湖南省多校2023-2024学年高一下学期3月大联考数学试题

2024年上学期高一3月大联考数学本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前.考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷和答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解绝对值不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，即，解得，所以，又，所以.故选：C.2.已知向量，且，则正数（）A. B.2 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由可得，即可求解.【详解】由得，解得或，因为为正数，所以.故选：.3.“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由可知或，则无法判断是否成立，故充分性不成立；当，时满足，但是、均无意义，即不成立，故必要性成立；因此“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D4.已知平面向量，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，再利用投影向量的定义即可求得在上的投影向量的坐标.【详解】在上投影向量的坐标为.故选：B5.将向量绕坐标原点逆时针旋转得到，则（）A.8 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】首先求出，即可得到且，再根据数量积的运算律及定义计算可得.【详解】因为，所以且，所以.故选：B.6.已知的面积为，则（）A.13 B.14 C.17 D.15【答案】C【解析】【分析】先根据三角形的面积公式求出，再利用余弦定理即可得解.【详解】的面积，所以，由余弦定理得，因此.故选：C7.某次军事演习中，炮台向北偏东方向发射炮弹，炮台向北偏西方向发射炮弹，两炮台均命中外的同一目标，则两炮台在东西方向上的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意先求得之间在南北方向上的距离，继而可求得两炮台在东西方向上的距离.【详解】法一：由题意得，在北偏西方向上，之间在南北方向上的距离为，则在东西方向上的距离为，其中，因此，法二：过炮台点作东西方向的水平线交正北方向分别为点，则由图知.故选：A.8.已知函数和的定义域均为，若满足，且与图象的交点为，，，，则（）A.必为奇数，且B.必为偶数，且C.必为奇数，且D.必为偶数，且【答案】A【解析】【分析】由已知可求函数的对称中心，结合函数的对称性即可求解.【详解】由题意可得，且，因此与的图象都关于点对称，即，若，则必有，因此必为奇数，且，因此可知.故选：.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分.9.在中，，则下列说法正确的是（）A.若，则符合条件的有且只有1个B.若，则符合条件的有且只有2个C.若，则符合条件的有且只有2个D.若，则不存在这样的【答案】ABD【解析】【分析】本题考查三角形解的个数问题，可以用两种方法解决，第一种画圆的方法，根据圆与射线的交点个数确定解的个数，第二种方法，由余弦定理得关于的方程，代入的值，根据方程解的个数判断三角形个数.【详解】（解法一）：以为圆心，长为半径画圆，记为圆.如图，时，圆恰与相切，故符合条件的有且只有1个，A正确；如图，当时，圆与射线有两个交点，故符合条件的有且只有2个，B正确；时，圆与射线有两个交点，但其中一个交点为点本身，因此符合条件的有且只有1个，C错误；时，圆与无交点，故不存在这样的，D正确.故选：ABD.（解法二）：设内角的对边分别为，由余弦定理得，即.时，，则有且仅有一个解，故A正确；时，，解得，故B正确；时，，解得（舍去），，故C错误；时，，该方程无解，故D正确.故选：ABD.10.已知函数的最小正周期为，则（）A.B.在上单调递增C.的图象的对称中心为D.是奇函数【答案】BD【解析】【分析】由正切函数最小正周期为，即可判断；由，即可判断；由正切函数的对称中心即可求的对称中心，判断；首先求的解析式，再由函数的奇偶性定义即可判断.【详解】，，故错误；故，当时，，单调递增，故正确；令，，则，，所以对称中心为，故错误；设函数，，，即，，所以函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，且，故是奇函数，故正确.故选：.11.向量积在数学和物理中发挥着重要作用.定义向量与的向量积的模，则下列说法正确的是（）A.B.若为非零向量，且，则C.若的面积为，则D.若，则的最小值为3【答案】AC【解析】【分析】根据题意，结合新定义向量与的向量积的模，三角形的面积公式和向量的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】由定义向量与的向量积的模，对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，可得，即，解得或，所以B错误；对于C中，由，因此，所以C正确；对于D中，由，可得，所以，因为，可得，所以，可得，则，当且仅当时，等号成立，所以，所以D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若非零向量，满足，则_________.【答案】##【解析】【分析】对给定式子进行换元，结合向量数量积的几何意义求解即可.【详解】令，可得，，，则.故答案为：13.在平面直角坐标系中，向量，，正六边形的顶点位于坐标原点，，若，则__________，__________.【答案】①.②.【解析】【分析】设点为正六边形的中心，连接，，，根据题意可知，进而用向量，表示，即可求解.【详解】设点为正六边形的中心，连接，，，由题意得，为直角三角形，，因为，所以，所以，又，因此，即，.故答案为：；.14.设函数，在中，，则周长的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】由，化简得到，再利用正弦定理和辅助角公式，得到，即可求解.【详解】由函数，因为，可得，整理得，即，即，因为，可得，所以，且，由正弦定理，得，当且仅当时取等，因此周长的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若与的夹角为锐角，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先计算出向量，，再根据向量平行列出方程求解即可.（2）先根据与的夹角为锐角得出，且夹角不为，再分别求出和夹角不为时的取值范围即可.【小问1详解】因为所以，.又因为，所以，解得【小问2详解】因，所以.因为与的夹角为锐角，所以，且夹角不为.当时，，解得；当与的夹角为时，，解得，故与的夹角不为时，；综上可得：的取值范围是.16.在中，分别是上的点，且与相交于点.（1）用表示；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，，求出，表达出；（2）根据题意求解，求出的最大值，进而求出的最大值.【小问1详解】设，，因此解得，因此.【小问2详解】由（1）得，，因此，又因为，因此，由，当时，最大为，因此的最大值为.17.在锐角中，内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若是边上一点（不包括端点），且，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到，进而求得，即可求解.（2）不妨设，在中，利用正弦定理，化简得到，根据题意，结合正切函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，又由，可得，所以，所以，解得或（舍去），因为，所以.【小问2详解】解：不妨设，则，在中，可得，因为是锐角三角形，所以且，则，所以，可得，所以，所以.18.已知函数为奇函数.（1）求；（2）若，求满足不等式的最大整数.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数的定义可得结果，（2）利用导数求出的单调性，根据单调性解不等式可得结果.【小问1详解】因为函数为奇函数，所以，即，所以，化简得：解得，经检验均符合题意，所以【小问2详解】依题意有，即，因此当时，；当时，，所以，又，所以，因此满足不等式，因为，所以在上单调递减，因此，即，解得，即.因为，因此满足不等式的最大