微专题5万有引力与航天

微专题5万有引力与航天【知识规律整合】知识整合热点考向考向1：天体质量和密度的估算问题。考向2：天体和人造卫星问题。考向3：航天器的变轨问题。题型一开普勒三定律1．开普勒三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动。2．由开普勒第二定律知：当离太阳比较近时，行星运行的速度比较快，而离太阳比较远时，行星运行的速度比较慢。3．在开普勒第三定律中，所有行星绕太阳转动的k值均相同；但对不同的中心天体系统k值不相同。k值的大小由系统的中心天体决定。【例1】(2022·江苏扬州高三开学考试)如图1所示，土星和火星都在围绕太阳公转，根据开普勒行星运动定律可知()图1A．火星轨道是椭圆，土星轨道是圆B．土星比火星的公转周期大C．火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大D．相同时间内，土星与太阳的连线扫过的面积等于火星与太阳的连线扫过的面积答案B解析根据开普勒第一定律可知，行星轨道都是椭圆，故A错误；根据开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k可知，土星比火星的公转周期大，故B正确；根据开普勒第二定律可知，火星远离太阳的过程中，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故C错误；开普勒第二定律是指同一个行星，在相同时间内与太阳的连线扫过的面积相等，故D错误。题型二天体质量、密度的计算1．利用中心天体的半径和表面的重力加速度g计算。由Geq\f(Mm,R2)＝mg求出M＝eq\f(gR2,G)，进而求得ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．利用环绕天体的轨道半径r和周期T计算。由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得出M＝eq\f(4π2r3,GT2)。ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动，轨道半径r＝R，则ρ＝eq\f(3π,GT2)。【例2】某兴趣小组想利用小孔成像实验估测太阳的密度。设计如图2所示的装置，不透明的圆桶一端密封，中央有一小孔，另一端为半透明纸。将圆桶轴线正对太阳方向，可观察到太阳的像的直径为d。已知圆桶长为L，地球绕太阳公转周期为T。则估测太阳密度的表达式为()图2A．ρ＝eq\f(3πL3,GT2d3) B．ρ＝eq\f(3πd3,GT2L3)C．ρ＝eq\f(24πL3,GT2d3) D．ρ＝eq\f(24πd3,GT2L3)答案C解析设太阳的半径为R，太阳到地球的距离为r，由成像光路图，根据三角形相似得eq\f(R,r)＝eq\f(\f(d,2),L)，解得R＝eq\f(dr,2L)。地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设太阳质量为M，地球质量为m，则eq\f(GMm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r，太阳的体积为V＝eq\f(4,3)πR3，太阳密度ρ＝eq\f(M,V)，联立解得ρ＝eq\f(24πL3,GT2d3)，C正确。(1)利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r只能计算中心天体的质量，不能计算绕行天体的质量。(2)注意区分轨道半径r和中心天体的半径R，计算中心天体密度时应用ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)而不是ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πr3)。题型三天体运动参量的分析问题【例3】(2022·江苏海门高三期末)2021年12月26日，“神州十三号”航天员在轨开展了第二次舱外作业。航天员在空间站24小时内可以看到十六次日出日落。下列说法正确的是()图3A．空间站的线速度大于第一宇宙速度B．空间站的线速度大于同步卫星的线速度C．航天员出舱作业时的向心加速度为零D．航天员在空间站内不受到地球引力作用，处于完全失重状态答案B解析第一宇宙速度是环绕地球做圆周运动的卫星的最大速度，所以空间站的线速度小于第一宇宙速度，选项A错误；根据T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))及空间站周期小于24h可知，空间站的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则由v＝eq\r(\f(GM,r))可知，空间站的线速度大于同步卫星的线速度，选项B正确；航天员出舱作业时仍受地球的引力绕地球做圆周运动，则向心加速度不为零，选项C错误；航天员在空间站内仍受到地球引力作用，只是由于地球的引力充当向心力，则处于完全失重状态，选项D错误。题型四卫星变轨问题1．