幂级数求和法的归纳总结与推广

幕级数求和法的归纳总结与推广摘要：本文研究的是如何对幕级数进行求和，主要从数学专业中的三个学科（常微分方程、初等数学、高等代数），分别通过微分方程法、初等数学中的杨辉三角法以及矩阵法对幕级数进行求和。对那些能用这三种方法进行求和的幕级数进行了一定的归纳和总结，并展开了一定的推广。通过对这三类方法的典型例题的求解，加深对方法的了解和运用，完善级数求和的知识体系。关键词：级数求和，微分方程，矩阵，杨辉三角引言级数是高等数学的一个重要组成部分，其理论是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而今，级数的理论已发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，可用来表示函数、研究函数的性质，也是其进行数值计算的一种工具。同时级数也是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数。在各种有力的解析工具中按其简单•灵活•明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数。这个最重要的解析工具的思想很简单：我们想要研究的函数可以表示为其它的更为简单的。容易研究的函数的系列（即表示此函数为级数的部分和的极限。如果这个部分和在整个所研究的区间上完全趋近于所研究的函数，则我们就有理由从整个近似的部分和的性质来估计所研究函数的一些性质——尽管只是近似的研究。特别地，会对自变量的某个值近似计算这些部分和的值，我们同时也有办法近似计算所研究函数的相应的值。用什么样的函数作为我们的展开式的元素最方便•最适合呢？即选什么函数作为表示所研究函数级数的项，最便于帮助我们研究函数？对此问题，当然不指望有唯一的答案适用于所有情形。这几乎完全取决于所研究的函数的性质以及我们对函数所提出的问题的性质，只是必须指出，有一种最重要的函数级数类值得推荐起作用，因为每一步都可以应用它们，这样就自然地要求创立相应的一般理论。这种函数级数就是幕级数（其中展开式的元素是自变量的整数次数幕一一首先是非整数次幕）。在幕级数收敛性的判断，求和问题等性质中，求和问题不免也是一处重要的知识点。幕级数求和的求解是一类难度较大技巧性较高的问题，更好地了解和掌握幕级数求和的方法和技巧对于学习幕级数具有更好的指导意义和学习价值。幕级数求和，包括求某些数项级数的和，利用技术性质，展开定理、收敛定理等求函数项级数的和函数，函数的幕级数展开式、Fourier级数等，无疑是级数理论学习中的重要内容，在一定意义上对这部分知识掌握的程度，也是衡量学生数学能力、数学素质的一项检验指标。而作为特殊函数项级数的幕级数，由于具有结构形式简单和近似表达函数的灵活性的优点，而作为一个极为有用的计算工具，数项级数的求和就是一个重要的应用。它的基本理论依据是在一致收敛条件下，函数项级数的和函数连续，可导、可积，即求和运算与极限运算求积运算、求导运算可以换序。而幕级数更具有收敛半径易求，在（-R，R）上内闭一致收敛以及在逐项求导或逐项积分收敛nn-1区间相同性质，使得幕级数的无限求和和运算在收敛区间内可以与求极限、求导、求积运算换序，这样就为我们利用幕级数求数项和准备了充分条件。一、微分方程法第一类：比较常见的幕级数例如送4这种类型的，只要对其进行逐项求

