山东省临沂市兰山区2023-2024学年数学九年级上册期末统考模拟试题含解析

山东省临沂市兰山区2023-2024学年数学九上期末统考模拟试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，水平地面上有一面积为30万cn?的灰色扇形OAB,其中OA=6cm,且OA垂直于地面.将这个扇形向右滚动

（无滑动）至点B刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点O移动的距离是（）

A.-3和5B.-4和5C.-4和-3D.-1和5

3.如图，OC过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点.已知N0BA=30°,点D的坐标为（0,2）,则。C半径是（）

4.“黄金分割”是一条举世公认的美学定律.例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐.目前,

照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版.要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画

面中的位置（）

B.②D.④

5.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径。3=10,水面宽AB=12,则截面圆心。到水面的距离。。是

A.3B.4C.373D.8

6.下列事件中，是必然事件的是（）

A.明天一定有雾霾

B.国家队射击运动员射击一次，成绩为10环

C.13个人中至少有两个人生肖相同

D.购买一张彩票，中奖

7.一个袋内装有标号分别为1、2、3、4的四个球，这些球除颜色外都相同.从袋内随机摸出一个球，让其标号为一

个两位数的十位数字，放回摇匀后，再从中随机摸出一个球，让其标号为这个两位数的个位数字，则这个两位数是偶

数的概率为（）

1135

A.—B.-C.-D.—

24816

BM4

8.如图，在RtZkABC中，NAC8=90。，AC=6,BC=S,点M是A5上的一点，点N是C8上的一点，——=一,

CN3

当NCAN与△CM3中的一个角相等时，则的值为（）

C.|或6

D.4或6

9.如图，AB1.BD,CDLBD,垂足分别为8、D,AC和80相交于点E,E/丄80垂足为尸.则下列结论错误的是

)

10.如图所示，抛物线y=o?+云+c（awO）的对称轴为直线x=l,与）'轴的一个交点坐标为（0,3）,其部分图象如

图所示，下列结论：

②4«+c>0；

2

③方程ax+bx+c-3的两个根是-V1=0,x2=2■

④方程办2+历c+c=0有一个实根大于2；

⑤当x<0时，丁随x增大而增大.

其中结论正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.在RtAABC中，NC=90。，AB=4,BC=3,贝UsinA的值是.

12.如图，在半径为2的OO中，弦48丄直径垂足为E,ZACD=30°,点尸为OO上一动点，CT丄AP于点F.

①弦AB的长度为；

②点尸在。。上运动的过程中，线段。厂长度的最小值为.

——a2a—2h亠亠=

13.已知：-=则——的值是_______.

b3a+2b

14.一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面不是.

15.如图，在平面直角坐标系中，菱形0A8C的面积为12,点B在y轴上，点C在反比例函数产&的图象上，则A

的值为.

16.用反证法证明命题“若。。的半径为r,点尸到圆心的距离为d,且d>r,则点尸在。。的外部”，首先应假设P

在__________.

17.如图，抛物线,=翻2+法+。（a,b,c,是常数，。。0）,与x轴交于A,8两点，顶点P的坐标是（，〃,〃），给出下

311

列四个结论：®a+b>0；②若（一5，另），（一5，%），（^,为）在抛物线上，则,>%>%；③若关于x的方程

以2+陵+左=0有实数根，则左2。一〃；④2a+c>0,其中正确的结论是.（填序号）

18.如图，在平面直角坐标系中，等腰RtAOAiBi的斜边04=2,且在x轴的正半轴上，点为落在第一象限内.将

口△。4山1绕原点。逆时针旋转45°,得到Rt4O42&,再将RtZ\（M232绕原点。逆时针旋转45°,又得到

RtAOA3B3,……，依此规律继续旋转，得到RtZ\Q42oi982oi9,则点B2019的坐标为.

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点都在格点上(每个小方格都是边长为一个单位长度的正

方形).

(1)请画出AA6C关于原点对称的AAIBIG；

(1)请画出A45c绕点5逆时针旋转90。后的AAiBiG.

20.(6分)如图所示，线段43=5,4)=4,NA=90°,DPAB,点C为射线OP上一点，3E平分NA8C交

线段AD于点£(不与端点A,。重合).