卫星速度v突然增大时，有Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，万有引力不足以提供向心力，卫星将偏离圆轨道做离心运动；v突然减小时，有Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，卫星将做近心运动。2．同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。3．卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等。【例4】(2022·江苏盐城月考)2021年11月8日，“天问一号”环绕器成功实施近火制动，准确进入遥感使命轨道。制动前环绕器在轨道Ⅰ上运动，在P点制动后进入轨道Ⅱ运动。如图4所示，环绕器沿轨道Ⅰ、Ⅱ运动到P点的速度大小分别为vⅠ、vⅡ；加速度大小分别为aⅠ、aⅡ。则()图4A．vⅠ>vⅡ，aⅠ＝aⅡ B．vⅠ<vⅡ，aⅠ<aⅡC．vⅠ＝vⅡ，aⅠ＝aⅡ D．vⅠ＝vⅡ，aⅠ>aⅡ答案A解析“天问一号”在P点制动后进入轨道Ⅱ运动，故“天问一号”在轨道Ⅰ上的P点速度大小大于在轨道Ⅱ运动到P点的速度，即vⅠ>vⅡ。“天问一号”的加速度是由万有引力提供的，则有F＝eq\f(GMm,r2)＝ma，可知在同一P点，万有引力对“天问一号”产生的加速度相同，与卫星所在轨道无关，故aⅠ＝aⅡ，A正确，B、C、D错误。题型五同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较1．同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力，eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)；而赤道上的物体随地球自转做圆周运动的向心力(很小)是万有引力的一个分力，eq\f(GMm,r2)≠eq\f(mv2,r)。2．同步卫星与赤道上的物体具有相同的角速度。【例5】2021年，中国的载人飞船成功与天和核心舱(距离地球表面约400km的高度)对接，中国人首次进入自己的空间站。关于地球的卫星及飞船空间站的运动，下列说法正确的是()A．地球卫星的运行轨道可以与地球表面任一纬线所决定的圆是共面同心圆B．地球同步卫星的向心加速度与赤道上物体的向心加速度相同C．该载人飞船的发射速度应大于地球的第一宇宙速度D．飞船与空间站对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间答案C解析因为地球卫星绕地球做匀速圆周运动需要的向心力是由万有引力来提供的，万有引力必须指向地心，所以地球卫星的运行轨道的圆心必须是地心，故A错误；因为地球同步卫星和赤道上物体的角速度相同，则由an＝ω2r知半径越大，向心加速度越大，故地球同步卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，故B错误；因为地球的第一宇宙速度是近地卫星的发射速度，该载人飞船的轨道高度大于近地卫星的，所以需要更大的发射速度，故C正确；因为地球的第一宇宙速度是卫星的最大绕行速度，所以飞船与空间站对接，两者运行速度的大小都应小于第一宇宙速度，故D错误。题型六双星模型1．如图5所示，两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。图52．双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1，Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2。3．两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比。【例6】(2022·江苏扬州高三阶段练习)如图6所示，两恒星A、B构成双星体，在万有引力的作用下绕连线上的O点做匀速圆周运动，在观测站上观察该双星体的运动，测得该双星的运动周期为T，已知两颗恒星A、B间距为d，万有引力常量为G，则可推算出双星的总质量为()图6A.eq\f(π2d3,GT2) B.eq\f(4π2d3,GT2)C.eq\f(π2d2,GT2) D.eq\f(4π2d2,GT2)答案B解析双星系统，角速度相同，A、B星体间的万有引力为彼此的向心力，因此对A：Geq\f(mAmB,d2)＝mAeq\f(4π2rA,T2)，对B：Geq\f(mAmB,d2)＝mBeq\f(4π2rB,T2)，其中rA＋rB＝d，m总＝mA＋mB，联立解得m总＝eq\f(4π2d3,GT2)，B正确。

1．(2021·江苏卷)我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星()A．运动速度大于第一宇宙速度B．运动速度小于第一宇宙速度C．轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星D．轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星答案B解析第一宇宙速度是指绕地球表面做圆周运动的卫星的速度，是环绕地球做圆周运动的所有卫星的最大环绕速度，所以该卫星的运行线速度小于第一宇宙速度，选项A错误，B正确；根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可知r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，因为该卫星的运动周期与地球自转周期相同，等于“静止”在赤道上空的同步卫星的周期，所以该卫星的轨道半径等于“静止”在赤道上空的同步卫星的轨道半径，选项C、D错误。