小学数学奥数 1-6 年级培优讲座、习题集

小学数学奥数1-6年级培优讲座、习题集、与答案完整版

计数问题排列组合讲义

1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来

写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少钟不同的写法？

分析：从5个元素中取3个的排列：P（5,3）=5X4X3=60

2、从数字0、1、2、3、4、5中任意挑选5个组成能被5除尽且各位数字互

异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？

分析：个位数字是0：P（5、4）=120；个位数字是5：P（5、4）-P（4、3）

=120-24=96,（扣除0在首位的排列）合计120+96=216

另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。

3、用2、4、5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数，将它

们从小到大排列，那么7254是第多少个数？

分析：由已知得每个数字开头的各有24+4=6个，从小到大排列7开头的从

第6X3+1=19个开始，易知第19个是7245,第20个7254。

4、有些四位数由4个不为零且互不相同的数字组成，并且这4个数字的和等

于12,将所有这样的四位数从小到大依次排列，第24个这样的四位数是多

少？

分析：首位是1：剩下3个数的和是11有以下几种情况：⑴2+3+6=11,共

有P（3、3）=6个；（2）2+4+5=11,共有P（3,3）=6个；

首位是2：剩下3个数的和是10有以下几种情况：（1）1+3+6=10,共有P

（3、3）=6个；（2）1+4+5=10,共有P（3、3）=6个；以上正好24个，最

大的易知是2631。

5、用0、1、2、3、4这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如

1023、2341等，求全体这样的四位数之和。

分析：这样的四位数共有P(4、1)XP(4、3)=96个

1、2、3、4在首位各有964-4=24次，和为(1+2+3+4)X1000X

24=240000；1、2、3、4在百位各有244-4X3=18次，和为(1+2+3+4)