(1)当NABC为锐角，且tanZ45c=2时，求四边形ABC。的面积；

(2)当AABE与AfiCE相似时，求线段。。的长；

(3)设CO=x,DE=y,求》关于x的函数关系式，并写出定义域.

21.(6分)如图①，在平行四边形QMC中，以。为圆心，Q4为半径的圆与8C相切于点8,与OC相交于点。.

图②

(1)求厶OC的度数.

(2)如图②，点E在。上，连结CE与。交于点尸，若EF=AB,求NOCE的度数.

22.(8分)如图，CO为一。的直径，AB、为。。上的两条弦，且8丄于点尸，AOVBC,交A。延长

线于点E,04=1.

(1)求NOCB的度数;

(2)求阴影部分的面积

23.(8分)如图，已知A,3,。均在上，请用无刻度的直尺作图.

(1)如图1,若点。是AC的中点，试画出£)8的平分线;

(2)如图2,若BO//AC.试画出NA8C的平分线.

l,x/24_Jg

24.（8分）计算或解方程：（1）（2-V3）2++2sin30°xtan60°

v2

⑵2X2+%-6=0

25.(10分)如图，ZiABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD=AC,联结BD、

CD,BD交直线AC于点E.

D

(1)当NCAD=90。时，求线段AE的长.

(2)过点A作AH丄CD,垂足为点H,直线AH交BD于点F,

①当NCADU20。时，设=y(其中S叱五表示^BCE的面积，S.女「表示4AEF的面积)，求y关于

\AEF

X的函数关系式，并写出X的取值范围；

②当簪L=7时，请直接写出线段AE的长.

26.(10分)定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，

那么称这样的菱形为自相似菱形.

(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？

①正方形是自相似菱形；

②有一个内角为60。的菱形是自相似菱形.

③如图1,若菱形ABCD是自相似菱形，ZABC=a(0°<a<90°),E为8c中点，则在△A8E,△AE。，△EOC中，相

似的三角形只有△A5E与△AE0.

(2)如图2,菱形A8CZ)是自相似菱形，NABC是锐角，边长为4,E为8c中点.

①求AE,OE的长；

②AC,BO交于点O,求tanNO3c的值.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1,A

【解析】如下图，在灰色扇形OAB向右无滑动滚动过程中，点O移动的距离等于线段AiBi的长度，而AiBi的长度

等于灰色扇形OAB中弧的长度/,

,**S/xOA—30^,OA=6,

22

."=10乃（cm）,即点O移动的距离等于：10乃cm.

故选A.

点睛：在扇形沿直线无滑动滚动的过程中，由于圆心到圆上各点的距离都等于半径，所以此时圆心作的是平移运动,

其平移的距离就等于扇形沿直线滚动的路程.

2、B

【解析】先求出二次函数的对称轴为直线x=-l,然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可.

【详解】•.•二次函数y=(x+D24

对称轴是：x=-l

Va=-l>0,

时，y随x的增大而增大，xV-1时，y随x的增大而减小，

由图象可知：在-2WxW2内，x=2时，y有最大值，y=(2+1)2-4=5,

x=-l时y有最小值，是-4,

故选B.

【点睛】

本题考査了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键.

3、B

【解析】连接AD

VZA0D=90°,；.AD是圆的直径.

在直角三角形AOD中，ND=NB=30°,0D=2,

.•.AD=_22_=递，则圆的半径是厶5.

cos30033

故选B.

点睛：连接AD.根据90°的圆周角所对的弦是直径，得AD是直径，根据等弧所对的圆周角相等，得ND=NB=30°,

运用解直角三角形的知识即可求解.

4、B

【解析】黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为

0.618,观察图中的位置可知应该使小狗置于画面中②的位置，

故选B.

5、D

【分析】根据垂径定理，OC丄AB,故OC平分AB,由AB=12,得出BC=6,再结合已知条件和勾股定理，求出OC

即可.

【详解】解:VOC±AB,AB=12

二BC=6

,••03=10

OC=do片一BC?=7102-62=8

故选D.

【点睛】

本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，能够熟悉定理以及准确的运算是解决本题的关键.

6,C

【分析】必然事件是一定发生的事情，据此判断即可.

