2023海淀区初三数学期末试卷及答案

初三第一学期期末学业水平调研

数学

2023.01

学校姓名准考证号

1.本调研卷共8页，满分100分，考试时间120分。

注

2.在调研卷和答题纸上准确填写学校名称，姓名和准考证号。

意

3.调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。

事

4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

项

5.调研结束，请将本调研卷和答题纸一并交回。

一、选择题(本题共16分，每小题2分)

1.抛物线y=(x-+3的顶点坐标为

A.(1,3)B.(-1,3)C.(-1,-3)D.(3,1)

2.如图，在平面直角坐标系，中，点P(4,3),OP与x轴正半轴的

夹角为a，贝(ltana的值为

3二4

A.一B.-

55

-34

C.一D.一

43

3.方程V-x+3=0的根的情况是

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

4.如图，一块含30。角的直角三角板绕点。顺时

针旋转到△A^C,当5,C,AC在一条直线上时,

三角板ABC的旋转角度为

A.150°B.120°

C.60°D.30°

2

5.如图，在平面直角坐标系工⑦中，8是反比例函数y=*(x>0)的图

x

象上的一点，则矩形043c的面积为

A.1B.2

C.3D.4

6.如图，在中，DE//BC,且QE分别交AB,AC于点。，E,

若AD:Afi=2:3,则△ADE和△MC的面积之比等于

A.2:3B.4:9C.4:5D.垃:垂）

7.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时，双翼

边缘的端点A与8之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=»54cm,且与闸机侧立面夹

角/PC4=/8OQ=30。.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为

图1图2

A.（54>^+10）cmB.（54夜+10）cm

C.64cmD.54cm

8.在平面直角坐标系xQy,中，四条抛物线如图所示,

其解析式中的二次项系数一定小于1的是

A.必B.y2

C.%D.

二'填空题（本题共16分，每小题2分）

9.方程/-3x=0的根为.

10.半径为2且圆心角为90。的扇形面积为.

11.已知抛物线的对称轴是x=〃，若该抛物线与x轴交于（1。），⑶0）两点，则〃的值为.

12.在同一平面直角坐标系中，若函数y=x与y=K（ZxO）的图象有两个交点，则左的

取值范围是.

13.如图，在平面直角坐标系X。)，中，有两点A(2,4),8(4,0),

以原点0为位似中心，把△。钻缩小得到^OA!8.若B'的坐

标为(2,0),则点4的坐标为.

14.已知(-1,y),(2,%)是反比例函数图象上两个点的坐标，且请写出一个符

合条件的反比例函数的解析式.

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(3,0),判断在

M,N,P,。四点中，满足到点。和点A的距离都小于2的

点是.

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线＞=2上的一

个动点，。。的半径为1,直线0。切。P于点。，则线

段。。的最小值为.

三'解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28

题，每小题7分)

17.计算：cos45"-2sin30°+(-2)°.

18.如图，与交于。点，？4?C,AO=4,CO=2,CD=3,求XB的长.

19.己知x=〃是关于x的一元二次方程，nr?-4x-5=0的一个根，若加“2_4〃+6=6,求

m的值.

20.近视镜镜片的焦距y(单位：米)是镜片的度数x(单位：度)的函数，下表记录了一

组数据:

X（单位：度）

y（单位：米）

（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是,

（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为米.

21.下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：如图，。。及。。上一点P.

求作：过点P的（DO的切线.

作法：如图，-----、

①作射线OP;

②在直线OP外任取一点A,以点4为圆心，AP为半径作。4,与射线OP交于

另一点B-,

③连接并延长BA与。A交于点C:

④作直线PC-.

则直线PC即为所求.

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：；3c是。A的直径，

：.ZBPC^90°（）（填推理的依据）.

：.OPLPC.

又：。尸是。。的半径，

...PC是。。的切线（）（填推理的依据）.

22.2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大

桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人

工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的

大桥上的一点，A,B,C在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向

航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得期,PB与观光船航向尸。的夹角/

DPA=IS°,NDPB=53°,求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长.

参考数据：sinl8°®0.31,cosl8°»0.95,tan18°《0.33,

sin53°«0.80,cos53°«0.60,tan53°«1.33.