X100X18=18000；1、2、3、4在十位各有24+4X3=18次，和为(1+2+3

+4)X10X18=1800；1、2、3、4在个位各有244-4X3=18次，和为(1+2

+3+4)X1X18=180；

总和为240000+18000+1800+180=259980

6、计算机上编程序打印出前10000个正整数：1、2、3、……、10000时，不

幸打印机有毛病，每次打印数字3时，它都打印出x,问其中被错误打印的

共有多少个数？

分析：共有10000个数，其中不含数字3的有：五位数1个，四位数共8

X9X9X9=5832个，三位数共8X9X9=648个，二位数共8X9=72个，一位

数共8个，不含数字3的共有1+5832+648+72+8=6561所求为10000—

6561=3439个

7、在1000到9999之间，千位数字与十位数字之差(大减小)为2,并且4

个数字各不相同的四位数有多少个？

分析：1口3口结构：8X7=56,3口1口同样56个，计112个；2口4口结构：

8X7=56,4口2口同样56个，计112个；3口5口结构：8X7=56,5口3口同

样56个，计112个；4口6口结构：8X7=56,6口4口同样56个，计112

个；5口7口结构：8X7=56,7口5口同样56个，计112个；6口8口结构：8

X7=56,8口6口同样56个，计112个；7口9口结构：8X7=56,9口7口同样

56个，计112个；2口0□结构：8X7=56,以上共112X7X56=840个

8、如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取

2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？

分析：因为强调2本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数

学：3X4=12；来自语文、外语：3X5=15；来自数学、外语：4X5=20；所以

共有12+15+20=47

9、某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个

车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的

车票？

分析：方法一：一张车票包括起点和终点，原来有P（7、2）=42张，（相当

于从7个元素中取2个的排列），现在有P（10、2）=90,所以增加90-

42=48张不同车票。

方法二：1、新站为起点，旧站为终点有3X7=21张，2、旧站为起点，新站为

终点有7X3=21张，3、起点、终点均为新站有3X2=6张，以上共有21+21

+6=48张

10、7个相同的球放在4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法

有多少种？

分析：因为7=1+1+1+1+1+1+1,相当于从6个加号中取3个的组合，C

（6、3）=20种

11、从19、20、21、22、、93、94这76个数中，选取两个不同的数,

使其和为偶数的选法总数是多少？

分析：76个数中，奇数38个，偶数38个有703+703=1406种

偶数+偶数=偶数：C（38、2）=703种，奇数+奇数=偶数：C（38、2）=703

种，以上共

12、用两个3,一个1,一个2可组成若干个不同的四位数，这样的四位数一

共有多少个？

分析：因为有两个3,所以共有P（4、4）4-2=12个

13、有5个标签分别对应着5个药瓶，恰好贴错3个标签的可能情况共有多

少种？

分析：第一步考虑从5个元素中取3个来进行错贴，共有C（5、3）=10,第

二步对这3个瓶子进行错贴，共有2种错贴方法，所以可能情况共有10X

2=20种。

14、有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有1张，标有数码

“2”的有2张，标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的有3张，把这

9张圆形纸片如呼所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许*在一起。⑴

如果M处放标有数码“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？⑵如果

M处放标有数码“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？

分析：

⑴如果M处放标有数码“3”的纸片，只有唯一结构：在剩下的6个位置

中，3个“4”必须隔开，共有奇、偶位2种放法，在剩下的3个位置上

“1”有3种放法（同时也确定了“2”的放法）。由乘法原理得共有2X3=6

种不同的放法。

⑵如果M处放标有数码“2”的纸片，有如下几种情况：

结构一：3个“3”和3个“4”共有2种放法，再加上2和1可以交换位

置，所以共有2X2=4种；

结构二：3个“4”有奇、偶位2种选择（相应的“1”也定了，只能*着已有

的“3”,加上2和3可以交换，所以共有2X2=4种；

结构三：3个“3”有奇、偶位2种选择，“1”有唯一选择，只能*到已有的

“4”，加上2和4可以交换位置，所以共有2X2=4种，

以上共有4+4+4=12种不同的放法。

15、一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。问：⑴如果4个舞蹈节目

要排在一起，有多少种不同的安排顺序？⑵如果要求每两个舞蹈节目之间至少

安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？

分析：（D4个舞蹈节目要排在一起，好比把4个舞蹈在一起看成一个节目，这

样和6个演唱共有7个节目，全排列7!,加上4个舞蹈本身也有全排

4!,所以共有7!X4!=120960种。

⑵4个舞蹈必须放在6个演唱之间，6个演唱包括头尾共有7个空档，7个

空档取出4个放舞蹈共有P（7、4）,加上6个演唱的全排6!,共有P

（7、4）X6!=604800种。

行程问题讲义

1、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟

行80米，后一半时间平均每分钟行70米。问他走后一半路程用了多少分

钟？

分析：解法1、全程的平均速度是每分钟(80+70)/2=75米，走完全程的时间

是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是

3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟

解法2：设走一半路程时间是x分钟，则80*x+70*x=6*1000,解方程得：

x=40分钟

因为80*40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80

米，时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是40+(40-37.5)=42.5

分钟

答：他走后一半路程用了42.5分钟。

2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一

半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的

1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？

分析：解法1：设路程为180,则上坡和下坡均是90o设走平路的速度是2,

则下坡速度是3。走下坡用时间90/3=30,走平路一共用时间180/2=90,所

以走上坡时间是90-30=60下坡速度的45/60=0.75倍。走与上坡同样距离的

平路时用时间90/2=45因为速度与时间成反比，所以上坡速度是

解法2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路

各一半也相同，设距离是1份，时间是1份，则下坡时间=0.5/1.5=1/3,上

坡时间=1-1/3=2/3,上坡速度=(1/2)/(2/3)=3/4=0.75

解法3：因为距离和时间都相同，所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路

程/I,得：上坡速度=0.75

答：上坡的速度是平路的0.75倍。

3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度

每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。那么甲、乙

两地之间的距离是多少千米？

分析：解法1,第二小时比第一小时多走6千米，说明逆水走1小时还差

6/2=3千米没到乙地。顺水走1小时比逆水多走8千米，说明逆水走3千

米与顺水走8-3=5千米时间相同，这段时间里的路程差是5-3=2千米，等于

1小时路程差的1/4,所以顺水速度是每小时5*4=20千米（或者说逆水速度

是3*4=12千米）。甲、乙两地距离是12*1+3=15千米

解法2,顺水每小时比逆水多行驶8千米，实际第二小时比第一小时多行驶6

千米，顺水行驶时间=6/8=3/4小时，逆水行驶时间=2-3/4=5/4,顺水速度：

逆水速度=5/4：3/4=5：3,顺水速度=8*5/（5-3）=20千米/小时,两地距离

=20*3/4=15千米。

答：甲、乙两地距离之间的距离是15千米。

4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电

车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路

骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了

10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从

乙站到甲站用了多少分钟？

分析：骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时

第4辆车正从甲发出。骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有

8个5分钟的间隔，时间是5*8=40（分钟）。

答：他从乙站到甲站用了40分钟。

5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现

在甲位于乙的前方，乙距起点20米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起

点98米。问：甲现在离起点多少米？

分析：甲、乙速度相同，当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同距离，两

人各游了(98-20)/2=39(米)，甲现在位置：39+20=59(米)