2．(2021·天津卷，5)2021年5月15日，“天问一号”探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下中国人的印迹。“天问一号”探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图7所示，两轨道相切于近火点P，则“天问一号”探测器()图7A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大答案D解析“天问一号”探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，则根据开普勒第三定律可知，“天问一号”探测器在轨道Ⅰ的运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；“天问一号”探测器从较高轨道Ⅰ向较低轨道Ⅱ变轨时，需要在P点点火减速，故C错误；“天问一号”探测器沿轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动能增大，速度增大，故D正确。3．(2022·湖北卷，2)2022年5月，我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接，形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，周期约90分钟。下列说法正确的是()A．组合体中的货物处于超重状态B．组合体的速度大小略大于第一宇宙速度C．组合体的角速度大小比地球同步卫星的大D．组合体的加速度大小比地球同步卫星的小答案C解析组合体在天上只受万有引力的作用，则组合体中的货物处于失重状态，A错误；由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，而第一宇宙速度为最大的环绕速度，则组合体的速度大小不可能大于第一宇宙速度，B错误；已知同步卫星的周期为24h，则根据角速度和周期的关系有ω＝eq\f(2π,T)，由于T同>T组合体，则组合体的角速度大小比地球同步卫星的大，C正确；由题知组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，整理有T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于T同>T组合体，则r同>r组合体，且同步卫星和组合体在天上有ma＝Geq\f(Mm,r2)，则有a同<a组合体，D错误。4．(2022·全国乙卷，14)2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们()A．所受地球引力的大小近似为零B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小答案C解析航天员在空间站中所受的地球引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对其作用力等于零，所受地球引力大小不为零，A、B错误，故C正确；根据F＝Geq\f(Mm,r2)可知，他们在地球表面上所受引力的大小大于在飞船中所受的万有引力大小，因此在地球表面所受引力大小大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D错误。5．(2022·浙江1月选考，8)天问一号从地球发射后，在如图8甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号()图8A．发射速度介于7.9km/s与11.2km/s之间B．从P点转移到Q点的时间小于6个月C．在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小D．在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度答案C解析天问一号发射后要脱离地球引力束缚，则发射速度要超过11.2km/s，故选项A错误；由题图可知地火转移轨道的半长轴长度比地球轨道半径要大，根据开普勒第三定律eq\f(a3,Req\o\al(3,地))＝eq\f(T2,Teq\o\al(2,地))可知，天问一号在地火转移轨道上运行的周期大于12个月，因此从P到Q的时间大于6个月，故选项B错误；同理根据开普勒第三定律，并结合停泊轨道、调相轨道的半长轴长度关系可知，天问一号在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故选项C正确；天问一号在P点点火加速，做离心运动进入地火转移轨道，故在地火转移轨道上P点的速度比地球环绕太阳的速度大，但在到达Q点之后，要加速进入火星轨道，即v火＞v地火Q，根据v＝eq\r(\f(GM,R))可知地球绕太阳的速度大于火星绕太阳的速度，即v地>v火，所以v地>v火>v地火Q，即天问一号在地火转移轨道上并不是每一点的速度都比地球绕太阳的速度大，故选项D错误。