原子物理与量子力学-全套课件

原子物理与量子力学唐敬友主编tangjingyou@TelOMP)教学提示1.绪论(2学时)2.以复习、回忆大学物理知识为主，并阅读有关文献。本讲主要参考书：禇圣麟，《原子物理学》，北京：高等教育出版社，1979.曾谨言，《量子力学教程》，北京：科学出版社，2003.各种物理学史的专著。经典物理学的回顾——19世纪末经典物理学大厦1、宏观力学(1)理论基础牛顿三大定律、三大守恒定律、万有引力定律。(2)学科分类

见下图。2、热力学与统计物理（1）热力学——热力学四大定律、麦氏关系（2）分子运动动理学——经典统计物理学（随温度分布律）（3）热的传导、对流与辐射——传热传质学（4）相变热力学——气体、液体和固体的三态相变（第四态：等离子体态？）3、电磁学与光学的统一(1)静电场与静磁场——电荷与磁极的静态性质(2)Maxwell方程组及其边界条件——电磁场理论(3)光的波动理论与电磁场理论的统一——电介质物理4.电子的发现与原子核式结构模型的提出

此外，还应当提出适当的初始条件，才能形成定解方程组。19世纪末经典物理学的整体印象物理学的高楼大厦已经建成。正如JCMaxwell于1871年在剑桥大学就职演说中所讲：“在几年中，所有重要的物理常数将被近似估计出来……给科学界人士留下的只是提高这些常数的观测精度。”19世纪末物理学大师们的态度1.兴高采烈2.疑虑困惑——晴朗的物理学天空中有两朵小小的、令人不安的乌云以太紫外灾难W.Thomson（Kelvin勋爵）提出经典物理的困难与近代物理的突破1.经典物理的困难黑体辐射黑体：在任何温度下都能全部吸收落在它上面的一切辐射的理想吸收体。黑体辐射的经典电磁理论与经验规律斯特藩—玻耳兹曼公式（1879）：黑体表面单位面积上单位时间内发射出的总能量与它的热力学温度的四次方成正比，即总辐射本领维恩位移定律（1893）：黑体辐射的能谱峰位的波长与温度成反比，即维恩分布定律（1895）：能谱密度分布公式瑞利—金斯公式（1895）：能谱密度分布公式黑体辐射规律在短波（或高频）情况下维恩分布定律与实验结果一致，而在长波（或低频）下与实验偏差较大。在长波（或低频）情况下的实验结果与瑞利—金斯公式一致。瑞利—金斯公式在长波（或低频）下与实验结果一致，但在极高频（或极短波）时，能谱密度为无穷大，与实验事实相悖，史称“紫外灾难”。黑体辐射能谱密度与波长的关系图普朗克公式（见教材附录A3）

1900年，普朗克借用数学上的内插法，经过一系列的推导得到了与实验符合得非常好的黑体辐射能谱分布公式，即著名的普朗克公式：

普朗克在推导公式中首先用到了能量子的概念，这也是他成功导出上式的关键。但他对自己的工作非常不满意，认为是一个牵强附会的做法。对此规律的解释，经典理论无能为力！固体比热

杜隆和伯替按能量均分定理导出的固体比热容是常数3R（R是理想气体常数）。在室温和更高的温度下，实验结果与之相符。但在极低温度下，固体的比热容随温度趋于零而快速趋于零（正比于温度T3）。

对此解释，经典理论也无能为力！氢原子的线状光谱氢原子光谱是线状光谱，不是连续光谱。氢原子的光谱线系的波数（或波长）可用简单的经验公式表示上式中，n、m均取正整数，且m>n。此式叫里德伯方程。n取不同的值时对应不同的线系，先后被发现的氢光谱线系见下表。对此规律的解释，经典理论也无能为力！谱线系名称波段范围nm发现者发现年代赖曼系紫外12,3,4,…Lyman1914巴耳末系可见23,4,5,…Balmer1853帕邢系红外34,5,6,…Paschen1908布喇开系红外45,6,7,…Brackett1922普丰特系红外56,7,8,…Pfund1924汉福莱系红外67,8,9,…Humphreys?原子核式结构模型原子结构电子的发现：电量、质量（荷质比）。汤姆孙模型：西瓜模型，即电子均匀镶嵌在正电荷中。卢瑟福的核式结构模型：行星模型，即核外电子绕原子核运动。原子核式结构模型的正确性α粒子散射实验——物理模型实验装置原理理论解释

利用电子与核电荷之间的库仑相互作用运动，可导出库仑散射公式式中，Z1、Z2分别是入射粒子和靶核的原子序数，E是入射粒子的动能，

是散射角，b称为瞄准距离。问题：由于瞄准距离在实验中无法准确测量，上述公式的正确性不能用实验验证。卢瑟福公式微分截面的定义表示对于单位面积内的每个靶核，单位入射粒子、单位立体角内的散射粒子数。卢瑟福公式物理意义：α粒子散射到

方向单位立体角内每个靶原子的有效散射截面。它具有面积的量纲，单位：m2/sr（米2/球面度）。卢瑟福公式的实验证明以上结果被卢瑟福的学生盖革、马斯顿于1913年一一证明。原子核式结构模型——行星模型的困难原子的稳定性：无法解释原子的稳定性。按照经典电动力学理论，加速的核外电子在原子核电场中运动会不断产生电磁辐射，其能量会减少，最终很快使电子掉到原子核中。到事实上，原子十分稳定，并没有坍缩。原子的同一性：任何哪种原子，只要核电荷数相同，无论它处在哪里或来自何方，它们就完全一样。但宇宙中未发现两颗完全相同的星体。行星模型不能解释原子的同一性。原子的再生性：原子与外来粒子发生作用，其作用一旦去除，原子将恢复其原貌。而行星受到外来星体的撞击，那将是灾难性的，不可能恢复。2.近代物理的突破和三大理论的诞生(1)量子力学——乌云之一被驱散(2)狭义相对论——乌云之二被驱散(3)广义相对论科学是有趣的，但有无数多的奥秘还未被揭示。韩愈在《师说》中说：弟子不必不如师，师不必贤于弟子。愿青年朋友勇攀科学高峰，青出蓝而胜于蓝！本章小结谢谢!原子物理与量子力学唐敬友主编tangjingyou@TelOMP)第二章玻尔的旧量子论§2.0背景知识请阅读教材的开头段，你认为对哪个问题感兴趣？一、量子假说根据之一：黑体辐射黑体及黑体腔热平衡辐射理论Kirchhoff定律

