2021-2022学年河南省郑州市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省郑州市高二下学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．复数z满足，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.【详解】解：因为，所以，所以z在复平面内所对应的点在第四象限，故选：D2．下面几种推理过程中属于类比推理的是（

）A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则B．科学家对比了火星和地球之间的某些相似特征，已知地球上有生命存在，所以猜测火星上也可能有生命存在C．由，，，，，…，得出结论：一个偶数（大4）可以写成两个质数的和D．在数列中，，，由此归纳出的通项公式【答案】B【分析】利用推理的定义判断.【详解】A.是演绎推理；B.类比推理；C.归纳推理；D.归纳推理.故选：B3．如图所示的是一个结构图，在框①②③中应分别填入（

）A．虚数，整数，分数 B．复数，虚数，整数C．虚数，复数，纯虚数 D．复数，虚数，纯虚数【答案】D【分析】根据复数的分类和虚数的分类，结合结构图的意义得到答案.【详解】复数分为实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，故选：D4．已知x，y，，且，，，则a，b，c三个数（

）A．都小于 B．至少有一个不小于C．都大于 D．至少有一个不大于【答案】B【分析】应用反证法，假设a，b，c三个数都小于，利用得到矛盾结论，即可确定答案.【详解】若a，b，c三个数都小于，则，即，显然不等式不成立，所以a，b，c三个数至少有一个不小于，排除A，而C、D不一定成立.故选：B5．在同一平面直角坐标系中，由曲线得到曲线，则对应的伸缩变换为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设对应的伸缩变换为，得到，代入求解.【详解】解：设对应的伸缩变换为，则，代入，得，又因为变换后为，所以，解得，所以对应的伸缩变换为，故选：C6．已知x，y，，且，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用基本不等式结合对数运算求解.【详解】解：，当且仅当时，等号成立，故选：C7．下列四个命题：①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；②若变量x，y满足关系，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④样本点可能全部不在回归直线上．其中真命题的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据回归模型中的变量关系判断；，故正确；②根据变量x，y满足关系判断；③根据残差图的意义判断；④根据回归模型中的变量关系判断.【详解】①在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定，根据回归模型中的变量关系，故正确；②若变量x，y满足关系，且变量y与z正相关，则x与z负相关，故错误；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，即越接近于回归直线的距离越小，故正确；④样本点可能全部不在回归直线上，根据回归模型中的变量关系，故正确；故选：C．8．已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】利用方程根与系数的关系求解.【详解】解：因为是关于x的方程的一个根，所以方程的另一个根是，所以，解得，所以.故选：B9．用模型拟合一组数据时，设，将其变换后得到回归方程为，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由两边取对数，与，利用待定系数法求解.【详解】解：因为，，所以，又，所以，解得，所以，故选：D10．我们知道：在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，则在空间中，点（1，2，4）到平面的距离为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】类比平面内点到直线的距离求解.【详解】解：点（1，2，4）到平面的距离为：，故选：A11．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图1所示的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图2所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为，如，，，…，则等于（

）A．16 B．32 C．64 D．128【答案】B【分析】由图分析得到第行且所有项均为奇数，判断对应第31行是否存在使，即可得结果.【详解】由杨辉三角几何排列分析知：第行且所有项均为奇数，而对应第31行，令，可得，所有第31行所有数字均为奇数，则.故选：B12．已知曲线（为参数）上任一点，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，利用三角恒等变换及正弦型函数的性质求范围，根据恒成立求参数范围.【详解】由题设，令，则，所以，又对任一点都成立，故.故选：A13．若不等式有解，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据绝对值的三角不等式可得，再根据基本不等式求的最小值即可【详解】由，当且仅当时取等号，故的最小值为4，故若不等式有解，则故选：A14．计算器是如何计算，，，，等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如，，其中，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的和的值也就越精确．运用上述思想，可得到的近似值为（