四人工典I东人工岛

港珠澳大桥主傣

‘油门.，加”[・以

23.在平面直角坐标系x0y中，已知直线)=,左与双曲线y=X的一个交点是A(2,a).

2x

(1)求上的值；

(2)设点PQ九，〃)是双曲线y二人上不同于A的一点，直线R1与x轴交于点B(Z?,O).

①若m=1,求6的值；

@^PB=2AB,结合图象，直接写出6的值.

5

4

3

2

-5-4-3-2-2345x

-2

-3

-4

-5

24.如图，A,B,C为。O上的定点.连接A3,AC,M为A3上的一个动点，连接CM,

将射线MC绕点M顺时针旋转90,交。。于点D,连接BO.若AB=6cm,AC=2cm,

记A,M两点间距离为xcm,B,。两点间的距离为ycm.

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小东探究的过程，请补充完整：

(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：

%/cm00.250.47123456

y/cm1.430.6601.312.592.761.660

(2)在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数

的图象;

y

(3)结合画出的函数图象，解决问题：当B£)=AC时，AM的长度约为cm.

25.如图，AB是。。的弦，半径。后人45,尸为AB的延长线上一点，PC与。。相切于点

C,CE与AB交于点F.

(1)求证：PC=PF；

3

(2)连接08,BC,若OB/IPC,BC=3叵,tanP=-,求F8的长.

4

26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y=4x2-8ar+4«2-4,A(—l,0),N(〃,0).

(1)当a=1时，

①求抛物线G与x轴的交点坐标；

②若抛物线G与线段4V只有一个交点，求〃的取值范围；

(2)若存在实数a,使得抛物线G与线段4V有两个交点，结合图象，直接写出〃的取

值范围.

V

5

4

3

2

-5-4-3-2-102345x

-2

-3

-4

-5

27.已知在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,直线/经过点A(不经过点B或点C),点C关

于直线/的对称点为点。，连接BO,CD.

(1)如图1,

①求证：点民C,。在以点A为圆心，A3为半径的圆上.

②直接写出N2DC的度数(用含a的式子表示)为.

(2)如图2,当a=60。时，过点。作2。的垂线与直线/交于点E,求证：AE=BD；

(3)如图3,当a=90。时，记直线I与CD的交点为F,连接BF.将直线/绕点A旋

转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出tanZfBC的值.

图1图2图3

28.在平面直角坐标系中，已知点A(O,a)和点仇〃,0),给出如下定义：以他为边，

按照逆时针方向排列A,B,C,。四个顶点，作正方形MCD,则称正方形MCD为

点A,B的逆序正方形.例如，当。=-4,8=3时，点A,8的逆序正方形如图1所

示.

(1)图1中点C的坐标为；

(2)改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的坐标不变(填“横”或“纵”),

它的值为；

(3)已知正方形ABC£>为点A,B的逆序正方形.

①判断：结论“点C落在x轴上，则点。落在第一象限内."(填“正确”

或“错误”)，若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反

例；

②。T的圆心为7«,0),半径为1.若a=4,b>Q,且点C恰好落在。T上，直

y

5

4

3

2

I-

IIIII__________L

-5-4-3-2-1(912345元

-2-

-3-

-4-

接写出/的取值范围.

备用图

初三第一学期期末学业水平调研

数学试卷答案及评分参考

一'选择题（本题共16分，每小题2分）

题号12345678

答案ACCABBCA

第8题：二次函数a的绝对值的大小决定图像开口的大小，Ia|越大，开口越小，显然

ai<a2-a3<a4,.可知ai最小。

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.%=0,々=310.q11._2_12.左>013.（1）2）

14.答案不唯一，如：y=—15.M,N16.6

X---------

第16题：OQ2=Op2-l,OP最小时，OQ最小，OPmin=2,：.OQmin=^/3

三'解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28

题，每小题7分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程.