答：甲现在离起点59米。

6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时

行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地的距离是多少

千米？

分析：解法1：甲比乙1小时多走8千米，一共多走32*2=64千米，用了

64/8=8小时，所以距离是8*(56+48)=832(千米)

解法2：设东西两地距离的一半是X千米，则有：48*(X+32)=56*(X-

32),解得X=416,距离是2*416=832(千米)

解法3：甲乙速度比=56：48=7：6,相遇时，甲比乙多行=(7-6)/(7+6)

=1/13,两地距离=2*32/(1/13)=832千米。

答：东西两地间的距离是832千米。

7、李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报

到。0.5小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又

过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果3人同时在途中某地相

遇。问：骑车人每小时行驶多少千米？

分析：老师速度=4+1.2=5.2(千米)，与李相遇时间是老师出发后(20.4-

4*0.5)/(4+5.2)=2(小时)，相遇地点距离学校4*(0.5+2)=10(千

米)，所以骑车人速度=10/(2+0.5-2)=20(千米)

答：骑车人每小时行驶20千米。

8、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已

知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留0.5小时后返回，快车

到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时

间？

分析：解法1，快车5小时行过的距离是慢车12.5-5=7.5小时行的距离，慢

车速度/快车速度=5/7.5=2/3。两车行1个单程用5小时，如果不停，再次

相遇需要5*2=10小时，如果两车都停0.5小时，则需要10.5小时再次相

遇。快车多停30分钟，这段路程快车与慢车一起走，需要30/(1+2/3)=18

(分钟)所以10.5小时+18分钟=10小时48分钟

解法2：回程慢车比快车多开半小时，这半小时慢车走了0.5/12.5=1/25全

程，两车合起来少开1/25,节省时间=5*1/25=0.2小时，所以，从第一次相

遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8小时。

答：两车从第一次相遇到第二次相遇需要10小时48分钟。

9、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作

报告，往返需用1小时。这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中

遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达。问：汽车速

度是劳模步行速度的几倍？

解：汽车走单程需要60/2=30分钟，实际走了40/2=20分钟的路程，说明相

遇时间是2：20,2点20分相遇时，劳模走了60+20=80分钟，这段距离汽

车要走30-20=10分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8

答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。

10、已知甲的步行的速度是乙的L4倍。甲、乙两人分别由A,B两地同时出

发。如果相向而行，0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要

多少小时？

分析：两人相向而行，路程之和是AB,AB=速度和*0.5；同向而行，路程之差

是AB,人8=速度差*追及时间。速度和=1.4+1=2.4,速度差=1.4-1=0.4。所

以：追及时间=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3（小时）

答：甲追上乙需要3小时。

11、猎狗发现在离它10米的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑

9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的时间，兔却跑3步。问狗追上兔

时，共跑了多少米路程？

分析：狗跑2步时间里兔跑3步，则狗跑6步时间里兔跑9步，兔走了狗

5步的距离，距离缩小1步。狗速=6*速度差，路程=10*6=60（米）

答：狗追上兔时，共跑了60米。

12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。张的速度比李的速度

每小时快4千米，张比李早到20分钟通过途中乙地。当李到达乙地时，张

又前进了8千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？

分析：解法1,张速度每小时8/（20/60）=24（千米），李速度每小时24-

4=20（千米），张到乙时超过李距离是20*（20/60）=20/3（千米）所以甲乙

距离=24*(20/3/4)=40(千米)

解法2：张比李每小时快4千米，现共多前进了8千米，即共骑了8/4=2小

时，张从甲到乙用了2*60-20=100分钟，所以甲乙两地距离=(100/20)