1859，Kirchhoff证明：黑体的热辐射达到平衡时，能量谱密度E~E(ν,T)，与空腔的形状及组成物质无关。（2）Wien位移定律

1893年，Wien发现黑体辐射的位移定律:并得到热平衡辐射的能量密度的经验关系：（3）Raylight-Jeans公式

1900~1905年间，Raylight与Jeans根据电动力学和统计物理学导出：

（3）黑体辐射实验及Planck公式黑体辐射实验结果——能谱曲线（1）在低频时与R-J公式符合较好；（2）在高频时与Wien公式符合较好；（3）Planck的猜测：1900年10月19日，Kirchhoff的学生Planck根据黑体辐射的能谱曲线特征和前人做的理论工作，猜出了能谱密度公式——著名的黑体辐射公式

特点：（1）在低频时与R-J公式符合；（2）在高频时与Wien公式符合；（3）可导出Wien位移定律与Stefan公式。3.晴朗的物理学天空中的乌云之一——紫外灾难由Raylight-Jeans公式，黑体辐射的总能量密度

严重背离实验事实，这是著名的紫外灾难。4.乌云的驱散——可恶的量子假设（1）热辐射发射的电磁波的态密度(见:王正行《近代物理》，北京大学出版社，1995)（2）可恶的量子假设设温度为T的黑体达到热平衡辐射时,频率为ν的粒子只能具有一系列的分立能量，即只能是ε0=hν的整数倍：称这些分立能量的粒子为量子。它们的能量分布遵从Boltzmann分布。由此可以计算出它们的平均能量:上式中，β=1/k，k为Boltzmann常数。（3）由（1）、（2）的结果，可得总辐射的能谱密度：总辐射能量密度——总辐射本领利用定积分公式得到斯特藩—玻耳兹曼定律它虽然和实验结果吻合得如此之好。Planck于年获得了Robel物理学奖。但假设毕竟是假设，Planck也认为这是可恶的量子假设。二、量子假说之二：光电效应光电效应的发现1887年，Hertz的放电实验发现了电磁波，确定了电磁波传播速度等于光速，并注意到紫外光照射放电阴极时更容易引起放电。1888年，Hallwachs发现清洁而绝缘的锌板在紫外光照射下获得正电荷，而带负电的板失去负电荷。1900年，Lenard正式发现了光电效应；1902年指出，光电效应不能用波动学说解释。1905年，Einstein提出了光量子假说,成功地解释了光电效应现象。1916年，Millikan验证了爱因斯坦的光电效应公式，并精确测定了Planck常数。2.光电效应的实验规律(以下内容由同学们自学)（1）实验装置（2）实验结果3.光量子假设下的理论解释

1924年，Einstein因在光电效应方面的研究成果，获诺贝尔物理学奖。三、光谱的实验事实光谱的概念

光的强度分布与频率的关系，成为光谱。测量光谱的仪器称为光谱仪。（请思考：常用的光谱仪有哪些？）2.氢原子光谱的实验规律1885年，Balmer提出的经验公式

式中，B=364.56nm，是经验常数，n取不同值时，光谱线的波长落在可见光范围内，称为Balmer系。1889年，Rydberg提出了一个氢原子光谱的普适公式谱线系名称波段范围n发现者发现年代赖曼系紫外12,3,4,…Lyman1914巴耳末系可见23,4,5,…Balmer1853帕邢系红外34,5,6,…Paschen1908布喇开系红外45,6,7,…Brackett1922普丰特系红外56,7,8,…Pfund1924汉福莱系红外67,8,9,…Humphreys?氢原子光谱线系氢原子光谱图解§2.1玻尔的氢原子理论

玻尔模型的三部曲：第一部曲——经典轨道的定态条件电子绕核作“行星运动”的向心力：库仑引力（？）总能量：E=?电子作圆周运动的频率：经典电动力学的结果：整个原子坍塌。

玻尔假定之一：电子的轨道运动不会发生电磁辐射，而是稳定地处在相应的能量状态上，该状态为定态。

第二部曲——频率条件玻尔假定之二：电子可以从一个定态跃迁到另一个定态轨道上，并吸收或发出能量为hν的光子，并满足：此即玻尔的频率条件，亦称辐射条件。与前面的氢原子光谱项公式比较，得到定态能量

由总能量公式可以得到定态的轨道半径为第三部曲——角动量量子化玻尔假定之三：当微观量子数n很大时，微观理论与宏观理论的结果趋于一致。此即对应原理。由此可得到角动量量子化条件。由对应原理，它应等于前面的经典频率。由此得到令r=rn，可以得到里德伯常数，已经不再是经验常数了。进而可得定态的能级公式：

利用经典角动量公式，可以算得这就是角动量量子化条件。玻尔假定，对任何氢原子轨道都成立。记住！书上给出的几个组合常数。§2.2

波尔理论的光谱实验验证（1）氢原子光谱里德伯常数的验证理论值实验测量值相对误差：超过万分之五，但当时的光谱学实验精度已达万分之一。说明理论结果还不令人满意！理论的完善：考虑两体运动，用折合质量取代电子质量由此算得的值与实验值符合得非常好！（见书P48表8.1）

（2）原子的能级图

用里德伯公式

绘制的能级图解，也与实验结果符合得很好！解开了近30年的氢原子光谱之谜！

氢原子的电子轨道与光谱线系氢原子能级与光谱线系（3）类氢离子光谱类氢离子：原子核外只有一个电子，但核电荷数大于1的离子。如He+，Li++，Be+++，B4+等。类氢离子的光谱和能级完全可以用玻尔理论作出完美的解释。目前的加速器技术，可以获得O7+，Cl16+，Ar17+，甚至U91+等类氢离子。更为特别地，可以将原子的核外电子完全剥离而成为裸核，称为高剥离态。类氢离子的光谱公式He+光谱系——毕克林系的发现证实了上述公式的正确性。电子偶素(positronium):e+-e-的束缚体系。μ子偶素(muonium)：μ+

-μ-束缚体系。肯定了氘的存在。束缚态与电离态：线状光谱与连续光谱。里德伯原子：原子中的一个电子被激发到很高的量子状态的激发原子。特点：原子半径大、寿命长、易受干扰。（一）实验原理

具有一定能量的电子与原子碰撞，进行能量交换而实现原子从基态到激发态的跃迁。（二）实验装置§2.3夫兰克-赫兹实验与原子能级量子化的进一步证明（三）实验过程

通过可变电阻调节改变KG间的加速电压，以改变热电子的能量，从检流计可以检测出电流随加速电压的变化曲线如图：（四）实验结果与结论极电流随GK间电压呈周期性增大减小。夫兰克-赫兹实验进一步证明了原子内部能级的存在，即原子能级是量子化的。§2.4

玻尔理论的推广一、椭圆轨道——索莫菲量子化条件椭圆的极坐标方程量子化通则式中p、q分别是广义动量和广义坐标。若p是动量，则q为位移；若p是角动量，则q为角位移。如果描述电子的圆周运动，那么其轨道角动量（改用J表示）是常数，则有