【详解】A.明天有雾霾是随机事件，不符合题意；

B.国家队射击运动员射击一次，成绩为10环是随机事件，不符合题意；

C.总共12个生肖，13个人中至少有两个人生肖相同是必然事件，符合题意；

D.购买一张彩票，中奖是随机事件，不符合题意；

故选：c.

【点睛】

本题考查了必然事件与随机事件，必然事件是一定发生的的时间，随机事件是可能发生，也可能不发生的事件，熟记

概念是解题的关键.

7、A

【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所成的两位数是偶数的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】解：画树状图为：

1231

1234123412341234

共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是偶数的结果数为8,

所以成的两位数是3的倍数的概率.

162

故选：A.

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从中选出符合事件A或5的结果

数目，”，然后利用概率公式求事件A或8的概率.

8、D

【分析】分两种情形：当=时，ACAN^ACBA,设CV=3Z,BM=4k,可得空=金二，解出左值即可；

ACCB

当NC4iV=NMC5时，过点A7作丄CB,可得ACATVSMAC,得出BH*k,则C”=8-与Z,

证明AAaVs^sM,得出方程求解即可.

【详解】解：在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=1,BC=8,

:.NCMB>ZCAB>/CAN，AB=10,

,\ZCAN^ZCAB9

没CN=3k,BM=4k,

①当N0W=NB时，可得△CATVSACBA,

CNAC

/.——=——,

ACCB

3k6

68

,3

..K——,

2

..BM=6.

②当NC4N=NMCB时，如图2中，过点M作丄可得

.或_MHBH

一~W~~6~~~T9

:.MH=—k,BH=—k,

55

:.CH=8--k

59

,ZMCB=ZCAN,ZCHM=ZACN=90°9

:2CNS/SCHM,

CNMH

/.——=--------,

ACCH

A

3k5K

**T=r^67,

o-----K

5

综上所述，80=4或1.

故选：D.

【点睛】

本题考相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三

角形解决问题.

9、A

【解析】利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可.

【详解】解："：ABA.BD,CDLBD,EF±BD,

C.AB//CD//EF

：.AABE<^/\DCE,

：,,故选项B正确，

—•=—

IDCD

VEF//AB,

tf840BZ

—=——=—>

▲aDSBf

/故选项c,。正确,

故选:A.

【点睛】

考査平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于中考常考题型.

10、A

【解析】根据二次函数的图象与性质进行解答即可.

【详解】解：二•抛物线开口方向向下

Aa<0

又•.,对称轴x=l

2a

Ab=-2a>0

又・・•当x=0时，可得c=3

Aabc<0,故①正确；

Vb=-2a>0,

:.y=ax2-2ax+c

当x=・Ly<0

a+2a+c<0,即3a+c<0

又「aVO

/.4a+c<0,故②错误；

Vax1+Z?x+c=3，c=3

：•ax2+foc=0

.\x(ax-b)=0

又,:b=-2a

=

：•X1=0,x22,即③正确;

:对称轴x=l,与X轴的左交点的横坐标小于0

・•・函数图像与x轴的右交点的横坐标大于2

二av2+bx+c=0的另一解大于2,故④正确;

由函数图像可得，当x<o时，>随x增大而增大，故⑤正确；

故答案为A.

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的基本知识和正确运用数形结合思想是解答本题的关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

II、之

4

【分析】画出图形，直接利用正弦函数的定义进行求解即可.

【详解】如图：

cA|

在RtAABC中：sinA=——

vAB=4,BC=3

故本题答案为:

【点睛】

本题考查了三角函数的定义，注意正弦，余弦，正切定义记清楚.

12、273.>/3-1

【分析】①在RtZkAOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题.

②取AC的中点H,连接OH,OF,HF,求出OH,FH,根据OF2FH-OH,即0/勺這一1,由此即可解决问题.

【详解】解：①如图，连接OA.

D

VOA=OC=2,

.,,ZOCA=ZOAC=30°,

二ZAOE=ZOAC+ZACO=60°,

.,.AE=OA«sin60°=73»

VOE±AB,

;.AE=EB=G，

.,.AB=2AE=26,

故答案为2G.

