2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛B卷）暨全国高中数学联合竞赛一试及加试试题（含解析）

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛B卷）暨全国高中

数学联合竞赛一试及加试试题（B）卷

一'填空题（本大题共8小题，共64.0分）

1.函数y=log2（）23（/-9%-10）的定义域为.

2.若实数M满足22m=4c，则m的值为.

3.若双曲线用最-\=l（a,b>0）的离心率为3,则双曲线心:《一圣=1的离心率为.

4.设n为正整数.从1,2,…，ri中随机选出一个数a,若事件“2<。S4”发生的概率为|,

贝M的所有可能的值为.

5.平面上五点4,B,C,D,E满足荏=前=而，瓦？•丽=4,而•正=5,正•丽=8，

则说•前的值为.

6.将所有非完全平方的正奇数与所有正偶数的立方从小到大排成一列（前若干项依次为3,5,

7,8,11,13,■■■）,则该数列的第2023项的值为.

7.设P-4BCD与Q-4BCD为两个正四棱锥，且ZPAQ=90。，点M在线

段4c上，且CM=3AM.将异面直线PM,QB所成的角记为0,则cos。的最大

可能值为.

8.七张标有4,B,C,D,E,F,G的正方形卡片构成下图.现逐一取走这些卡

片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如

可按。，A,B,E,C,F,G的次序取走卡片，但不可按D,B,A,E,C,F,G的次序取走

卡片），则取走这七张卡片的不同次序的数目为.

二、解答题（本大题共3小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

9.（本小题16.0分）

将方程sinx+COSX-的所有正实数解从小到大依次记为,%2,芯3,….求X]+%2+…+x20

的值.

10.（本小题20.0分）

平面直角坐标系中，圆0与x轴、y轴均相切，与椭圆八盘+5=l（a>b>0）有唯一的公共

点4（8,9）,且0的圆心位于厂内.试比较0的直径与「的焦距的大小.

11.（本小题20.0分）

求出所有满足下面要求的不小于一1的实数t：对任意a6[—2,t],总存在b,ce[-2,t],使得

ab+c=1.

答案和解析

1.【答案】U(10,+8)

【解析】解：由X2-9X-10=(X+1)(X-10)>0,解得x6u(10,+8).

2.【答案】—1

【解析】解：由于22nl=4仆=22X4"',故2m=2x4m,两边约去2mo0)得1=26+1.

所以m=—1.

3.【答案】双工

4

【解析】解：设c=7。2+炉,则G的离心率ei=：,心的离心率e2=余

因此5+3=挈=1.由S=3知2=得e2=女？.

4.【答案】12和18

【解析】解：注意到2<，々=4,a为正整数,即a6｛5,6,…,16｝.

根据条件，显然nN5.

当5WnW16时，有?=|，得n=12.

当nN17时，有马得n=18.

综上，n的所有可能的值为12和18.

5.【答案】3

【解析】解：记说:E，正=己由条件知前=2方一3ED=2c-b，于是

EAED=(2b-c)(2c-b)=5bc-2b2-2c

=3b-c-b-(2b-c)-c-(2c-b)

=3EB-EC-EA-EB-EC-ED

=3x5-4-8=3.

6.【答案】4095

【解析】解：用｛an｝表示题述数列.前2023个正奇数依次为1,3,5,4045,其中恰

有仰,32,…，632这32个完全平方数，而在小于4045的正整数中恰有23,43,143这7个偶

立方数.因此4045是｛斯｝的第2023-32+7=1998项.

进而(12023=01998+2x25=4095(注意652>4095且163>4095).

7.【答案】|

【解析】解：设正方形力BCD的中心为0,由条件知PQ垂直平面4BCD于点0,又

4PAQ=9。。,由射影定理知0P-0Q=。炉.显然0在P,Q之间.

以。为原点，0A，0B，赤方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

不妨设4(1,0,0),8(0,1,0),P(0,0,a),Q(0,0,-6(a>0).

易知M(；,0,0),因此由=(；,0,-a),QB=(0,1,i).

八\PMQB\1,1-2

所以8s8=丽丽=\"吟。+,广千+1=5

当a=?时，cos。取到最大可能值全

8.【答案】164

【解析】解：如左下图重新标记原图中的七张卡片.现将每张卡片视为顶点，有公共

边的两张卡片所对应的顶点之间连一条边，得到一个七阶图，该图可视为右下图

中的m+n+2阶图G(m,n)在m=2,n=3时的特殊情况.

•m>2°1012

'G(nbn)

P

取卡片(顶点)的规则可解释为：

⑴若顶点P已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完；

(")若顶点P未取走，则必为某个20)的情形，此时若巾=0,

则将P视为一1号顶点，归结为⑷的情形;若mH0,n=0,则将P视为1号顶点,

归结为(i)的情形;若m，n21，则当前可取P或-ni号顶点或n号顶点，分别归

结为⑴或G(ni-l,n)或-1)的情形.

设G(m,n)的符合要求的顶点选取次序数为本题所求即为f(2,3).

由(i)、(ii)知/(m,0)=2机+1(m之0),/(0,n)=2n+1(n>0),且

f(m,n)-2m+n+f(m—l,n)+f(m,n—l)(m,n>1)>

由此可依次计算得/(l,1)=12,/(l,2)=/(2,1)=28,f(1,3)=60,f(2,2)=72,

f(2,3)=164,即所求数目为164.

9.【答案】解：由于sinx+cosx=，^sin(x+力，原方程等价于sin(x+力=.所以

x+3=2/OT+7或2/OT+系(kCZ)

其中所有正实数解为X=2/OT-覆k=1,2,…)或X=2kn+^(k=0,1,-).故

IN1Z

X2m-1=2(m-1)71+萼，X2m-2mn-^(m=1,2,…).

从而

Xl+%2+…+》20=W(>2m-1+%0=^[2(m-l)7T7nre

+通+2加”变]

m=lm=l

=£i?=i(4m兀—|TT)=4zr•1°”—|TT-10=205TT.

【解析】略

10.【答案】解:根据条件，可设圆心为P(r,r),则由|P*=7知。一8)2+。-9)2=从

解得r=5或r=29.因为P在「内，故r=5.

椭圆门5点做8,9)处的切线为啥+卷=1,其法向量可取为记=塌?).

由条件，/也是圆。的切线，故五与刀平行，而刀=(3,4)，所以叁=争.

又胃+3=1，解得a?=160,b2—135.

从而「的焦距为2Va?-b2=10.乂。的直径为2r=10,故0的直径与r的

焦距相等.

【解析】略

11.【答案】解：当t=-1时，对任意ae[—2,-1],取b—c=—1,则b,c6[—2,—1],

且ab+c=2-l=l,满足要求.

当一l<t<0时，取a=3则对任意b,