1．(2022·江苏常州高三期末)“天问一号”的环绕器在绕火星做圆周运动时，绕行速率为v，周期为T，已知引力常量为G，由此可求得()A．火星表面的重力加速度B．火星的半径C．火星的密度D．火星的质量答案D解析根据v＝eq\f(2πR,T)，得“天问一号”的轨道半径为R＝eq\f(vT,2π)。根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，可得火星的质量为M＝eq\f(4π2R3,GT2)＝eq\f(V3T,2πG)，则火星的质量可求出，D正确；因“天问一号”的轨道半径并不为火星的半径，所以求不出火星的半径，根据密度公式ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3M,4πr3)，知因火星半径未知，所以火星的密度同样求不出来，B、C错误；根据重力等于万有引力，有mg＝Geq\f(Mm,r2)，可得g＝eq\f(GM,r2)，因火星半径未知，所以火星表面重力加速度求不出来，A错误。2．(2022·江苏泰州模拟)如图1所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B，只在相互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。观测发现每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，已知万有引力常量为G，则()图1A．恒星A、B运动的周期为TB．恒星A质量小于B的质量C．恒星A、B的总质量为eq\f(π2d3,GT2)D．恒星A线速度大于B的线速度答案C解析每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T′＝2T，故A错误；根据万有引力等于向心力Geq\f(mAmB,d2)＝mAeq\f(4π2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2T))2)rA＝mBeq\f(4π2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2T))2)rB，因为rA<rB，则mA>mB，故B错误；由B选项得，两恒星总质量为M＝mA＋mB＝eq\f(π2d3,GT2)，故C正确；根据v＝ωr，两恒星角速度相等，则vA<vB，故D错误。3．(2022·江苏南通模拟)2022年5月10号，“天舟四号”货运飞船成功对接空间站“天和”核心舱，已知空间站在距离地球表面约400km圆轨道上运行。则其()A．线速度大于第一宇宙速度B．角速度大于地球自转角速度C．运行周期大于地球自转周期D．向心加速度大于地面的重力加速度答案B解析设地球质量为M，质量为m的卫星绕地球做半径为r、周期为T、速度大小为v、加速度大小为a的匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝ma，分别解得v＝eq\r(\f(GM,r))①，T＝2πreq\r(\f(r,GM))②，a＝eq\f(GM,r2)③，第一宇宙速度是物体在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的线速度，空间站轨道半径大于地球半径，根据①式可知空间站的线速度小于第一宇宙速度，故A错误；地球同步卫星位于赤道上方高度约36000km处，其周期等于地球自转周期，而空间站的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，根据②式可知空间站的运行周期小于同步卫星的周期，即小于地球自转周期，再根据ω＝eq\f(2π,T)可知空间站角速度大于地球自转角速度，故B正确，C错误；质量为m0的物体在地球表面所受重力等于万有引力，即Geq\f(Mm0,R2)＝m0g，解得地球表面的重力加速度为g＝eq\f(GM,R2)④，空间站轨道半径大于地球半径，则比较③④两式可知a<g，故D错误。4．(2022·江苏海安高三期末)神舟十三号飞船首次采用径向端口对接，如图2所示。飞船从空间站下方的停泊点进行俯仰调姿和滚动调姿后与天宫空间站完成对接。飞船在完成对接后与停泊点相比()图2A．线速度变大 B．绕行周期增大C．万有引力变大 D．向心加速度增大答案B解析飞船绕地球稳定运行时，万有引力提供向心力，有F万＝eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝meq\f(4π2,T2)r＝man，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，an＝eq\f(GM,r2)。依题意，飞船从停泊点到完成对接属于从低轨到高轨，即轨道半径增加，可知线速度减小，周期增大，万有引力减小，向心加速度减小，故A、C、D错误，B正确。5．(2022·江苏连云港月考)2022年1月，我国“实践21”卫星成功捕获了失效的同步卫星“北斗2号G2星”，将其移送至比同步轨道更高的“墓地轨道”上，“实践21”卫星又返回同步轨道。则()A．两卫星组合体在同步轨道减速才能到达“墓地轨道”B．