）A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56【答案】C【分析】将化为，根据新定义，取代入公式中，直接计算取近似值即可．【详解】由题意可得，，故.故选：．二、填空题15．复数的共轭复数为______．【答案】i+1【分析】先利用复数的乘方和除法运算化简，再利用共轭复数的概念求解.【详解】解：因为，所以其共轭复数为，故答案为：16．用最小二乘法得到一组数据（其中、2、3、4、5）的线性回归方程为，若、，则当时，y的预报值为______．【答案】23【分析】由已知可得，根据样本中心求参数，进而应用回归直线估计的预报值.【详解】由题设，，而样本中心在回归直线上，所以，得，故，则，有.故答案为：2317．将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项，三项分组．得到分组序列如下：，…．称为第1组，为第2组，以此类推，则原数列中的2021位于分组序列中第________组．【答案】405【分析】将两个括号作为一组，则每组中有5个数，先找出2019所在的位置，然后确定2021所在的位置.【详解】由题意，将两个括号作为一组，则每组中有5个数，因为2019=1+2×（1010-1），根据等差数列通项公式可知，2019是第1010个奇数，在第1010÷5=202组中，是第2个括号内最后一个数，所以2019是第202×2=404个括号内的数，而2021是第1011个奇数，所以在第405个括号内.故答案为：405.18．已知a，b，，且，，，则a，b，c的大小关系是______．【答案】【分析】在同一坐标系中作出函数，，的图象求解.【详解】解：在同一坐标系中作出函数，，的图象，如图所示：由图象知：，故答案为：.三、解答题19．已知复数，且，其中为虚数单位．(1)求复数z；(2)已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形ABCD，复数，，在复平面内对应的点分别为A，B，C，求点D对应的复数．【答案】(1)(2)【分析】（1）化简，再根据实数的定义求解即可（2）根据复数的运算求得，，，再根据平行四边形中计算即可【详解】(1)因为，则，所以，所以，又，所以，所以．(2)由题意可知，，，所以，，．设，又ABCD为平行四边形，则，即，解得，故．点D对应的复数为．20．某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个智慧课堂项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试，经过一个阶段的试用，为了解智慧课堂对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“任意角和弧度制”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：甲校乙校使用智慧课堂不使用智慧课堂使用智慧课堂不使用智慧课堂基本掌握30305030没有掌握10151025试用频率估计概率，并假设每位学生是否掌握“任意角和弧度制”知识点相互独立．(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的概率；(2)完成下面列联表，并分析是否有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有关？使用智慧课堂不使用智慧课堂合计基本掌握没有掌握合计【答案】(1)；(2)填表见解析；有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有关.【分析】（1）应用古典概型的概率求法求概率即可.（2）根据题设完成列联表，再由卡方公式求卡方值并比对临界值，结合独立检验的基本思想得到结论.【详解】(1)在两所学校被调查的200名学生中，对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的学生有140人，所以估计从两校高一学生中随机抽取1人，该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的概率为．(2)使用智慧课堂不使用智慧课堂合计基本掌握8060140没有掌握204060合计100100200，所以有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有关．21．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的方程为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线，的极坐标方程；(2)若射线分别交，于A，B两点（点A异于极点），求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先根据表示圆求得的直角坐标，再根据极坐标与直角坐标的互换公式求得曲线，的极坐标方程即可；（2）根据极坐标系中的几何意义，联立与，的极坐标方程，进而求得即可【详解】(1)曲线表示圆心为，半径为2的圆，故直角坐标方程为，即，故曲线的极坐标方程，即：，曲线的极坐标方程为：，即．(2)由题意可知，，，故．22．已知函数，，且的解集为．(1)求m的值；(2)设a，b，c为正数，且，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解；（2）利用柯西不等式求解.【详解】(1)由，得，所以又的解集为，所以解得．(2)由（1）知，由柯西不等式得，所以，当且仅当，，时等号成立．23．用分析法证明：对于任意a、，都有．【答案】证明见解析.【分析】利用分析法，将问题转化为证，再应用作差法证明结论即可.【详解】证明：要证，即证，因为a、，则，，，，因为，因此，．24．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为．(1)若点M为曲线上的动点，求点M到直线l的距离的最小值；(2)倾斜角为的曲线过点，交曲线于A，B两点，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由得到曲线的普通方程，进而得到曲线的参数方程，然后利用点M到直线l的距离求解；（2）易知的参数方程为（为参数），利用参数的几何意义求解.【详解】(1)解：由得，曲线的普通方程为，可知曲线的参数方程为（为参数），设点M的坐标为，所以点M到直线l的距离：．当时，．(2)曲线的参数方程为（为参数），代入曲线得：，设A，B两点对应的参数分别为，，则，，，异号．所以，.25．已知函数．(1)当时，求的解集；(2)，若对，使得成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）将函数化成分段函数，再分段讨论求解不等式作答.（2）利用绝对值的三角不等式求出最小值，再求出最小值，然后利用已知建立不等式，求解作答.【详解】(1)当时，，当时，，解得，无解，当时，，解得，则，当时，，解得，则，所以原不等式的解集为．(2)当时，，当且仅当时取“=”，即，而当时，，因此，因为对，使得成立，从而得，因为，则有，解得或，所以实数a的取值范围为．26．目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．为了应对最新型的奥密克戎病毒，各大药物企业积极投身到新疫苗的研发中．某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系．刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据，，表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y关于x的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；模型②：由样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，令，则有，，，．(1)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；(2)根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠；(3)根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，临床疗效评价指标A相对于用药半个月的变化情况（一