初中数学120大招-52 二次函数中的动点有关的综合问题

二次函数中的动点有关的综合问题1、如图①，已知抛物线y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan∠ACB的值；（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）B（3m，0）；（2）tan∠ACB＝；（3）点P的坐标是：（）或（）或（）或（）．【解析】解：（1）令y＝0，则有ax2﹣4amx+3am2＝0，解得：x1＝m，x2＝3m，∵m＞0，A在B的左边，∴B（3m，0）；（2）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，由（1）可知B（3m，0），则△BOC为等腰直角三角形，∵OC＝OB＝3m，∴BC＝3m，又∵∠ABC＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝2m，∴m，CD＝2m，∴tan∠ACB＝；（3）∵由题意知x＝2为对称轴，∴2m＝2，即m＝1，∵在（2）的条件下有（0，3m），∴3m＝3am2，解得m＝，即a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，①当P在对称轴的左边，如图2，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝或，∴P的坐标为（，）或（）；②当P在对称轴的右边，如图3，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：x＝或；P的坐标为（）或（）；综上所述，点P的坐标是：（）或（）或（）或（）．2、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x-ax-4a<0与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）若D点坐标为32,25（2）若点M为抛物线对称轴上一点，且点M的纵坐标为a，点N为抛物线在x轴上方一点，若以C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求a的值；（3）直线y=2x+b与（1）中的抛物线交于点D、E（如图2），将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移，平移后抛物线的顶点为D'，与直线的另一个交点为E，与x轴的交点为B'，在平移的过程中，求D'E'【答案】（1）y=-x2+3x+4;C0,4;（2）【解析】（1）依题意得：25解得a=-1∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-4）或y∴C（2）由题意可知Aa,0、B对称轴为直线x=a①MN//BC，且MN则-3a解得：a=-2±2②当BC为对角线时，设Nxa+4解得x=则-5解得：a∴a1=-2-2（3）联立y解得：x1=则DE=2则平移后的线段D'E设平移后的D'm平移后的抛物线解析式为：y则D'B'：y∴y=-1抛物线y=-x解得m1=-∴B1'-1,0，B∴B3、如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)见解析.【思路引导】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PD=|m²+4m|，∵PD∥AO，则当PD=OA=3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD=|m²+4m|=3，即可求解．【解析】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣3；（2）存在，理由：同理直线AB的表达式为：y＝x﹣3，设点P（m，m2+m﹣3），点D（m，m﹣3）（m＜0），则PD＝|m2+4m|，∵PD∥AO，则当PD＝OA＝3时，存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，即PD＝|m2+4m|＝3，①当m2+4m＝3时，解得：m＝﹣2±（舍去正值），即m2+m﹣3＝1﹣，故点P（﹣2﹣，﹣1﹣），②当m2+4m＝﹣3时，解得：m＝﹣1或﹣3，同理可得：点P（﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）；综上，点P（﹣2﹣，﹣1﹣）或(﹣1，﹣）或（﹣3，﹣）．【方法总结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、平行四边形性质等，要注意分类讨论思想的运用．4、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图1，设E（m，0）为x正半轴上的一个动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE=S△CGO，求点E的坐标；（3）如图2，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；y=3x+3；（2）点E的坐标为：（1,0）或（-7,0）；（3）存在，t的值为或或．【思路引导】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e＋3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值．