“北斗2号G2星”在“墓地轨道”运行的周期小于地球自转周期C．“北斗2号G2星”在“墓地轨道”上的加速度比原轨道上的大D．“实践21”卫星从“墓地轨道”返回同步轨道机械能减小答案D解析卫星从低轨道变轨到高轨道需要点火加速，故两卫星组合体在同步轨道需要加速才能到达“墓地轨道”，A错误；卫星绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))∝eq\r(r3)，可知“北斗2号G2星”在“墓地轨道”运行的周期大于同步卫星的周期，即大于地球自转周期，B错误；根据牛顿第二定律可得eq\f(GMm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)∝eq\f(1,r2)，可知“北斗2号G2星”在“墓地轨道”上的加速度比原轨道上的小，C错误；卫星从高轨道返回到低轨道需要点火减速，点火减速过程卫星的机械能减小，故“实践21”卫星从“墓地轨道”返回同步轨道机械能减小，D正确。6．(2021·江苏南京高三阶段练习)据报道，一颗来自太阳系外的彗星擦火星而过。如图3所示，设火星绕太阳在圆轨道上运动，运动半径为r，周期为T。该彗星在穿过太阳系时由于受到太阳的引力，轨道发生弯曲，彗星与火星在圆轨道的A点“擦肩而过”。已知万有引力常量G，则()图3A．可计算出彗星的质量B．可计算出彗星经过A点时受到的引力C．可计算出火星经过A点的速度大小为v＝eq\f(2πr,T)D．可确定彗星在A点的速度小于火星绕太阳的速度答案C解析由题中条件不可计算出彗星的质量，选项A错误；彗星的质量未知，则不可计算出彗星经过A点时受到的引力，选项B错误；可计算出火星经过A点的速度大小为v＝eq\f(2πr,T)，选项C正确；彗星在A点若要进入火星绕太阳运动的圆轨道，则必须要在A点减速，则可知彗星在A点的速度大于火星绕太阳的速度，选项D错误。7．(2021·江苏扬州市江都区大桥高级中学高三开学考试)“天问一号”是中国自主设计的火星探测器，已于2021年3月到达火星。已知火星直径约为地球直径的50%，火星质量约为地球质量的10%，下列说法正确的是()图4A．“天问一号”的发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度B．火星表面的重力加速度比地球表面的重力加速度大C．“天问一号”在火星表面圆轨道上的绕行速度大于7.9km/sD．火星近地卫星的周期大于地球近地卫星的周期答案D解析“天问一号”脱离地球的引力到火星，但是还在太阳系内，所以其发射速度必须大于地球的第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，故A错误；由g＝eq\f(GM,R2)，可知火星表面的“重力加速度”小于地球表面的重力加速度，故B错误；由万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(GM,R))，则eq\f(v火,v地)＝eq\r(\f(M火,M地)×\f(R地,R火))＝eq\r(10%×2)＝eq\r(0.2)，即v火＝eq\r(0.2)v地<7.9km/s，故C错误；根据万有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R,解得T＝eq\r(\f(4π2R3,GM))，则eq\f(T火,T地)＝eq\r(\f(Req\o\al(3,火),Req\o\al(3,地))×\f(M地,M火))＝eq\r(\f(1,8)×\f(1,10%))＝eq\f(\r(5),2)，所以火星近地卫星的周期大于地球近地卫星的周期，故D正确。8．(2022·江苏南通高三期中)若忽略其他天体的影响，地球和月球可以看成一个双星系统，它们绕着两者连线上某一点做匀速圆周运动。天文学家发现月球正以平均每年3.8cm的速度离开地球，设地球和月球的质量保持不变，则关于此双星系统的说法正确的是()A．双星间的万有引力逐渐增大B．双星的周期逐渐减小C．双星的线速度均逐渐减小D．双星系统的引力势能逐渐减小答案C解析根据万有引力公式F＝Geq\f(Mm,r2)，可知随着地月间距增加，双星间的万有引力逐渐减小，故A错误；根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，随着地月间距增加，月球绕地球做圆周运动的周期将变大，故B错误；根据万有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，随着地月间距增加，月球绕地球做圆周运动的速度将变小，故C正确；双星距离增大的过程中，万有引力对双星做负功，双星系统的引力势能增大，故D错误。9．(2021·江苏扬州高三期中)地球、火星运行到太阳的两侧且三者近乎处于一条直线，这种现象称作“日凌”。如图5所示，2021年9月下旬至10月中旬，火星探测器“天问一号”处在“日凌”阶段，“天问一号”与地球的通信受到太阳电磁辐射干扰，出现不稳定甚至中断。10月中旬“日凌”结束时，火星的位置可能是()图5A．A处 B．B处C．C处 D．D处答案A解析根据开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，知火星的运动半径大于地球，则周期更大，角速度更小，火星和地球均逆时针运动，相同时间内地球运动到十月中旬位置时，火星运动轨迹对应的弧度小于地球运动轨迹对应的弧度，只可能在A位置，故A正确。