(3n)!n二0导，找出各导函数之间满足的方程，得到一个关于导函数的微分方程。例：求幕级数送4的和。(3n)!思路：先设函数y(x思路：先设函数y(x)=£x3n，分别对函数y(x)对X进行一阶求导y'(x)，二阶(3n)!y"(x)=即得方程(x)。得到y'(x)-£x3n-1x2y"(x)=即得方程(x)。得到y'(x)-£x3n-1x2x5x8-+++...x3n-1+.n-(3n―1)!12!5!8!(3n-1)!x3n-2x4x7x3n-2.。将y(x)，y'(x)，y''(x)-x+++...十..(3n-2)!4!7!(3n-2)!y+y(x)-1+x+竺+竺+.』+...。由已学知识可知2!3!n!n-0相加y''(x)+y'(x)x2x3xnex-1+x+++…一+...。故得微分方程y''(x)+y'(x)+y(x)-ex。故只需次2!3!微分方程即可。n!这是二阶线性常系数非齐次微分方程，可求得-1x罷y(x)-e2cos2x+1ex，所以幕级数£亠的和为2e-2xcos五x+丄ex3(3n)!323(3n)!n-0第二类：例如£a(a+d)(a+2d)…[a+(n一1)d]xn这种类型的级数，在求和的时d(2d)…(nd)候采用其他常用的方法是很难求出的，因为xn的系数的分子是等差数列前n项的和，而分母则是公差的n次幕与n!的积，要逐项求导则需要n次才能把n!约掉，但此时已近很复杂了，且不能顺利求和，于是我们想办法来求所给级数在它的收敛域内所代表的可微函数所满足的微分方程。当然这个微分方程的阶数越低越好。事实上，令f(x)-£n"("+〃)("+2〃)…["+("—1)d]xn对其逐项微分可得

d(2d)…(nd)n-1Za(ad+d)(a+2d)•••[a+(n一1)d]“、,nxn一id(2d)…(nd)齐a(a+d)(a+2d)…[a+(n-1)d](1-x)f(x)=乙nn(xn-1—xn)d(2d)…(nd)n-1Za(a+d)(a+2d)…[a+nd]n(n+1)xnd(2d)…[(n+1)d]n-0乙nn-1a(a+d)(a+2d)…[a+(n—1)d]nx乙nn-1a賈a(a+d)(a+2d)•••[a+(n—1)d]a+nd=+乙x[(n+1)—n]xndn-1d(2d)…(nd)(n+1)daaa+f(x)=[f(x)+1]ddd这说明所给无穷级数表示函数满足一阶微分方程d(1—x)f'(x)-af(x)+a1-a解次微分方程并注意到f(0)-0则可求得f(x)-一1一—1-(1—x)—d—1a(1—x)da(a+d)(a+2d)…[a+(n一1)d]严即Z-(1一x)d一1d(2d)…(nd)n-1这种方法用起来，对某些无穷级数还是很有效的，例如对无穷级数Z(—1)nC0Snx与a2—n2n-1无穷级数Z1x2n+1。(2n+1)!n-1在求和的时候只要令f(x)在求和的时候只要令f(x)-Z(—1)nC0Snxa2—n2n-1-Zn-11x2n+1(2n+1)!就可得g"(x)+g'(x)-ex—1，再分另U求出g"(x)+g'(x)-ex—1，再分另U求出2f(x)和g(x)即可。此方法总结：通过对例题的求解，我们可以观察到这类级数的通项中x的指数和常数有某种联系，对其进行各阶求导之后会得到一个微分方程，然后通过对微分方程的求解就可以得到级数的和。一、杨辉三角法我们首先来考察下杨辉三角里数字排列的规则。一般的杨辉三角是如下的图形:

11TOC\o"1-5"\h\z12113311464115105101第n行1C1Cr-1CrCn-21n-1n一1n-1n-1第n+1行1C1C2CrCn-11nnnn从上面的图形中可以看到：这三角形两斜边都是1,其余的数都是等于它肩上的两个数相加。在一般的情形就一下恒等式等式：Cr-1+Cr=Cr,(r=1,2,...n)。(1)n-1n-1n将⑴式推广下就有Cr+Cr+Cr+...+C=C『+1,(n>r)rr+1r+2r+n-1r+n当r=1时有：1+2+3+..+n=—n(n+1)；2当r=2时有:TOC\o"1-5"\h\z当r=2时有:1+3+6+...+一n(n+1)=—n(n+1)(n+2)；26当r=3时有：1+4+10+...+++...+-2-3••-r2-3-4…(r+1)n(n+1)...(n++...+-2-3••-r2-3-4…(r+1)n(n+1)...(n+r-1)624所以从理论上可以化解任何一个以k的多项式为一般项的高阶等差级数。例如：13+23+34+...n4的和。可以耳将k3写成6-1k(k-1)(k-2)+6-1k(k-1)+k，而6-1k(k-1)(k-2)，626k(k-1)，k为一般项的级数，因而可以很容易的求解出其和。2我们把高阶等差级数和等比级数结合起来(在此称为混合幕级数)考虑，很自然地得出如下的一般式：S=Cr+CrX+CrX2+...+C『X"-1，当X=1时，那么以上就是我们讨论过的高阶等差级数："r+^2•鉴于关于高阶等差级数和混合幕级数的讨论，我们对倒数级数也进行了一定的讨论。一般的倒数有如下的等式：-)通过计算-)通过计算(k+1)(k+2)...(k+r-1)=(——1——利用此等式(r-1)-(r-1)!k(k+1)...(k+r-1)r-1——1——利用此等式(r-1)-(r-1)!可以求解类似X+X2+X3+...+xnT+xn...的级数。1-2-32-3-43-4-5(n-1)n(n+1)n(n+1)(n+2)此方法总结：此法是在杨辉三角基本性质的基础上将一般等差级数和一般倒数级数进行了一定的拓展。利用杨辉恒等式，针对求解高阶等差幕级数和混合幕级数和的问题，进行了有针对性的总结和归纳，并得出了此类幕级数一般性的求解方法。此法给幕级数求和方法提供了更广阔的思路和求解途径，为幕级数求和的研究提供了一条新的研究方向。对于我们求解幕级数和有更好的指导意义，对于数学专业和非数学专业的学生而言，可以更好地掌握和了解幕级数求和问题，在幕级数求和的解题过程中上有更清晰和更广的思路。一、矩阵法利用矩阵工具得到以组合数为系数的幕级数求和公式，以及以多项式为系数的幕级数求和方法。设p设p(n)为n的m次多项式。对于幕级数S(xp(x)xn，这里我们利用矩n-1阵方法考虑这类幕级数的求和。易知若K阶矩阵‘1C1n1C‘1C1n1C2nC1n1nCk-2n，则An-若K阶矩阵‘1—X—X1—X—XxG(-1,1)贝I」((#)XXX2xk-1—X(1—X)2(1-X)3'''(1-X)kXXxk-21—X(1-X)2■''(1-X)k阵，所以为xnAn=n二1x(1-X)2X1—X丿比较(5),(6)两式右端的矩阵立即得到一组以组合数为系数的幕级数求和公式;FXxn-1—Xn-1Vx乙C1xn-(7)n(1—X)2n-1占xk—1XCk-1xn=n(1—x)kn-1由(4)可知rn]n2n3r1—121—111!2!3!、rC1、nC2nC3n—31bb.b1(k—1)!Ck-1nk-1k—1,1k—1,2k—1,k—2nbb.b1k!Ck,nkJk,1k,2k,k—1丿丿JCn丿丿对于具体的k而言，上式右端的逆矩阵是不难求得的。由此可知，n,n2,n3...nk均可用组合数C1,C2,...,Ck线性表出。例如，由nnnIn]r100、—1r1!、rc1)nn2——1102!C2nn32—313!C3J丿丿J丿Jn丿可得:gg艮卩n=C1,n2=C1艮卩n=C1,n2=C1+2C2,n3nnn解:fn2xn=fC1xnC2xnn=1n=1n=1x2x2x(1+x)+=—(1-x)2(1-x)3(1-x)3〔100、-111!、rc1]rc1]nn-1102C2=C1+C2nnn:2-31丿16丿C3In丿C1+6C2+6C3'nnn丿n2、n3丿C1+6C2+6C3.nnn由于p(X)是关于n的多项式，所以利用上式可将p(x)写成组合数的表示式。这样fp(X)xn便可利用等式(7)写出其结果。n=1例1求和fn2xnn=1例2求和f(an3+bn2+cn+d)xnn=1解:an3an3+bn2+cn+22(C1nC2nC3n=d+(c+b+a)C1+(2b+6a)C2+6aC3

:.(an3+bn