17.（本小题满分5分）

正

原式-

2—2x—+1.................................................3分

2

立

-

2..........................................................5分

18.（本小题满分5分）

证明：VZA=ZC,ZAOB=ZCOD,

：./^OB^/XCOD............................................3分

.AOAB

^~CO~'CD'

VAO=49CO=ZCD=3,

AB=6...........................................................5分

19.（本小题满分5分）

解：依题意，得〃川-4〃-5=0...........................................3分

mrr-4〃=5.

,5+机=6.m=\.5分

20.（本小题满分5分）

解：（1）B.................................................................3分

（2）0.50............................................................5分

21.（本小题满分5分）

（1）补全的图形如图所示：

...............................3分

（2）直径所对的圆周角是直角；...........................................4分

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线..................5分

22.（本小题满分5分）

解：在中，

An

,：tanZDPA^——，

PD

：.AD=PDtanZDPA................................................2分

在RtZ\D/）8中，

VtanZDPB=—,

PD

BD=PD-tanZDPB...............................................4分

AAB=BD-AD=PD(tanNDPB-tan乙DPA).

VAB=5.6,ZDPB=53°,ZDPA=18°,

；.PD=5.6.........................................................5分

答：此时观光船到大桥AC段的距离PD的长为5.6千米.

23.（本小题满分6分）

解：（1）•.•直线y=gx经过点A（2,a）,

.,.«=1..................................................1分

A(2,l)

又•.•双曲线y=与经过点A,

X

/.k=2...........................................................2分

（2）①当m=1时，点0的坐标为（L2）.

直线24的解析式为y=—x+3..................................3分

直线与x轴交于点8(。，。)，

=3.............................................4分

②0=1或3......................................................6分

24.(本小题满分6分)

解：本题答案不唯一，如：

(1)

x/cm00.250.47123456

yleva1.430.6601.312.592.762.411.660

........................................................................1分

(2)

.........................................................................4分

(3)1.38或4.62...................................................6分

说明：允许(1)的数值误差范围h).05;(3)的数值误差范围±0.2

25.(本小题满分6分)E

(1)证明：如图，连接OC._____________

OELAB,ry

：.ZEGF=90°.o[\//

VPC与00相切于点C,\

：.NOCP=90。..............1分

：.ZE+ZEFG=ZOCF+ZPCF=9Q°.

•：OE=OC,

：.ZE=ZOCF................................................2分

:.NEFG=NPCF.

又；ZEFG=ZPFC,

：.ZPCF=ZPFC.

：.PC=PF....................................................3分

(2)方法一:

解：如图，过点B作BH上PC于点H.

'：OB//PC,ZOCP=9QP,

：.ZBOC=90°.

'：OB=OC,

：.NOBC=NOCB=45°.

:.NBCH=NOBC=45；

在RtABHC中，BC=3五,

可得B"=3Csin45°=3,CH=BCcos45°=3......................4分

3

在产中，tanP=-,

4

可得PH=^-=4..........................................................................5分

tanP

BP7PH2+BH。=5.

PC=PH+CH=7.

：.PF=PC.

：.FB=PF-PB=PC-PB=2.........................................................6分

方法二:

解：如图，过点C作。/LAP于点

,?OB//PC,NOCP=90°,

AZBOC=90°.

•：OB=OC,

:.NOBC=NOCB=45°.

在RtZ\OBC中，BC=3近,

可得O8=3Csin45°=3.................................................................4分

OE=OB=3.

■:NGBO=NP,tanP=-,

4

3

，tanZGBO=~.

4

在RtMBO中，tanZCBO=—,OB=3.

GB

9I?

AOG=-GB=—.........................................................................5分

595

:.EG=OE-OG=§.

5

在RtZ\C”P中，tanP=-,CH2+PH2=PC2.

PH

设C”=3x,则PH=4x,PC=5x.

•・・PC=PF,

・・.FH=PF-PH=x.

VZEFG=ZCFH,ZEGF=ZCHF=90,

・・・/\EGFs/\CHF

.FG_FH_1

：.FG=-EG=~.

35

FB=GB-FG=2........................................................................6分

方法三：

解：如图，过点C作CHLAP于点”，连接AC.

OB//PC,NOCP=90%

，ZBOC=90°.