这就是玻尔的轨道量子化条件。

——电子的转动动能对每一个广义坐标应用量子化通则，即

利用式中pΦ、pr均为正整数，分别称为角量子数和径量子数。——留数定理由此得椭圆轨道的半短轴与半长轴之比因能量守恒，上两式相等，得——第一玻尔半径。——角量子数——径量子数n

——主量子数总能量二、相对论修正——动能——类氢离子的能量——圆轨道半径势能——精细结构常数经典总能量相对论总能量泰勒展开索莫菲椭圆轨道的相对论能量索莫菲相对论修正的光谱项三、碱金属原子的光谱锂原子光谱线系注意：与氢原子光谱的异同！锂原子光谱项值和有效量子数钠光谱项值和有效量子数四、原子实极化和轨道贯穿碱金属原子的核外电子排布价电子

最外层的未满壳层电子。原子实

原子核和核外满壳层电子组成一个稳固的结构。原子实的极化

原子实的结构是球对称的，价电子接近原子实时，原子实的正电荷吸引负电荷的电子，致使原子实的正负电荷中心发生微小的偏移而不再重合，形成一个电偶极子,见图(a)。轨道贯穿

偏心率较大的轨道上运动的价电子，其部分轨道可能穿入原子实，见图(b)。本章小结谢谢!原子物理与量子力学唐敬友主编tangjingyouOMP)§3.1波粒二象性光的波动性：光的干涉、衍射、偏振现象证明了光具有波动性;

光的粒子性：光电效应、康普顿效应和黑体辐射说明了光具有粒子性。

光的本质是什么？究竟是波还是粒子？

光的波粒二象性：光同时具有波动和粒子二重性，就是说光既粒子也是波，是粒子和波动两重性矛盾的统一。

光有时表现出其中的矛盾主要方面，或者是粒子或者是波。但波粒二象性更能本质地描述光的特性。光的波粒二象性描述粒子性的时，爱因斯坦用了一个简单的公式来描述光子：式中，E为光子能量；ν为光子的频率；ω为圆频率；h为普朗克常数，，此式称为爱因斯坦关系。通过这个关系式爱因斯坦把描述光的粒子性和波动性的两个特征量——能量和（圆）频率联系起来了。它很好地解释了光电效应和康普顿效应。请回忆一下，光波波长和频率的关系：其中c是光速，而光的静止质量为零，则。由上述爱因斯坦关系，得到光的波长与动量或波矢量大小之间的关系德布罗意关系：与粒子相联系的物质波的波长德布罗意物质波实验验证：戴维孙-革末实验和汤姆孙实验。微观粒子的波粒二象性用爱因斯坦关系和德布罗意关系定量描述，它们把描述粒子性的能量、动量与描述波动性的频率、波长联系在一起，其中有一个重要的常数是普朗克常数h。上述表达式仅对于光才适合吗？答案是否定的。

德布罗意的物质波假设：一切实物粒子都具有波动性

微观粒子的波粒二象性此式称为德布罗意关系。§3.2波函数的态与叠加原理（一）波函数及其统计解释波函数：概率波的数学表达形式,描述微观客体的运动状态。

描述微观粒子的函数一般用表示，按照玻恩的统计解释：表示时刻t在位置r出现的概率密度。若知道了体系的波函数，就可以知道体系的全部性质。本身则表示概率幅。注意：波函数的数学形式一般说来是复数域中的函数，即复数函数。概率密度：单位体积内粒子出现的概率在非相对论情况下，实物粒子没有产生和甄灭，所以，在随时间的演化过程中，粒子数目保持不变。对一个粒子来说，在全空间中找到粒子的概率之总和应不随时间变化,即:此式被称为波函数的归一化条件。注意这里的积分体积微元的具体形式会因坐标系的不同而不同，常用的三维空间坐标系有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系，请分别自行写出。（二）波函数的统计解释——玻恩诠释波函数与描述同一粒子的相对概率密度相等，即

因此，描述同一粒子之间的波函数之间允许相差一个常数因子。

一般地说，任一波函数的模方在全空间的积分值并非等于1，而是一个有限的数值A，即显然:波函数标准条件：连续，单值，有限。单值：任意时刻和任一确定位置粒子出现的概率是确定的。有限:

全空间找到粒子的概率为1，则任意时刻和任一位置的波函数（或概率幅）的数值为有限值，而且其模方可积。连续：由粒子概率的连续方程（稍后给出）所决定，即描述粒子的波函数处处连续。另外，粒子处于连续变化或有限阶跃势场中的波函数，其一阶导数也连续。这样，波函数就是归一化的波函数。但它与只差一个常数因子，它们描述同一个粒子的概率波。

（二）态的叠加原理用波函数来描述微观粒子的量子态。当给定后，则粒子出现的概率率密度为。

波函数的统计解释也是波粒二象性的一种体现。

经典波：遵从叠加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更斯原理。描述微观粒子的波是概率波，是否可叠加？意义是否与经典相同？

经典物理中，光波或声波遵守态叠加原理：二列经典波φ1与φ2线性相加，φ=aφ1+bφ2,相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的叠加原理加以说明的。量子力学中，如果Ψ1与Ψ2是体系的可能波函数（或状态函数，简称态），那么它们的线性叠加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2是否也是这个体系的一个可能状态？

若Ψ1与Ψ2为描述粒子的两个不同状态的波函数，它们的线性叠加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，表示粒子既可能处于Ψ1态又可能处于Ψ2态，处于这两个态的概率分别为。态的叠加原理描述粒子状态的波函数和态的叠加原理是量子力学的一个基本假设。自由粒子：不受外力场的作用，在空间中其动量和能量都不随时间变化的粒子。（一）自由粒子薛定谔方程的建立如何确定自由粒子的波函数呢？回顾一下电磁学中平面电磁波的数学描述。即平面电磁波的数学表达式更方便地写为以下指数形式因为在求解电磁场方程组时涉及到对上述函数的一阶或二阶偏导数运算，最后的结果取其实部，由此为计算带来方便。§3.3薛定谔方程的建立及其性质试分析一下平面电磁波和自由粒子的波函数有何异同？平面电磁波和自由粒子的能量和动量都不随时间和空间变化，二者在空间中的运动都是“自由的”。

