程为表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线3．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A．B．C．D．5．与参数方程为等价的一般方程为（）A．B．C．D．6．直线被圆所截得的弦长为（）A．B．C．D．八、1．把方程化为以参数的参数方程是（）A．B．C．D．2．曲线与坐标轴的交点是（）A．B．C．D．3．直线被圆截得的弦长为（）A．B．C．D．4．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）A．B．C．D．6．在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（）A．B．C．D．填空题参、５．把参数方程(α为参数)化为一般方程，结果是。六、1．直线的斜率为______________________。2．参数方程的一般方程为__________________。3．已知直线与直线相交于点，又点，则_______________。4．直线被圆截得的弦长为______________。七、1．曲线的参数方程是，则它的一般方程为__________________。2．直线过定点_____________。3．点是椭圆上的一个动