*8=40千米。

答：甲、乙两地之间的距离是40千米。

13、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发；8分钟后，爸爸骑摩托车去

追他，在离家4千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回

头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米。问这时是几时几分？

分析：爸爸第一次追上小明离家4千米，如果等8分钟，再追上时应该离家

8千米，说明爸爸8分钟行8千米，爸爸一共行了8+8=16分钟，时间是8

点8分+8分+16分=8点32分。

答：这时8点32分。

14、龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍。当它们从起

点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟

已经领先它5000米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后100

米。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？

分析：兔子跑了10000-100=9900米，这段时间里乌龟跑了9900*1/5=1980

米，兔子睡觉时乌龟跑了10000-1980=8020米

答：兔子睡觉期间乌龟跑了8020米。

15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度

的0.8倍。已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟

后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿

车却比大轿车早4分钟到达乙地。又知大轿车是上午10时从甲地出发的，

求小轿车追上大轿车的时间。

分析：解法1,大车如果中间不停车，要比小车多费17-5+4=16分钟，大车用

的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数，即1/0.8=5/4,所以大车行驶时

间是16/(5-4)*5=80分钟，小车行驶时间是80-16=64分钟，走到中间分别

用了40和32分钟。大车10点出发，到中间点是10点40分，离开中点

是10点45分，到达终点是11点25分。小车10点17分出发，到中间

点是10点49分，比大车晚4分；到终点是11点21分，比大车早4

分。所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间，11点5

分。

解法2：大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍，大轿车的用时是小轿车用时的

1/0.8=1.25倍，大轿车比小轿车多用时17-5+4=16分钟，大轿车行驶时间

=16*(1.25/0.25)=80分钟，小轿车行驶时间=16/(0.25)=64分钟，小轿车

比大轿车实际晚开17-5=12分钟，追上需要=12*0.8/(1-0.8)=48分钟，

48+17=65分=1小时5分，所以，小轿车追上大轿车的时间是11时5分

答：小轿车追上大轿车的时间是11点5分。

第二讲义

1、某解放车队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。一战士以每秒3米

的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？

分析:从排尾到排头用的时间是450/(3-1.5)=300秒，从排头回排尾用的时

间是450/(3+1.5)=100秒，一共用了300+100=400秒

答：需要400秒。

2、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同进向南行进，行人速度为

每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米。这时，有一列火车从他

们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟。这列火车

的车身总长是多少米？

分析：设火车速度是每秒X米。行人速度是每秒3.6*1000/60*60=1（米），

骑车人速度是每秒1.8*1000/60*60=3（米）根据已知条件列方程：（XT）

*22=（X-3）*26,解得:X=14（米），车长=（14-1）*22=286（米）

分析2,骑车人速度是行人速度的10。8/3o6=3倍，22秒时火车通过行人

（设行人这22秒所走的路程为1）,车尾距骑车人还有2倍行人22秒所走

的路程，即距离2；26秒（即又过4秒）时，火车通过骑车人，骑车人行=4*

（3/22）=6/11,火车行2+6/11=28/11,火车与骑车人的速度比为28/11：

6/11=14：3；火车速度=14*10.8/3=504千米/小时;火车车长=（50400-3600）

*22/3600=286米。

答：这列火车的车身总长是286米。

3、一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。

已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度

每秒17米。求列车与华车从相遇到离开所用的时间。

分析:客车速度是每秒（250-210）/（25-23）=20米，车身长=20*23-210=250

米

客车与火车从相遇到离开的时间是（250+320）/（20-17）=190（秒）

答：客车与火车从相遇到离开的时间是190秒。

4、铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓

缓驶去。14小时10分钟追上向北行走的一位工人，15秒种后离开这个工

人；14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。问工人

与学生将在何时相遇？

分析：解法1：工人速度是每小时30-0.11/(15/3600)=3.6千米学生速度

是每小时(0.11/12/3600)-30=3千米14时16分到两人相遇需要时间(30-

3.6)*6/60/(3.6+3)=0.4(小时)=24分钟14时16分+24分=14时40

分

解法2：(车速-工速)*15=车长=(车速+学速)*12,那么工速+学速=(车速+

学速)-(车速-工速)=(1/12-1/15)*车长

而14点10分火车追上工人，14点16分遇到学生时，工人与学生距离恰好