它们分别需要一个代表波的数学函数来描述。平面电磁波是一种纯粹的经典波，而微观粒子的波与粒子属性密切联系。在波函数的数学形式上应当有相似之处，但粒子的波函数应当包含其粒子性，即通过波粒二象性来联系——爱因斯坦关系与德布罗意关系。薛定谔的创造性思维：利用爱因斯坦关系和德布罗意关系，把平面电磁波表达式中表述波属性的物理量波矢量与圆频率用动量和能量替换，便得到自由粒子的波函数自由粒子薛定谔方程的建立自由粒子能量与动量之间的关系自由粒子薛定谔方程的建立对自由粒子波函数分别求出关于时间一阶偏导数和空间的二阶偏导数，可以得到由此可以得到即以上方程便是自由粒子波函数随时间演化的方程，称为自由粒子的薛定谔方程。注意！以上过程并非薛定谔方程的推导，而是通过简单的微分运算建立起自由粒子波函数的时间与空间的演化关系，从而得到一个“抛物型”的拟线性偏微分方程。这是薛定谔的一个重要的思维突破。若引进以下两个算符：把上述算符替代能量与动量关系，并作用于波函数就可得到自由粒子的薛定谔方程。

其中有两个算符：梯度算符与拉普拉斯算符在直角坐标系下的表达式为注意！自由粒子的波函数形式是薛定谔方程的一个解，但不是唯一解。因为按照态的叠加原理，任意一个波包可以通过傅里叶变化展开为平面波的叠加，即此波函数也满足薛定谔方程。请自己证明。（二）一般形式的薛定谔方程按照一般经典粒子的能量公式，粒子除了动能外还应当有势能，即对自由粒子的薛定谔方程进行推广，就可以得到如下一般形式下的薛定谔方程：把单粒子的情况推广到多粒子体系，则多粒子体系的薛定谔方程为势能动能电子之间排斥能其中，电子之间的排斥势能可以进一步写为自此，有了多粒子体系的薛定谔方程，加上初始条件和边界条件，原则上可以求解出波函数和体系的能量。但能得到精确解析解的问题非常少，大多数问题需要借助计算机求解。后续的章节针对一些简单的体系或常见的量子力学问题开展进一步的学习和研究。关于薛定谔方程的讨论如果已知粒子质量m及势函数V的具体形式,则可以写出具体的薛定谔方程。这是一个二阶偏微分方程，若给定初始条件和边界条件即可求解。薛定谔方程是建立，不是导出，薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，是否正确，由实验检验。薛定谔方程的适用范围：非相对论情况。（三）定域的概率守恒描述微观粒子的波函数Ψ，粒子在空间某点出现的概率密度为在非相对论情况下，实物粒子没有产生和甄灭现象所以在随时间演化的过程中粒子数保持不变。

粒子在一定空间区域内出现的概率怎样随时间变化？薛定谔方程为

由，得取其复共轭得

对上式在封闭空间

内积分，根据Gauss定理，得到引人两个量：——————概率密度——————概率流密度矢量j的物理意义：粒子在单位时间内沿S曲面法向流过单位面积的概率。粒子数守恒定律的物理意义：在一个定域的封闭区域中找到粒子的总概率在单位时间内的增量等于从该封闭表面流入该区域的粒子概率。积分号前的负号表示粒子的流入，反之正号表示粒子的流出。引进两个重要的物理量：概率密度和概率流密度其中，Im表示取复数的虚部，则得此式即为定域粒子的概率守恒方程的积分形式，又称粒子数守恒定律。粒子数守恒定律的微分形式粒子数守恒律的积分中再次使用Gauss定理，把面积分化成体积分，得到此式即粒子数守恒定律的微分形式。其物理意义：空间某点及其附近的概率随时间的增加（或减少）等于外界流入到该点（或由该点流出）的粒子概率。若把定域范围拓展到全空间，按照波函数有界性的要求，粒子在无穷远处的概率为零，由积分形式的概率守恒方程，有表示全空间找到粒子的概率为1，即常数，不会随时间变化，粒子既不会产生或湮灭。解：由定义：概率密度

概率流密度（四）能量本征方程和本征态在很多实际问题中，作用在粒子上的力场是不随时间改变的，即力场是势能V(r,t)=V(r)。在这种情况下，可以用分离变量法来求解方程，波函数有较简单的形式代入薛定谔方程得请思考：为什么这个常数设成能量E，而不是其它的物理量?上述一阶常微分方程的解C为任一常数，把它包含在中，得到薛定谔方程的特解为把C包含在中是完全可以的，最后要归一化。定态波函数①波函数为一个空间坐标的函数与一个时间函数的乘积，整个波函数随时间的改变由因子决定。②定态：量子力学体系的波函数用所描写的状态称为定态，处于定态时，体系中粒子的概率密度、概率流密度和力学量的平均值均不随时间变化。

③粒子处于定态，概率密度不随时间而改变，空间概率分布是稳定不变的。算符：表示某种运算的符号；本征方程：具有形式的方程；本征值：

满足本征方程的常数；本征函数:满足本征方程的函数。量子力学中的许多问题都是求解体系的力学量算符的本征方程。找出其本征值和本征函数，从而确定体系力学量的各种可能的取值。本征值常常是分立且不连续的（数学上，常由定解问题的有限边界值条件造成）。算符的本征方程请思考：在数学中，哪个地方学过本征方程的概念？它们之间有何区别？不随时间变化的经典哈密顿算符哈密顿算符能量本征方程：不含时间变量t，称为定态薛定谔方程，实际上是哈密顿算符的本征方程。能量E是体系的能量本征值。波函数称为体系的能量本征函数。能量本征方程即§3.4一维定态薛定谔方程在一维势场V(x)中粒子运动满足定态薛定谔方程为这是一个（可能是变系数的？）二阶常微分方程，给出势函数V(x)的具体表达形式，解这个常微分方程就可以得到能量本征值和本征函数。用薛定谔方程处理问题的步骤根据具体问题列出定态薛定谔方程求出薛定谔方程的通解——波函数根据波函数应满足的自然条件定出边界条件求出薛定谔方程的特解根据波函数应满足的归一化条件写出定态波函数对量子力学处理的结果进行分析与讨论（一）一维无限深势阱在许多情况中，如金属中的电子，原子中的电子，原子核中的质子和中子等粒子的运动都有一个共同特点，即粒子的运动都被限制在一个很小的空间范围以内，或者说，粒子处于束缚态。物理模型假设微观粒子被关在一个具有理想反射壁的方匣里，在匣内不受其它外力的作用，则粒子将不能穿过匣壁而在匣内自由运动。为了讨论方便，考虑一维运动情况，势函数表示为：a表示势阱的宽度，V(x)

表示势阱的深度，在阱内势能等于零，在阱外势能为无穷大。在阱内在阱外波函数连续性决定的边界条件为波函数有界的要求粒子无法穿过无限深的势阱，阱外的解求解过程n取零无物理意义粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列离散值，即它的能量是量子化的。每一个值对应于一个能级，这些能量值称为能量本征值，而n称为量子数。粒子最低能量称为基态能量。粒子最小能量的存在意味着物质世界不可能有绝对静止状态。相邻两能级的间隔：1.能级和能级差结果讨论与分析①相邻能级间的差值，随量子数n的增加而增加，随粒子质量m和势阱宽度a的增大而减小。