②取AC的中点H,连接OH,OF,HF,

VOA=OC,AH=HC,

.,.OH丄AC,

.•.ZAHO=90°,

VZCOH=30°,

.,.OH=^OC=1,HC=6,AC=25

VCF±AP,

.*.ZAFC=90o,

.,.HF=；AC=5

/.OF>FH-OH,即OFW6-1,

.•.OF的最小值为豆-1.

故答案为G-1.

【点睛】

本题考查轨迹，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

1

13、——

2

【分析】根据已知等式设a=2k,b=3k,代入式子可求出答案.

【详解】解：由a亠=—2,可设a=2k,b=3k,(kr0),

b3

“a-2h2Z—2x32-4k1

故：------=-----------=----=—，

b+2b2k+2x3k8k2

故答案：一”.

2

【点睛】

此题主要考查比例的性质，a、b都用k表示是解题的关键.

14、48n

【分析】首先利用圆的面积公式即可求得侧面积，利用弧长公式求得圆锥的底面半径，得到底面面积，据此即可求得

圆锥的全面积.

【详解】解：侧面积是：/戸=底4><82=327，

底面圆半径为：至二十2万=4,

2

底面积=4x4?=16乃，

故圆锥的全面积是：327+16%=48万，

故答案为：487r

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长

是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

15、-6

【解析】因为四边形OABC是菱形，所以对角线互相垂直平分，则点A和点C关于y轴对称，点C在反比例函数上，设点

kk2k2K

C的坐标为(芻一),则点A的坐标为(一芻一),点B的坐标为(0,—)，因此AC=-2x,OB=p,根据菱形的面积等于对角线

xxxX

乘积的一半得：

12k

S菱形OABC=5x(-2%)x—=12，解得k=-6.

16、。。上或。。内

【分析】直接利用反证法的基本步骤得出答案.

【详解】解：用反证法证明命题”若。O的半径为r,点P到圆心的距离为d,且d>r,则点P在。O的外部”，

首先应假设：若。。的半径为r,点P到圆心的距离为d,且d>r,则点P在。O上或。。内.

故答案为：在。O上或。O内.

【点睛】

此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的解题方法是解题关键.

17、0（2）@

【分析】根据二次函数的图象和性质逐一对选项进行分析即可.

【详解】①•••-3<!，a>0

2a2

/.a>-b,即a+0>0,故①正确；

311

②由图象可知，若（一2，凹），（一5，%），（5，%）在抛物线上，则%>%>为，故②正确；

③•.,抛物线y=o?+公+c与直线y=r有交点时，即a?+bx+c-r=0有解时，要求72〃

所以若关于x的方程以2+法+左=。有实数根，则攵=c-f4c一〃，故③错误；

④当％=-1时，y=a-b+c>0

Va>-b,

/•2a+oa-b+c>0>故④正确.

故答案为①②④

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.

18、（-1,1）

【分析】观察图象可知，点&旋转8次为一个循环，利用这个规律解决问题即可.

【详解】解：观察图象可知，点用旋转8次一个循环，

•.，2018+8=252余数为2,

.,.点心019的坐标与Bi（-1,1）相同，

...点〃2019的坐标为（-1>1）.

故答案为（-1,1）.

【点睛】

本题考査坐标与图形的变化-旋转，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型.

三、解答题（共66分）

19、（1）见解析；（1）见解析

【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征找出A”Bi,Ci,然后描点即可；

（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点Ai、Ci即可.

【详解】解：(1)如图，AAiBiG为所作;

(1)如图，AAiBiG为所作.

【点睛】

本题考查了作图-根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在

角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形.

20、(1)16；(2)2或士；(3)二-以(0<%<4.1)

5yjx2-10x+41-x+5

【分析】(1)过C作CH丄AB与H,在RtABCH中，求出CH、BH,再求出CD即可解决问题；

(2)分两种情形①NBCE=NBAE=90。，由BE=BE,得△BEC纟Z\BEA；②NBEC=NBAE=90。，延长CE交BA延

长线于T,得ABEC纟△BET；分别求解即可；

DEDM

(3)根据DM〃AB,得匸=丁，构建函数关系式即可；

EAAB

【详解】解：(1)如图，过C作C“丄A8于”，

•••NA=90°,DP//AB,

四边形AOCH为矩形.