是(车速-工速)*6=6/15*车长这样，从此时到工人学生相遇用时(6/15*车

长)/[(1/12-1/15)*车长]=(6/15)/(1/12-1/15)=24分

答：工人与学生将在14时40分相遇。

5、东、西两城相距75千米。小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从

西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西，每小时骑行15千

米。3人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，这样往返，直到3人在

途中相遇为止。问：小辉共走了多少千米？

分析：3人相遇时间即明与强相遇时间，为75/(6.5+6)=6小时，小辉骑了

15*6=90千米

答：小辉共骑了90千米。

6、设有甲、乙、两3人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的

速度是步行速度的3倍。现甲从A地去B地，乙、丙从B地去A地，双方

同时出发。出发时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车

给甲骑，自己改为步行，3人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，

甲将车给乙骑，自己重又步行，3人仍按各自原有方向继续前进。问：3人之

中谁最先达到自己的目的地？谁最后到达目的地？

分析：

如图，甲与乙在M点相遇，甲走了AM,同时乙也走了同样距离BNo当甲与乙

在P点相遇时，乙一共走了BP,甲还要走PB,而丙只走了MAo所以3人

步行的距离，甲=AM+PB,乙=BP,丙=配。甲最远，最后到；丙最短，最先到。

分析2,由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后

到，只要计算一下各人谁步行最长，谁步行最短。将整个路程分成4份，甲

丙最先相遇，丙骑行3份，步行1分；甲先步行了1份，然后骑车与乙相

遇,骑行2*3/4=3/2份，总步行4-3/2=5/2份；乙步行1+(2-3/2)=3/2,

骑行4-3/2=5/2份，所以，丙最先到，甲最后到。

答：丙最先到达自己的目的地，甲最后到达自己的目的地。

7、有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走

75米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙

相遇后6分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？

分析：甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，正好是甲、丙6分钟的路程之和=

(100+75)*6,乙比丙每分钟多走(80-75)米，因此甲、乙相遇时走了：

[(100+75)*6/(80-75)]分钟，两村的距离是(100+80)*[(100+75)*6/

(80-75)]=37800(米)

答：东、西两村之间的距离是37800米。

8、甲、乙、丙3人进行200米赛跑，当甲到达终点后，乙离终点还有20

米，丙离终点还有25米。如果甲、乙、丙赛跑的速度始终不变，那么，当乙

到达终点时，丙离终点还有多少米？（答案保留两位小时。）

分析：乙跑200-20=180米比丙多跑25-20=5米，所以乙到达终点时，丙比乙

少跑200/180*5=5（5/9）=5.56（米）

答：当乙到达终点时，丙离终点还有5.56米。

9、张、李、赵3人都从甲地到乙地。上午6时，张、李两人一起从甲地出

发，张每小时走5千米，李每小时走4千米。赵上午8时从甲地出发。傍

晚6时，赵、张同时到过乙地。那么赵追上李的时间是几时？

分析：甲、乙距离是5*12=60（千米），赵的速度是60/10=6（千米），赵追

上李时走了（4*2）/（6-4）=4（小时），这时的时间是8+4=12（点）

分析2,赵晚走2小时，此时张已走出5*2=10千米，李走出4*2=8千米，

从上午8时到下午18：00时，共10个小时，赵、张同时到达乙地，赵每

小时比张多走10/10=1千米，那么赵比李每小时多走1+1=2千米，追上需要

8/2=4小时，即追上为12：00时。

答：赵追上李的时间是12时。

10、快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车

人。这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车

每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？

分析：快车6分钟行24*1000*6/60=2400（米），中车10分钟行

20*1000*10/60=3333（1/3）（米）骑车人速度每分钟行（3333（1/3）-

2400）/（10-6）=700/3（米）慢车12分钟行2400-700/3*6+700/3*12=3800

(米)，每小时行3800/12*60=190000(米)=19(千米)

分析2,6分钟快车追上骑车人时，中车与它们还相差6*(24-20)/60=0.4

千米，10分钟时，中车又开了4*20/60=4/3千米，追上骑车人，说明骑车人

4分钟骑了4/3-0.4=14/15千米，即骑车人速度=(14/15)*(60/4)=14千

米/小时，因为快车用6分钟追上骑车人，由此可知原本三辆汽车落后骑车人

6*(24-14)/60=1千米，12分钟时，骑车人离三车出发点1+14*12/60=3.8

千米,所以，慢车速度=(3.8/12)*60=19千米/小时。

答：慢车每小时行19千米。

11、客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站40千

米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进。客车到达乙站、货车达到甲站后

均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇。求甲、乙两站之间的

距离。

分析：第一次相遇一共走了全程S,其中客车走40千米S+20=3*40,解得

S=100(千米)

第二次相遇两车一共又走了3个全程2S,其中客车走(S+20)千米

所以

答：甲、乙两站之间的距离是100千米。

12、甲、乙、丙是3个车站。乙站到甲、丙两站的距离相等。小明和小强分别

从甲、丙两站同时出发，机向而行。小明过乙站100米后与小强相遇，然后两

人又继续前进。小明走到两站立即返回，经过乙站后300米又追上小强。问：

甲、丙两站的距离是多少米？

分析:

第一次相遇，小明走：全程的一半+100米

从第一次相遇点再到追上小强时离乙站300米，300-100=200米，小明又走：

全程+20

0米，可知第二段距离是第一段距离的2倍。小强第二段也应该走第一段的2

倍，100+300=400米，所以第一段走400/2=200米。乙丙距离=200+100=300

米，甲丙距离=2*300=600米。

答：甲、丙两站距离是600米。

13、甲、乙两地之间有一条公路。李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙

地出发骑摩托车去甲地，80分钟后两人在途中相遇。张平到达甲地后马上折

回乙地，在第一次相遇后又经过20分钟在途中追上李明。张平达到乙地后又

马上折回甲地，这样一直下去。问：当李明到达乙在，张平共追上李明多少

次？

分析：设李20分钟走1份距离，则80分钟走4份

张20分钟后追上李，李这时走了4+1份距离，张202分钟走4+5=9份，所

以

速度比：李速度/张速度=1/9。李走完单程时张应该走9个单程，追上的次数

是（9-1）/2=4（次）

答：当李明到达乙地时，张平共追上李明4次。

14、甲、乙两车分别从A,B两地出发，在A,B之间不断往返行驶。已知甲

车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车

第三次相遇（两车同时到达同一地点即称相遇）的地点与第四次相遇的地点恰

好相距100千米，那么两地之间的距离等于多少千米？

分析：甲速度/乙速度=15/35=3/7,第三次相遇时两车一共行驶5个AB,其中

甲行5*3/10=1（5/10）AB,第四次相遇时两车一共行驶7个AB,其中甲行

7*3/10=2（1/10）AB,这两点的距离是5/10-l/10=4/10AB=100（千米）所以

AB=100*10/4=250（千米）

答：两地之间的距离是250千米。

15、两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1

米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共

游了5分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？

分析：5分钟两人一共游了（1+0.6）*5*60=480米

第一次迎面相遇，两人一共游了30米；以后两人和起来每游2*30=60米，就

迎面相遇一次，480=30+60*7+30,迎面相遇了8次。甲比乙多游了（1-0.6）

*5*60=120米，甲第一次追上乙时，比乙多游30米；以后每多游2*30=60

米，就又追上追上乙一次，120=30+60+30,甲一共追上乙2次两人相遇次数

=8+2=10次。

分析2,甲的速度是每秒游1米，一个来回60秒=1分钟，5分钟共游了5

个来回；乙的速度是每秒游0.6米，一个来回100秒，5分钟共游了

5*60/100=3个来回；画图很容易可以看出共相遇了几次。

答：在这段时间内两人共相遇10次。

计算问题

多位数与小数讲义

1.计算：1991+199.1+19.91+1.991.

解析:1991+199.1+19.91+1.991

=1991+9+199.1+0.9+19.91+0.09+1.991+0.009-(9+0.9+0.09+0.009)

=2000+200+20+2-9.999=2222-10+0.001=2212.001

2.计算:7142,854-3.74-2.7X1,7X0.7.

解析:7142.854-3.74-2.7X1.7X0.7=7142.854-374-27X17X7=7142.85X7

4-999X17=49999.954-999X17=50.05X17=850.85

3.光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米.问：光从太阳到

地球要用几分钟？(答案保留一位小数.)

解析：1500000009300000・60=150・3・6=50+6心8.33心8.3(分)光从太阳

到地球要用约8.3分钟。

4.已知105.5+[(40+Q4-2.3)X0.5-1.53]+(53.6+26.8X0.125)=187.5,那

么口所代表的数是多少？解析：105.5+[(40+口+2.3)X0.5-1.53]4-(53.6

4-26.8X0.125)=105.5+(20+04-4.6-1.53)4-(2X26.84-26.8X0.125)

=105.5+(18.47+04-4.6)4-0.25=105.5+18.474-0.25+口+4.64-0.25

=105.5+73.88+Q4-1.15因为105.5+73.88+Q4-1.15=187.5所以口=(187.5-

105.5-73.88)X1.15=8.12X1.15=8.12+0.812+0.406=9.338答:0=9.338

5.22.5-(DX32-24Xn)4-3.2=10在上面算式的两个方框中填入相同的数，

使得等式成立。那么所填的数应是多少？

解析：22.5-(0X32-24X0)4-3.2=22.5-QX(32-24)93.2=22.5-口X8

4-3.2=22.5-QX2.5因为22.5-口X2.5=10,所以□X2.5=22.5T0,□

=(22.5-10)+2.5=5答:所填的数应是5o

6.计算:0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+-+0.99.