②对宏观物体，由于其质量很大，运动范围也大，E

很小，故其能量可看作是连续变化的。

③对微观粒子，若在宏观范围内运动则E很小，其能量量子化不显著；如果是在原子尺寸大小的范围内运动，则E

很大，能量量子化就很明显。④当n→∞,ΔEn/E≈2/n→0,能级分布可视为连续的。2.波函数归一化因子一维无限深方势阱中运动粒子的归一化波函数3.粒子在势阱中的概率密度不同量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的概率不同。n-1个节点，当n→∞时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。例：在核内的质子和中子可粗略地当成是处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中的运动也可以认为是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一激发态到基态转变时，放出的能量是多少MeV？核的线度按1.0×10-14m计。解：质子基态能量为第一激发态的能量为从第一激发态转变到基态所放出的能量为实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般就是几个MeV的量级。（二）势垒的贯穿——量子隧道效应物理模型势能突增的空间区域形象化地称为势垒。例如，金属表面以外的区域对于内部电子所形成的突增势能就是一个势垒。势垒对粒子的作用一般表现为散射作用。对于一维情况，粒子被势垒散射后，或者穿过势垒，或者被反射。解决势垒问题的中心思想就是找到粒子穿透和反射的概率。是以粒子的动量和能量作为已知量为前提的。薛定谔方程及其求解过程粒子能量E<U0的情况：1)势垒外两个特解。假设粒子从左入射I区内表示入射波；表示反射波III区内，只有透射波。入射波的波幅取为1，反射波和透射波的波幅分别为R、S。几个定义入射粒子流密度反射粒子流密度透射粒子流密度反射系数和透射系数2)势垒内通解为利用在边界x=0处，波函数

及其导数的连续性条件利用在边界x=a处，波函数及其导数的连续性条件由上面的四个式子中消去A、B，得到关于R、S的方程组透射系数和反射系数为从Ⅰ区入射的粒子，部分被反射回去，其余的贯穿势垒区（Ⅱ区）而透射到Ⅲ区。透射系数T不为零。即使微观粒子的能量E小于势垒高度U0，被散射的粒子也有穿透势垒的可能性，并且穿透后的能量E不变。这种现象称为隧道效应。隧道效应是量子力学中特有的物理现象，是微观粒子波动性的表现，在经典物理中是不可能发生的。例：求动能E为3eV的电子隧穿高度U0=10eV，宽度a=0.4nm和a=0.8nm势垒的概率？电子换成质子的结果？解：说明电子的隧穿概率对势垒宽度a，质量m非常敏感。当m、U0-E以及a为微观尺度时,（特别是对于电子）穿透系数有一定的值；当m及a增加时，T则大幅度降低。如果m及a为宏观尺度，T将趋于零而实际上无法测量，势垒贯穿是一种微观效应，是微观粒子波动性典型表现。粒子能量E>U0的情况当粒子的能量E大于势垒高度U0时，经典力学给出，粒子将无一例外的越过势垒而不被反射，但是，运用量子力学理论，通过与上述完全类似的推导，可以得出粒子也有被反射的可能性。总之，不论微观粒子的能量E是否大于势垒，当它受到势垒的散射时，将同时存在着反射和透射，并且各自按照一定的概率出现。这正像光在不同介质分界面上必定同时产生反射和透射一样。这反映了微观粒子的波动性。任意形状的势垒U(x)右图所示为一任意形状的势垒，可以把这个势垒看作是许多方形势垒组成的，每个方形势垒宽为dx,高为U(x)。整个势垒的穿透系数就是无限小方形势垒穿透系数的乘积。能量为E的粒子在x=a处射入势垒U(x)，在x=b处射出，即U(a)=U(b)=E。上述推导不够严格，但与更严格的方法推导的结果一致。隧道效应应用宾尼（GBinnig）罗赫尔（H.Rohrer）

瑞士苏黎世IBM公司的两位科学家宾尼和罗赫尔研制成了STM，可以很精确地观察材料表面结构，成了研究表面物理和其他实验研究的重要显微工具，二人与电子显微镜的发明者鲁斯卡分享了1986年诺贝尔物理学奖。1990年，IBM公司的科学家展示了一项令世人瞠目结舌的成果，他们在金属镍表面用35个惰性气体氙原子组成“IBM”三个英文字母。纳米技术正式诞生。这是中国科学院化学所的科技人员利用纳米加工技术在石墨表面通过搬迁碳原子而绘制出的世界上最小的中国地图。（三）一维谐振子两原子间的势能可近似用线性谐振子表示。自然界的任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究无论在理论上还是在应用上都是很重要的。经典弹簧振子经典力学中，劲度系数为K的弹簧放在光滑的水平桌面上，一端固定不动，另一端系着一个质量为m的物体，就构成了一维简谐振子。选择平衡位置为水平x轴的零点，其弹性回复力为相应的势能为在

处，动能为零，谐振子能量，谐振子运动仅限于区域运动，且能量E可以取任何值。谐振子简谐运动坐标与时间的关系式圆频率为量子力学中谐振子1）问题求解：哈密顿算符定态薛定谔方程变系数的二阶常微分方程，为了求解方便，引入两个无量纲的参量定态薛定谔变为讨论方程在近似解，λ略去这个方程的解为谐振子势是一个无限深势阱，只存在束缚态，ψ在无穷远处，必须趋于零，舍。方程的解为关于H(ξ)变系数二阶常微分方程，级数法求解方程的解为一个无穷级数，在时渐进解为带回不能满足束缚态边界条件，级数必须中断，要求其解是一个多项式，条件是这样方程就得到一个多项式解讨论（a）能级：能级差：简谐振子的能量本征值，即简谐振子的能量是量子化的，只能取离散值。①能量间距都是相同的；②n=0时，基态能量不为零，意味着简谐振子不可能静止不动。与经典物理学完全不同。零点能的存在已经为光被晶体散射的实验所证实。能级差在解释双原子分子的振动光谱、固体的比热等问题中都有重要的应用。普朗克在解释黑体辐射问题时，虽然假设振子能量为，这与量子力学结果有的偏差，但是由于普朗克假设可以得到谐振子的能量改变为的整数倍，与量子力学的结果是一致的，因此普朗克理论能够很好地解释黑体辐射能谱。(b)简谐振子能量为En的本征函数基态第一激发态第二激发态当体系处于基态时，能量值，基态谐振子在空间概率分布如下。微观振子概率除在x=0处取最大值外，相当大的范围内都不为零。经典振子最小能量为零，静止于平衡位置，除x=0外，其余各处都为零。虚线：n=1,2（）经典振子的概率密度。在反转点，概率最大之外，概率为零。微观振子，概率有起伏，最大值次数n+1。n=10，谐振子的概率分布曲线。激发态的量子数n越大，其概率密度分布的振荡越剧烈，将振荡平滑后就越接近于经典的概率密度分布。（c）宇称描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数n奇数，奇函数；n偶数，偶函数。波函数具有确定的奇、偶性称为体系具有确定的宇称。奇函数对应的是奇宇称，偶函数对应的是偶宇称。如果体系的势能在空间反演下不变，即势函数是偶函数，体系波函数具有确定的宇称。本章小结谢谢!原子物理与量子力学唐敬友主编tangjingyou@TelOMP)§4.1算符及其运算规则（一）算符算符：只是代表对函数施加某种运算的符号，是一种数学语言工具。例如等。量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动量与相当，自由粒子体系的能量与相当。于是，用算符表示力学量的假设被人们初步认识。在量子力学中常把它称为是把算符“作用”到波函数上,作用的结果是得到了另外一个波函数.（二）算符的运算规则