在A5C“中，C”=AD=4,ZBHC=90°,tanZCBH^2,

：.HB=CH+2=2,

二CD=AH=5-2=3,

则四边形ABC。的面积=：（A8+CD>A£>=；x（3+5）x4=16.

（2）•••BE平分NA3C,

二ZABE=NEBC,

当AA3E与AEBC相似时，

①NBCE=NBAE=90。,

,:BE=BE,

」ABEC纟ABEA,

二BC=BA=5,

在ABC"中，BH=yjBC2-CH2=A/52-42=3«

ACD=AH=5-3=2.

②NBEC=NBAE=90°,

延长CE交84延长线于T,

■:ZABE=NEBC,BE=BE，NBEC=4BET=第。,

：.ABEC^Afi£T（ASA）,

ABC=BT,CE=TE,

'：CD//AT,

：.AT=CD.

令CD-x,

则在A5C"中，BC=BT=5+x,BH=5—x,ZBHC=90°,

.-.（5+x）2=（5-X）2+42,

4

解得x=g.

4

综上，当AABE与A£8C相似时，线段CD的长为2或1.

（3）延长3E交CO延长线于M,

•••AB//CD,

：.ZM=ZABE=NCBM,

：.CM^CB.

在NBCH中，BC=4BH2+CH-=7（5-^）2+42=Vx2-10x+41.

则DM=CM-CD=Jx2-10x+41-x，

又DM//AB,

DEDM

.■------------f

EAAB

-lOx+41-x

即

4-y5

53JC?-1Ox+41-4x/八4i\

解得y=/--------(0<x<4.1).

A/%2-10x+41-x+5

【点睛】

本题考查了全等三角形与相似三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理，以及二次函数的应用，正确作出辅助线构

造相似三角形与全等三角形是解题的关键.

21、(1)ZAOC=135°；(2)NOCE=30。.

【分析】(1)根据题意连接OB,利用圆的切线定理和平行四边形性质以及等腰直角三角形性质进行综合分析求解；

(2)根据题意连接OE,OF,过点O作OH丄EC于点H,证明△£■(?尸是等腰直角三角形，利用三角函数值进

行分析求解即可.

【详解】解：(1)连接。B,如下图，

BC是圆的切线，

：.OBtBC,NQBC=90°,

•；四边形Q48c是平行四边形，

：.OA//BC,ZAOC=ZABC,

：.OBLOA,又OA上OB,

AQB是等腰直角三角形，

二Z4BO=45°,

二ZABC=ZABO+ZOBC=450+90°=135°,

ZAOC=135。；

(2)连接OE,OF,过点O作OH丄EC于点H,如下图，

,:EF=AB,

.../EOF=ZAOB=90°,

'：OE=OF,

...也是等腰直角三角形，

,：0HA.EC,

:.HE=HF，

：.OH=-EF=-AB=-OC,

222

.._OH_1

**sinN/OnCrEr==一，

OC2

，NOCE=30。.

【点睛】

本题考查圆的综合问题，熟练掌握切线和平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质是解题的关键.

22、（1）NDCB=30;（2）

34

【分析】（1）根据圆周角定理和直角三角形的性质可以NDCB的度数；

（2）用扇形AOD的面积减去三角形OAF的面积乘2,得阴影部分面积.

【详解】（1）证明：8为的直径，AB为：。的弦，且8丄AB,,•.AZ>=8D,.・.NAOD=2NOC3,

■,ZAOD=/COE,

:"COE=2/DCB,

AO1BC,交A0延长线于点E,

ZCEO=90，

NCOE+NDCB=90,/.3ZDCB=30，

:，NDCB=30

(2)NAOE=2NOCB=2x30=60,C£>丄AB,

ZOAF=30,且NAQO=ZAOF=60,

/.OF=—OA=—x1=—,

222

..*=胸一0产=1—百考

_60X乃x1211V31V3

9

3点形acc=----------=-SCAF=-A尸•OF=-xX—=

扇形*83606OAF22228

阴影部分的面积为：2(S扇形AQD—So")=2x[k---j=y.

【点睛】

本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，学会用分割法求阴影部分

面积.