解析:0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+-+0.99

=(0.1+0.9)X54-2+(0.11+0.99)X454-2=2.5+24.75=27.25

7.计算:37.5X21.5X0.112+35.5X12.5X0.112.

解析:37.5X21.5X0.112+35.5X12.5X0.112=0.112X(37.5X21.5+35.5X

12.5)=0.112X(12.5X3X21.5+35.5X12.5)=0.112X12.5X(3X

21.5+35.5)=0.112X12.5X100=1250X(0.1+0.01+0.002)=125+12.5+2.5

=140

8.计算：3.42X76.3+7.63X57.6+9.18X23.7.

解析:3.42X76.3+7.63X57.6+9.18X23.7=7.63X(34.2+57.6)+9.18X

23.7=7.63X91.8+91.8X2.37=(7.63+2.37)X91.8=10X91.8=918

9.计算:(32.8X91-16.4X92-1.75X656)9(0.2X0.2).

解析:(32.8X91-16.4X92-1.75X656)4-(0.2X0.2)=(16.4X2X91-16.4X

92-16.4X40X1.75)4-(0.2X0.2)=16.4X(182-92-70)4-(0.2X0.2)=16.4

X204-0.24-0.2=82X100=8200

10.计算:(2+3.15+5.87)X(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32)X

(3.15+5.87).

解析:（2+3.15+5.87）X（3.15+5.87+7.32）-（2+3.15+5.87+7.32）X

（3.15+5.87）=（2+3.15+5.87）X（3.15+5.87+7.32）-2X（3.15+5.87）-

（3.15+5.87+7.32）X（3.15+5.87）=（3.15+5.87+7.32）X（2+3.15+5.87-3.15-

5.87）-2X（3.15+5.87）=（3.15+5.87+7.32）X2-2X（3.15+5.87）

=（3.15+5.87）X2+7.32X2-2X（3.15+5.87）=7.32X2=14.64

IL求和式3+33+333+…+33…3（10个3）计算结果的万位数字.

解析：个位10个3相加，和为30,向十位进3；十位9个3相加，和为

27,加上个位的进位3得30,向百位进3；百位8个3相加，和为24,

加上十位的进位3得27,向千位进2；千位7个3相加，和为21,加上

百位的进位2得23,向万位进2；万位6个3相加，和为18,加上千位

的进位2得20,万位得数是0o答：计算结果的万位数字是0o

12.计算：19+199+1999+-+199-9（1999个9）.

解析:19+199+1999+…+199…9（1999个9）»（20-1）+（200-1）+（2000-1）+•••

+（200…0（1999个0）-1）=22…20（1999个2）-1999X1=22-2（1996个

2）0221

13.算式99-9（1992个9）X99-9（1992个9）+199-9（1992个9）的

计算结果的末位有多少个零？

解析:99-9（1992个9）X99-9（1992个9）+199…9（1992个9）

=99-9（1992个9）X（100-0-1）（1992个0）+199…9（1992个9）

=99-9（1992个9）0（1992个0）-99-9（1992个9）+199--9（1992

个9）=99-9（1992个9）0（1992个0）+100--0（1992个0）=100-0

（3984个0）

14.计算:33-3（10个3）X66-6（10个6）.

解析：33—3（10个3）X66-6（10个6）=33—3（10个3）X3X22-2

（10个2）=99-9（10个9）X22-2（10个2）=（100-0（10个0）-

1）X22-2（10个2）=22-2（10个2）00-0（10个0）-22-2（10个

2）=22-2（9个2）177（9个7）8

15.求算式99-9（1994个9）X88-8（1994个8）4-66-6（1994个6）

的计算结果的各位数字之和.