如果量子力学的力学量F在经典力学中有对应的力学量，则表示这个力学量的算符,将代入由经典表示式，即

如果没有经典力学表达式的量子力学力学量，比如电子的自旋，它的算符由量子力学独立建立。例如，角动量算符(三)算符运算的基本性质定义1：线性算符

由于态叠加原理，在量子力学中的力学量算符应是线性算符。满足以下运算规则的算符称为线性算符：ψ1、ψ2是任意的两个波函数，c1与c2是两个任意复常数。定义2：单位算符单位算符

：对任意波函数运算后保持不变的算符，即其中ψ是任意波函数。那么，就说算符定义3：两个算符相等若两个算符和作用于任意一个波函数ψ所得的运算结果相同（即同一个函数），则称两个算符相等。例2：不能说算符与算符相等，因为它们是作用在一个特定的函数上，而不是作用于任意的函数上。定义4：算符之和如果把算符作用在任意函数ψ，所得到的结果和把算符分别作用在ψ上得到的两个新函数之和相等，即称算符等于与之和。写作例3：哈密顿算符就是动能算符与势能算符之和。算符求和满足交换律与结合律，当然，线性算符之和仍是线性算符。定义5：算符之积如果把算符作用于任意函数u

上得到一个新函数，且再使算符对这个新函数作用所得的结果等于另一个算符直接作用在

u

上所得的结果，即称算符为算符与的乘积。写成注意算符之积对波函数运算的先后次序，不能随便交换。一般地说算符之积不满足交换律，即定义6：对易式定义任意两个算符、的对易式为则称算符不对易；若若则称算符对易。类似地，定义两个算符、的反对易式为若或，称算符和反对易。下面是几个常见的对易式满足的恒等式定义7：逆算符设能够唯一地解出，即则称为算符的逆算符。并非所有的算符都存在逆算符。性质：若算符存在逆算符，则定义8：波函数的内积“标积”一个量子体系的任意两个波（态）函数与的内积定义为其中指对全空间的积分，是积分体积微元。由内积的定义式，可以证明式中c1、c2为任意常数。定义9：转置算符算符的转置算符定义式中与是任意两个波函数。或者写成定义10：复共轭算符算符的复共轭算符定义为算符的复共轭可以把相应算符中的所有量换成复共轭就行了。例6：在坐标表象中算符的厄米共轭算符定义为定义11：厄米共轭算符实际上，算符的厄米共轭算符等价于共轭转置算符，即证明：于是，有推论4：定义12：厄米算符厄米算符也称为自共轭算符，满足以下关系：由于厄米算符的平均值必是实数，满足力学量是可观测量（也是实数）的要求，在量子力学中，力学量用厄米算符算符表达。例8：等都是厄米算符证明：动量算符为厄米算符是厄米算符推论5：若是厄米算符，则。推论6：若两个厄米算符对易，则是厄米算符。例10：定义径向动量算符证明：证明：§4.2量子力学中的力学量用厄米算符表达(一)量子力学中的力学量用厄米算符表达1测量的平均值与涨落若测得结果A1的次数为m1，A2为m2，…，An为mn。设总次数为M，即M=m1+m2+…+mn，则测量该物理量的平均值为某一测量值Ai的次数mi与总测量次数的M之比mi/M称为Ai的概率，记为Pi。因此上式可用测量概率来表示

当可能值为离散值时:一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的概率求和；当可能值为连续值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的概率密度求积分。位置平均值量子力学中，粒子处于波函数为态，在时刻t，粒子位置在x~x+dx之间的概率正比于，粒子的平均位置如果是归一化的，则动量平均值对于归一化波函数，动量的平均值,是位置的函数对于给定的波函数，测量粒子的动量在范围内的概率为，其中可以通过傅里叶变换得到。借助于来计算动量的平均值式中用到傅立叶逆变换及的算符运算规则。这样，就得到在中计算动量的公式平均值和涨落量子力学中计算力学量（相应的算符为）在态下的平均值公式为某一物理量的测量结果则围绕平均值有涨落（偏差）。定义涨落为记称为测量结果的不确定度例1：求一维无限深势阱中运动的粒子基态平均动量厄米算符的性质厄米算符及测量平均值的定义，证明厄米算符两个重要定理。定理：体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。

证明：由厄米算符的定义，在任意状态下，厄米算符的平均值为则平均值必为实数。逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。推论设为厄米算符，则在任意态下，量子力学中力学量一定是线性厄米算符量子力学中的力学量都用算符来表示，力学量的平均值是由力学量算符和相应状态决定，定义为实验上可观测的力学量，要求在任何状态下平均值都是实数。根据厄米算符的性质定理及其逆定理知道，只有厄米算符能满足这个要求。而且量子力学状态波函数满足态叠加原理。(二)厄米算符的本征值与本征函数体系只有处于某些特殊的状态，测量力学量A

所得的结果才是完全确定的，即涨落这种状态称为力学量A

的本征态。即这个方程是算符的本征方程本征态下，厄米算符与本征函数性质定理1

厄米算符的本征值必为实数。证明：假定体系处于本征态，则厄米算符在任何状态下的平均值必为实数，所以An也必为实数。定理2

对于一个厄米算符，属于不同本征值的本征函数彼此正交。即两个波函数彼此正交。简并态问题

简并态：在求解量子力学体系的本征值问题时，力学量的同一个本征值有多个不同的本征态（波函数），体系处于这样的状态称为简并态。设力学量A的本征方程为即属于本征值的本征态有个，称本征值为重简并。量子力学体系当出现简并时，简并态不一定彼此正交。通过适当线性组合，使之彼此正交。令此即个波函数的线性叠加构成的波函数。选择组合系数，使具有正交性，即总可以找到一组，使上式的正交性条件满足。§4.3不确定度关系（一）量子力学的基本对易式与角动量的对易式