10．(2022·江苏苏州高三期中)“嫦娥四号”月球探测器成功在月球背面软着陆，这是人类首次成功登陆月球背面。如图6所示，假设“嫦娥四号”在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T。某时刻“嫦娥四号”在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点贴近月球表面飞行，A、O、B三点在一条直线上。已知月球的半径为R，引力常量为G，则()图6A．在轨道Ⅱ上A和B两点的加速度之比为（eq\f(r,R)）2B．在轨道Ⅱ上A和B两点的线速度之比为eq\r(\f(R,r))C．从A点运动到B点的时间为eq\f(（R＋r）T,4r)·eq\r(\f(R＋r,2r))D．月球的平均密度为eq\f(3π,GT2)答案C解析“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上A和B两点的万有引力分别为FA＝Geq\f(Mm,r2)，FB＝Geq\f(Mm,R2)，则加速度之比为eq\f(aA,aB)＝eq\f(\f(GM,r2),\f(GM,R2))＝（eq\f(R,r)）2，故A错误；由开普勒第二定律，有eq\f(1,2)RvBt＝eq\f(1,2)rvAt，整理可得eq\f(vA,vB)＝eq\f(R,r)，故B错误；椭圆轨道的半长轴为a＝eq\f(R＋r,2)，设在椭圆轨道上运行的周期为T1，由开普勒第三定律有eq\f(a3,Teq\o\al(2,1))＝eq\f(r3,T2)，从A点运动到B点的时间为t＝eq\f(T1,2)，解得t＝eq\f(（R＋r）T,4r)eq\r(\f(R＋r,2r))，故C正确；月球的平均密度为ρ＝eq\f(M,V)，“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上绕月球做匀速圆周运动，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，月球的体积可以表示为V＝eq\f(4,3)πR3。联立可得ρ＝eq\f(\f(4π2r3,GT2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)，故D错误。11．(2022·江苏连云港高三期中)2021年5月15日，“天问一号”着陆器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务取得圆满成功。如图7为“天问一号”的地火转移轨道，将火星与地球绕太阳的运动简化为在同一平面、沿同一方向的匀速圆周运动。下列说法正确的是()图7A．火星绕太阳的线速度大于地球绕太阳的线速度B．“天问一号”的发射速度必须大于第三宇宙速度C．“天问一号”在转移轨道上运动的周期大于地球的公转周期D．“天问一号”从A点运动到C点的过程中动能越来越大答案C解析设行星绕太阳的线速度大小为v，轨道半径为r，太阳和行星的质量分别为M和m，则根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，因为火星的轨道半径大于地球的轨道半径，所以火星绕太阳的线速度小于地球绕太阳的线速度，故A错误；由于“天问一号”挣脱了地球引力而并没有挣脱太阳的引力，所以“天问一号”的发射速度介于第二和第三宇宙速度之间，故B错误；“天问一号”转移轨道的半长轴大于地球的轨道半径，根据开普勒第三定律可知，“天问一号”在转移轨道上运动的周期大于地球的公转周期，故C正确；“天问一号”从A点运动到C点的过程中需要克服引力做功，因此动能越来越小，故D错误。12．(2022·江苏南京高三开学考试)如图8甲所示，太阳系中有一颗“躺着”自转的蓝色“冷行星”——天王星，周围存在着环状物质。为了测定环状物质是天王星的组成部分，还是环绕该行星的卫星群，假设“中国天眼”对其做了精确的观测，发现环状物质线速度的二次方即v2与到行星中心的距离的倒数即r－1的关系如图乙所示。已知天王星的半径为r0，引力常量为G，以下说法正确的是()图8A．环状物质是天王星的组成部分B．天王星的自转周期为eq\f(2πr0,v0)C．v2－r－1关系图像的斜率等于天王星的质量D．天王星表面的重力加速度为eq\f(veq\o\al(2,0),r0)答案D解析若环状物质是天王星的组成部分，则环状物质与天王星同轴转动，角速度相同是定值，由线速度公式v＝ωr可得v∝r，与题图乙不符，所以环状物质不是天王星的组成部分，A、B错误；若环状物质是天王星的卫星群，则天王星对环状物质的引力提供环状物质做圆周运动的向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v2＝GMr－1，则有v2∝r－1，由图像特点可知，环状物质是天王星的卫星群，且v2－r－1图像的斜率等于GM，C错误；由v2－r－1的关系图像可知r－1的最大值是req\o\al(－1,0)，则天王星的卫星群转动的最小半径为r0，即天王星的半径是r0，卫星群在天王星的表面运行的线速度为v0，天王星表面的重力加速度即卫星群的向心加速度为eq\f(veq