：.ZA=-ZBOC=45°.........................................4分

2

在中，tanP=——=-,

PH4

设CH=3x,则P”=4x,PC=5x.

在RtAAf/C中，ZA=45°,CH=3x,

：.AH=CH=3x,AC=3>/2x.

：.PA=AH+PH=7x.....................................................................5分

•：4=ZP,NPCB=ZA=45°,

:.APCBsAPAC.

.PBPC_BC

"'~PC~~PA~~AC'

'：BC=3近,

7

x=—,PC=7,PB=5.

5

■:PF=PC,

：.PF=1.

FB=PF-PB=2....................................................................6分

方法四：解：如图，延长CO交4P于点M.

,/OB//PC,NOCP=90。，

AZBOC=90°.

在Rt/XOBC中，BC=3叵,OB=OC,

4/MVy

可得。8=3.....................................4分/\<\X\\X7

c

3

■:4MBO=4P,tanP=-,

4

/.tanZMBO=-.

4

在RtAMBO中，tmZMBO=^-=-,

OB4

oIs

可得OM=一，BM=—..................................................................5分

44

:.CM=—,

在RtZ\PCM中，tanP=——=-

PC4

35

可得PC=7,PM=—.

4

:.PB=PM-BM=5,PF=PC=7.

：.FB=PF-PB=2................................................6分

26.（本小题满分6分）

解：（1）①当。=1时，y-4x2-8x..................1分

当y=0时，4X2-8X=0,

解得％=0,x2—2.

抛物线6与工轴的交点坐标为（0,0）,（2,0）.

....................................................2分

②当〃=0时，抛物线G与线段AN有一个交点.

当〃=2时，抛物线G与线段AN有两个交点.

结合图象可得04”<2....................4分

(2)三一3或...................................................6分

(2)解析：

y=4x?-8ax+4a2-4,y=2（x-a尸-4,

，顶点（a,-4）,xi=a+l,x2=a-l

若抛物线与x轴交于E、F两点，则EF=|xi-x2|=2

AN=IXA-XNI=In+1I

AN》EF时，线段AN与抛物线G有两个交点，即n<-3或n2l。

27.(本小题满分7分)

(1)①证明：连接A。，如图1.

•.•点C与点。关于直线/对称，

:.AC=AD.1分

'：AB=AC,

图1

，AB=AC=AD.

...点8C,。在以A为圆心，A5为半径的圆上................2分

②L.................................3分

2

(2)证法一：

证明：连接CE,如图2.

,/ez=6O0,

ZBDC=-a=30°.

2图2

•/DE±BD,

：.ZCDE=90°-ZBDC=60°.

•.•点C与点。关于直线/对称，

EC=ED.

.••△CDE是等边三角形.

....................................................................................................................................4分

ACD=CE,ZDCE=60°.

VAB=AC,Zfi4C=60°,

...△ABC是等边三角形.

ACA=CB,ZACB=60°.

VZACE=ZDCE+ZACD,ZBCD=ZACB+ZACD,

：.ZACE=ZBCD.

：.AACEdBCD.

AE=BD...........................................................................................5分

证法二：

证明：连接AQ,如图2.

•.•点C与点。关于直线/对称,

AAD=AC,AE.LCD.

：.ADAE=-ADAC.

2

图2

,：ZDBC^-ZDAC,

2

ZDBC=ZDAE.

VAE1CD,BDLDE,

ZBDC+4CDE=NDEA+ZCDE=90°.

:.ZBDC=ZDEA.

VAB=AC,ZBAC=60°,

.••△ABC是等边三角形.

，CA=CB=AD.

：.△88岭AADE.......................................4分

AAE=BD...............................................6分

(3)-.............................................................7分

3

(3)解析：

方法一：。是AC中点，BO+OF2BF,设BC=4,BO=J10QF=J2,即BFmax=J10+J2,

此时tan/FBC=l/3。

方法二：以AC为直径作圆O,ZAFC=90°,；.F必在。O上，又，圆外一点到圆上最长距

离经过圆心，，B、O、F三点共线时BF最长。计算如上。

27(3)海淀

“C

取AC中点,B.0.F共线时,BF最大,

tannFBC=1/3

28.