在量子力学中，同时涉及几个力学量时，如何取值？在经典力学中，两个或者多个力学量永远可以同时有确定值。在量子力学中，当体系处于任意可能态时，算符表示的力学量A没有确定值；如果是不同算符表示的不同力学量，一般情况下就更不能同时有确定值，只能在特殊情况下才能同时有确定值。不同力学量能否同时有确定值依赖于它们各自的算符及其相互关系。1.量子力学的基本对易式下面以第一个式子为例证明，设ψ为任意波函数则由ψ的任意性得以上对易式概括为2.角动量对易式角动量算符在直角坐标系下运用算符运算角动量分量与坐标分量之间的对易关系记忆方法：从左至右以依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。角动量分量之间的对易关系证明按照算符的行列式展开规则经典物理中自己与自己差乘一定等于零。而在量子力学中角动量与角动量差乘可以不等于0.这主要是因为角动量在量子力学总不同于经典力学，其根源是本征值为量子化的。角动量平方算符与角动量分量算符的对易关系角动量平方算符为可以证明(二)不确定度关系不确定度关系的物理表述及物理意义指量子力学体系中同时观测两个力学量（如A，B），得到的测量结果的不确定度所满足的关系，即若这两个力学量对应的算符彼此对易，则它们存在共同的本征态，在该本征态下的测量值就是相应的本征值；否则，它们没有共同本征态，同时测量时的测量值满足上述不确定度关系，其本质是微观粒子波粒二象性的表现。不确定度关系推导若算符和不对易时，常记为是一个力学量算符或普通的数。首先定义注意，仍为厄米算符，若巧妙设计积分利用的厄米性，可推出最后得出不确定关系

记为两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定,或者说，它们不能有共同本征函数。例如所以可见，若动量确定，；则，即位置完全不确定。试想，动量为的自由粒子以波长的状态（平面波）弥散于空间时，你能说出粒子的确定位置吗？反之，根据函数的性质，坐标本征函数可写为即位于点r的波（粒子）是许多不同波长（动量）的平面波的叠加，你能说出该波的波长（粒子的动量）是多少吗？总之，不确定关系所揭示的是量子力学规律的特点，是粒子具有波动性的必然结果。应用不确定关系估算一些力学量的不确定范围可参见教材。共同本征态两力学量同时有确定值的条件体系处于任意状态ψ(x)时，力学量

A

一般没有确定值。如果力学量A

有确定值，ψ(x)必为

A的本征态，即如果有另一个力学量B

在ψ

态中也有确定值，则ψ

一定也是B

的一个本征态，即结论：当在ψ

态中测量力学量

A和

B

时，如果同时具有确定值，那么ψ必是二力学量共同本征函数。的共同本征态，球谐函数利用直角坐标与球坐标之间的变换关系：角动量各分量算符表示成由于，可以找出与任一角动量分量的共同本征函数。的本征函数可以同时取的本征态不含极角坐标，实现了的本征函数的变量分离，把的表达式代入本征方程上式共同本征函数称为球谐函数，满足本章小结谢谢!原子物理与量子力学唐敬友主编tangjingyou@TelOMP)第5章力学量随时间变化与对称性§5.1对易力学量完全集设有一组彼此独立而又相互对易的厄米算符它们的共同本征函数记为。n代表一组量子数。给定n之后就能够确定体系的一个可能状态，则称构成体系的一组力学量完全集。任意态下力学量取值概率设力学量

A的厄米算符的本征函数是正交归一完备系。体系处在一个任意态时都可以用本征函数展开，处在任意态时测到力学量A

的值为An

的概率就是展开式中前系数an

的模平方（任意态已归一化）守恒量量子力学中力学量的取值问题与经典力学不同。在一个给定的态（一般为力学量的非本征态）中，力学量的取值有一定的概率分布，从而有平均值的概念。由于波函数随时间变化，力学量的平均值也是随时间变化的。5.2力学量随时间演化1.力学量的平均值随时间变化关系力学量A

在态中的平均值可以表示为当体系的状态随时间变化时，A将随时间的变化若，进而，此时力学量在任何态中的平均值均不随时间变化。如果不显含时间，则有，从而有守恒量定义量子力学中守恒量：力学量既不显含时间即，而且守恒量有两个重要性质：(1)在任何态ψ(t)下，平均值不随时间变化。(2)在任何态ψ(t)下，测量值的概率分布不随时间变化。2.量子力学中的守恒量与经典守恒量的区别守恒量不一定取确定值

与经典力学中守恒量的概念不同的是，量子力学中的守恒量不一定取确定值，即体系的状态不一定是某个守恒量的本征态。一个体系在某时刻t是否处于某守恒量的本征态，要根据初始条件决定。

但守恒量A的平均值和测量值的概率分布不随时间变化。守恒量与定态的异同能级简并与守恒量的关系5.3守恒量与对称性的关系对称变换

某物理规律在某种变换之后，若能保持不变，就称为具有变换对称性，相应的的变换就叫做对称变换。物理规律的对称性，对应地存在一条守恒律空间平移对称性，对应动量守恒定律。时间平移对称性，对应能量守恒定律。空间旋转对称性，对应角动量守恒定律。确定体系守恒量的方法若体系的哈密顿量在某种线性变换下保持不变，即其中。由概率守恒可导出一定是幺正算符，即考虑无穷小的连续变换，令由幺正变换的要求得由此得即要求为厄米算符，称其为在变换下的无穷小生成元。它可以用来定义与一个幺正变换相联系的可观测量。由于可导出这样就找到了与幺正变换相联系的体系的一个守恒量。时空对称性及其应用时间平移对称性和能量守恒空间平移对称性和动量守恒空间转动对称性和角动量守恒说明：推导过程中的主要方法是对于微小变换采用泰勒级数展开。详细推导见教材P91~P93。5.4全同性原理1.

全同性粒子的交换对称性全同粒子：在量子力学中，人们把固有的性质如电荷、质量、磁矩、自旋等内禀属性完全相同的粒子。全同性原理：

在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空间，即处于同一区域各粒子波函数重叠，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目）究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的基本性质之一。全同粒子的性质全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性，体现了全同粒子的不可区分性。注意！这里的粒子坐标包括空间坐标和自旋坐标。交换算符对全同粒子波函数的限制对称波函数——全同玻色子反对称波函数——全同费米子全同粒子体系的波函数不随时间变化而变化。全同粒子的分类（1）凡是自旋为整数倍的粒子所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是对称的。例如，介子，α粒子，基态的He，光子。它们在统计物理中遵从玻色(Bose)——爱因斯坦(Einstein)统计规律，称为玻色子。（2）凡是自旋为半奇数倍的粒子，所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是反对称的。例如，电子、质子、中子等，s＝1/2，它们在统计物理中遵从费米（Fermi）——狄拉克(Dirac)统计规律，称为费米子。全同粒子系统的波函数构造

如何由单粒子波函数来组成全同粒子体系的具有交换对称性的波函数?