23、(1)见解析；(2)见解析

【分析】(1)根据题意连接OD并延长交圆上一点E,连接BE即可；

(2)根据题意连接AD与BC交与一点，连接此点和O,并延长交圆上一点E,连接BE即可.

【详解】(1)如图：BE即为所求；

(2)如图：BE即为所求;

【点睛】

本题主要考查复杂作图、圆周角定理、垂径定理以及切线的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握平分弦(不是直

径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

L3

24、(1)5-J3；(2)Xi=-2,x=-

22

【分析】(1)利用完全平方差公式以及化简二次根式和代入特殊三角函数进行计算即可；

(2)由题意观察原方程，可用因式分解法中十字相乘法或者公式法求解.

【详解】(D计算：(2-6)2+'24二J8+2sin3。。乂tan60。

V2

解：原式=7-46+症一"+2x；x百

=7-4^+273-2+73

=5—\/3.

(2)2X2+X-6^0

解法一：(2x-3)(x+2)=0

2x—3=0或x+2=0,

3

Xl=-2,X2=—・

2

解法二：a=2,b=l,c=—6,

△=b2-4ac=l2-4x2x(-6)=49,

_-1±V49-1±7

X——'9

2x24

3

Xl=-2,X2=—.

2

【点睛】

本题主要考查用因式分解法解一元二次方程以及实数的综合运算，涉及的知识点有特殊角的三角形函数值、完全平方

差公式以及二次根式的分母有理化等.

f——2x+42

25、(1)4一2百(2)y=--------——(0<x<2)；(3)厶£=一或A£=l

x23

【分析】(1)过点£作EG丄8C,垂足为点G.AE=x,则EC=2-x.根据3G=EG构建方程求出x即可解决

问题.

CRF2

(2)①证明可得心造=,由此构建关系式即可解决问题.

SMEF厶炉

②分两种情形：当NC4D<120。时，当120°<NC4Z)<180°时，分别求解即可解决问题.

【详解】解：(1)AABC是等边三角形，

:.AB^BC-AC^2,ZBAC=ZABC=ZACB=60°.

■：AD^AC,

：.AD=AB9

:,ZABD=ZADB,

ZABD+ZADB+ABAC+ACAD=180°,ZC4D=90°,ZABD=15°,

.­.ZEBC=45°.

过点E作EG丄8C,垂足为点G.

设AE=x,则EC=2-x.

在RtACGE中，ZACB=60°,

八1

•••EG=EC-sinZACB=-(2-x),CG=ECcosZACB=l--x

22>

BG=2-CG=l+-x,

2

在RtABGE中，ZESC=45°,

•.•1.+—ix=——5(、2-x、),

22

解得x=4-2\/3.

所以线段AE的长是4-2#.

(2)①设=则/3ZM=a,ZDAC=ZfiAD-ABAC=120°-2«.

AD^AC,AHLCD,

：.ZCAF=-ZDAC=60。一a,

2

又NAE尸=60°+a,

ZAFE=6Q°,

:.ZAFE=ZACB,

又ZAEF=/BEC,

/.tsAEFs.EC，

.°qABCE_0RF心2

一\EF二宿’

由（1）得在RtACGE中，BG=1+丄x,EG=4（2一x）.

2

BE2=BG2+EG2=X2-2X+4,

.无2—2x+4

••y=------；------（0<x<2）.

x

②当NC40V12O。时，

整理得3f+>2=0,

2

解得X=］或一1（舍弃）,

x~+2x+4

当1200<NC4Q<180。时，同法可得），

、“rn-L—X。++4

当y=7时，7=------5——，

整理得3d-x-2=0，

2

解得x=-§（舍弃）或1,

2

综上所述：当NCAD<120。时，AE=-i当120o〈NCAD<180。时，AE=\.

3

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

26、（1）见解析；（2）①AE=2Q,DE=4y[2；②tanNO8C=咅.

【分析】（D①证明A48E纟/XOCE（SAS）,得出△A5Es/\OCE即可；

②连接AC,由自相似菱形的定义即可得出结论；

③由自相似菱形的性质即可得出结论；

ADBEAE

（2）①由（1）③得AABEsADEA,得出一=一=一，求出AE=20,£>E=40即可；