解析：99-9（1994个9）X88-8（1994个8）4-66-6（1994个6）=9X

11-1（1994个1）X8X11-1（1994个1）4-64-11-1（1994个1）=9X

84-6X11-1（1994个1）

=12X11-1（1994个1）=（10+2）X11--1（1994个1）=11-1（1995个

1）+22-2（1994个1）=13333-3（1993个1）2各位数字之和=1+1993X

3+2=5982答：计算结果的各位数字之和5982o

组合问题

构造与论证讲义

1、有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把

直尺可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度？

分析：可以。（1）标3条刻度线，刻上A,B,C厘米（都是大于1小于9

的整数），那么，A,B,C,9这4个数中，大减小两两之差,至多有6

个：9-A,9-B,9-C,C-A,C-B,B-A,加上这4个数本身，至多有10个不同

的数，有可能得到1到9这9个不同的数。（2）例如刻在1,2,6厘米

处，由1,2,6,9这4个数，以及任意2个的差，能够得到从1到9之

间的所有整数：1,2,9-6=3,6-2=4,61=5,6,9-2=7,9-1=8,9。(3)除

1,2,6之外，还可以标出1,4,7这3个刻度线：1,9-7=2,4-1=3,4,

9-4=5,7-1=6,7,9-1=8,9。另外，与1,2,6对称的，标出3,7,8；与

1,4,7对称的，标出2,5,8也是可以的。

2、一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数

字，那么就称它被后下个三位数“吃掉”。例如，241被352吃掉，123被

123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉)，但240和223互相都不能

被吃掉。现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其它5个数吃

掉，并且它们的百位数字只允许取1,2,3,4o问这6个三位数分别是多

少？

分析：6个三位数都不能互吃，那么其中任意两个数，都不能同时有2个数位

相同。由于百位只取1,2,十位只取1,2,3,所以，只能让3个数百位是

1,另外3个数百位数是2„百位是1的3个数，分别配上十位1,2,3；

百位是2的3个数同样。这样先保证前两位没有完全一样的。即：11*,

12*,13*,21*,22*,23*。11*最小，个位应取取最大的，4,它要求另外5

个数个位均小于4。11412*较小，个位应取3,它要求前两位能吃12*的数，

个位小于3。1233*的数个位小于2013213*个位取2,就不能吃前两数，同

时它要求前两位能吃122*个位取2即可。22223*各位必须取1。231

21*较小，个位应取3,才能不被23*和22*吃。213

所以这6个数是114,123,132,213,222,231。

3、盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的

和长的。已知盒子的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全。问是否一定能从中

选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同？

分析：如果能选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同，则这

3支笔必须包含红、黄、绿，短、中、长这6个因子，即不能有重复因子出

现。但是这种情况并不能保证出现。例如，盒子中有4种笔：红短，黄短，绿

中，绿长，3种颜色和3种规格都齐全，由于红和黄只出现1次，必须选，

但是这时短已经出现2次，必然无法满足3支笔6个因子的要求。所以，不

一定能选出。

4、一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是

白色的，那么最少有多少条边是白色的？

分析：立方体的12条棱位于它的6个面上，每条棱都是两个相邻面的公用

边，因此至少有3条边是白色的，就能保证每个面上至少有一条边是白色。

如图就是一种。

5、国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个4X4的棋盘至

少要放几个皇后？

分析：2X2棋盘，1个皇后放在任意一格均可控制2X2=4格；3X3棋盘，1

个皇后放在中心格里即可控制3X3=9格；4X4棋盘，中心在交点上，1个

皇后不能控制两条对角线，还需要1个皇后放在拐角处控制边上的格。所以至

少要放2个皇后。如图所示。

6、在如图10-1所示表格第二行的每个空格内，填入一个整数，使它恰好表示

它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是

几？

分析：设第二行从左到右填入A,B,C,D,E,则A+B+C+D+E=5若E大于

0,如E=l,则B=l,A+C+D=3,小于4,矛盾，可得：E=0,A大于0小于

4；若D大于0,如D=l,则B大于0,因A大于0,则A和C无法填

写，所以D=0,A必等于2；A=2,可知B+C=3,只有当B=l,C=2时，

ABCDE=21200,符合要求。所以第二行的5个数字是2,1,2,0,0。

7、在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话

时，甲把他当时所知道的信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉

甲。请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其

他所有人的信息。

分析：给100个人分别编号1T00,他们知道的消息也编上相同的号码。

(1)2-50号每人给1号打1次电话，共49次，1,50号得到1-50号消

息。同时，52-100号每人给51号打1次电话，共49次，51,100号得到

51-100号消息。(2)1号和51号通1次电话，50号和100号通1次

电话，这时1,50,51,100号这4个人都知道了1-100号消息。(3)2-

49号，52-99号，每人与1号(或者50,51,100号中的任意1人)通1

次话，这96人也全知道了1-100号消息。这个方案打电话次数一共是

(49+49)+2+96=196(次)。

8、有一张8X8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一。能否适当涂色，

使得每个3X4小长方形(不论横竖)的12个方格中都恰有4个红格和8

个蓝格？

分析：能。3X4=12,有4红8蓝，即红1蓝2,横竖方向都按这个规律染

成下图的样子。

9、桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992

枚，第三次翻动其中的1