假设两个全同粒子组成的体系，其中单个粒子的哈密顿算符为,归一化本征函数为,本征值为，则应有对于全同粒子，在形式上是完全相同的，不考虑两粒子的相互作用时，两个粒子体系的哈密顿算符为

相应的本征方程式中的可以分离成两个单粒子波函数的乘积（因为不考虑相互作用）当第一个粒子处于i态，第二个粒子处于j态时，波函数为它是满足上式的解，对应的本征能量当第一个粒子处于j态，第二个粒子处于i态时，波函数为它也是满足上式的解具有同样的本征能量即交换两个粒子的波函数，但体系有相同的能量，称为交换简并。注意：是否具有交换对称性？当时，具有交换对称，对应玻色子。当时上面所讲虽是本征方程的解，但不具有交换对称性，不满足全同粒子波函数的条件。（1）对于玻色子，波函数要求对于交换两个粒子是对称的，所以当时，归一化的对称波函数构成如下当时

（2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对称的，归一化的反对称波函数构成如下由上式可以看出，当时，则，所以两个费米子处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。N个全同粒子体系的波函数设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量不显含时间，以和表示的第i个本征值和本征函数，则N个全同粒子体系的哈密顿量为对应本征值的本征态体系的本征方程为

由此可见，在粒子无相互作用的情况下，只要求得单粒子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解了。但并不满足全同粒子体系波函数交换对称性的要求，还须作变换。（1）对于N个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒子态，则组合中的每一项都是N个单粒子态的一种排列，用来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为，所以玻色子系统的对称波函数是对于N个费米子，若它们分别处于态，则反对称的波函数为式中规定了求和号下每一项的符号，若把作为基本排列（第一项），则任一种排列都是基本排列经过每两个粒子的若干次对换而得到，对于偶次对换为正，奇次对换为负。在所有项中，奇偶次对换各占一半。本章小结谢谢!原子物理与量子力学唐敬友主编

E-mail:tangjingyou@TelOMP)§6.1

中心力场中粒子运动的一般性质中心力场的重要性宏观物理中行星运动原子核外电子在库仑力作用下的运动中心力场中运动粒子的角动量守恒角动量守恒与径向方程中心力场中运动粒子的能量本征方程（1）Hamilton算符（2）能量本征方程左边括号中第一项为径向动能算符，第二项为离心势能算符。（3）守恒量的完全集与共同本征态选择(H,l2,lz)为力学量完全集，共同本征态可以设为（4）径向方程作替换：上述方程与磁量子数无关，能级必定简并。（5）径向方程的求解一般可以假定V(r)满足径向波函数的渐近行为方程（1）在r→0时的渐近形式为在正则奇点r=0的邻域，设，代入上式，有上式有两个根：s=l,s=-(l+1),但只能前一个根，即Rl(r)∝rl。其条件相当于：两体问题化为单体问题中心力场问题是两体问题，两个粒子之间的相互作用势只依赖于相对距离。其能量本征方程为引进质心坐标与相对坐标在质心和相对坐标下，两体能量本征方程化为其中分别是二体的总质量与约化质量。方程（3）可用分离变量法求解，令方程（3）分离成两个常微分方程，即方程（4）描述质心运动，这是自由粒子的运动方程，EC是质心运动能量（即动能）；方程（5）描述相对运动；E为相对运动能量，ET是体系的总能量。注意！相对运动方程中的质量是约化质量。§

6.2氢原子氢原子的势函数采用静电单位制，其势函数为氢原子的径向方程氢原子的径向方程的渐近解氢原子的径向波函数及其径向方程的变换径向波函数的表示径向方程化为合流超几何方程令把（3）、（4）代入径向方程（2），就化为合流超几何方程方程（5）仅有中断为多项式的解，其中断条件为方程（5）多项式解为合流超几何函数。氢原子的径向方程解的结果能级添上自然单位，得能量本征值为径向波函数氢原子的波函数与归一化几点讨论1.能级简并度包括l简并和m简并。2.波函数的径向分布与“轨道”在(r,r+dr)球壳内找到电子的概率为电子“轨道”按l的划分：s、p、d、f、g,…。其中：nr=n–l–1=0或l=n–1的态，称为“圆轨道”，如1s,2p,3d,4f等,它们的波函数无节点，其极大值的位置为3.氢原子的电流分布与磁矩电流密度在球坐标下，梯度算符为

由于径向与极角方向的波函数均为实数，因此，电流在该方向上的分量均为零，则只有方位角方向的分量：它是绕z轴的环电流密度。氢原子磁矩由波函数的归一化条件，得磁矩

定义回转磁比值，或称g因子称为Bohr磁子。它是原子磁矩的最小单位。原子磁矩是Bohr磁矩的整数（m）倍，故把m称为磁量子数。

若取为单位，则电子的g因子等于-1。类氢离子类氢离子的概念类氢离子的能级公式氢原子与氦离子的光谱线系氢原子的光谱线系类氢离子的光谱线系类氢离子能级的计算实例μ原子(muonicatom)μ子偶素(muonium)电子偶素(positronium)总结三维定态薛定谔方程的求解思路哈密顿算符寻找力学量完全集和可以分离变量的共同本征态求得能量本征态与本征值讨论能级简并度本章小结谢谢！原子物理与量子力学唐敬友主编tangjingyou@TelOMP)第7章电磁场中粒子的运动§7.1电磁场中荷电粒子的运动电磁场中荷电粒子运动的薛定谔方程考虑质量为m，荷电q的粒子在电磁场中的运动。在经典力学中，其哈密顿量为其中，分别是电磁矢势和标势，称为正则动量。哈密顿量代入正则方程即可得出荷电q的粒子在电磁场中的牛顿方程。其中：电场强度为磁感应强度为由经典力学的哈密顿量和正则方程可以得到在有电磁场作用的情况下，带电粒子的正则动量P不等于其机械动量P=mv

。量子力学中哈密顿量按照量子力学中的正则量子化程序，在坐标表象中，电磁场中的薛定谔方程因为A(r,t)是r的函数，所以

与A一般不对易采取电磁场的库仑规范——横波条件得到电磁场中运动粒子的薛定谔方程定域的概率守恒与流密度对电磁场中的薛定谔方程取复共轭，并注意矢势A和标势φ均为实数，在坐标表象中，仿照第4章中的运算，并注意到横波条件，得下式其中，概率密度为粒子流密度为粒子的速度算符为粒子的概率守恒方程为§7.2正常塞曼效应正常塞曼效应的概述

把原子放入磁场中，其光谱线发生分裂，原来的一条谱线分裂成几条的现象，被称为塞曼（Zeeman)效应。这是1