【解析】解：（1）将点A（-1，0），B（3，0），点C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得，，解得，∴，设直线AC的解析式为y=kx+n，将点A（-1，0），点C（0，3）代入得：，解得：k=3，n=3∴直线AC的解析式为：y=3x+3（2）延长GC交x轴于点F，过点G作GH⊥x轴于点H，∵∴G（1,4），GH=4，∴，若S△CGE=S△CGO，则S△CGE=S△CGO=，①若点E在x轴的正半轴，设直线CG为，将G（1,4）代入得∴，∴直线CG的解析式为y=x+3，∴当y=0时，x=-3，即F(-3,0)∵E（m,0）∴EF=m-(-3)=m+3∴====∴，解得：m=1∴E的坐标为（1,0）②若点E在x轴的负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1,0）到直线CG的距离相等，即点E到点F的距离等于点（1,0）到点F的距离，∴EF=-3-m=1-(-3)=4∴m=-7，即E（-7,0）综上所述，点E的坐标为：（1,0）或（-7,0）（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e,3e+3），e＞-1，则，①如图2，若∠MPN=90°，PM=PN，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴∴MQ＝NR＝3e＋3∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL）∴PQ＝PR，∠MPQ＝∠NPR＝45°∴MQ＝PQ＝PR＝NR＝3e＋3∴xN＝xM＋3e＋3＋3e＋3＝7e＋6，即N（7e＋6，3e＋3）∵N在抛物线上∴−（7e＋6）2＋2（7e＋6）＋3＝3e＋3，解得：（舍去），∵AP＝t，OP＝t−1，OP＋OQ＝PQ∴t−1−e＝3e＋3∴t＝4e＋4＝，②如图3，若∠PMN＝90°，PM＝MN，∴MN＝PM＝3e＋3∴xN＝xM＋3e＋3＝4e＋3，即N（4e＋3，3e＋3）∴−（4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3解得：e1＝−1（舍去），e2＝，∴t＝AP＝e−（−1）＝，③如图4，若∠PNM＝90°，PN＝MN，∴MN＝PN＝3e＋3，N（4e＋3，3e＋3）解得：e＝∴t＝AP＝OA＋OP＝1＋4e＋3＝综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【方法总结】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．5、如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A(﹣1，0)和点B(2，3)两点．(1)求抛物线C函数表达式；(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求此时的面积S及点M的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)△MAB的面积最大值是，M(，)【解析】(1)由题意把点(﹣1，0)、(2，3)代入y＝ax2+2x+c，得，解得，∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；(2)如图，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，将点(﹣1，0)、(2，3)代入y＝kx+b中，得，解得，∴yAB＝x+1，设点M(x，﹣x2+2x+3)，则K(x，x+1)，则MK＝﹣x2+2x+3﹣(x+1)＝﹣x2+x+2，∴S△MAB＝S△AMK+S△BMK＝MK•(xM﹣xA)+MK•(xB﹣xM)＝MK•(xB﹣xA)＝×(-x2+x+2)×3＝，∵，当x＝时，S△MAB最大=，此时，∴△MAB的面积最大值是，M(，)．6、如图，直线y＝34x+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线y＝34x2+bx+c经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，（1）填空：点B的坐标为，抛物线的解析式为；（2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合），①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值；②求出使△BPN为直角三角形时m的值；（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，请直接写出此时由点O，B，N，P构成的四边形的面积．【答案】（1）（0，﹣3），y＝34x2﹣94x﹣3；（2）①是3，②3或119；（3）6或6+62【解析】解：（1）把点A坐标代入直线表达式y＝34解得：a＝﹣3，则：直线表达式为：y═34则点B坐标为（0，﹣3），将点B的坐标代入二次函数表达式得：c＝﹣3，把点A的坐标代入二次函数表达式得：34解得：b＝﹣94故抛物线的解析式为：y＝34x2﹣9（2）①∵M（m，0）在线段OA上，且MN⊥x轴，∴点P（m，34m﹣3），N（m，34m2﹣∴PN＝34m﹣3﹣（34m2﹣94∵a＝﹣34∴抛物线开口向下，∴当m＝2时，PN有最大值是3，②当∠BNP＝90°时，点N的纵坐标为﹣3，把y＝﹣3代入抛物线的表达式得：﹣3＝34m2﹣9∴m＝3；当∠NBP＝90°时，∵BN⊥AB，两直线垂直，其k值相乘为﹣1，设：直线BN的表达式为：y＝﹣43把点B的坐标代入上式，解得：n＝﹣3，则：直线BN的表达式为：y＝﹣43将上式与抛物线的表达式联立并解得：m＝119当∠BPN＝90°时，不合题意舍去，故：使△BPN为直角三角形时m的值为3或43（3）∵OA＝4，OB＝3，在Rt△AOB中，tanα＝43，则：cosα＝35，sinα＝∵PM∥y轴，∴∠BPN＝∠ABO＝α，若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个．当过点N的直线与抛物线有一个交点N，点M的坐标为（m，0），设：点N坐标为：（m，n），则：n＝34m2﹣9则点N所在的直线表达式为：y＝34解得：过N点直线表达式为：y＝34x+（n﹣3将抛物线的表达式与上式联立并整理得：3x2﹣12x﹣12+3m﹣4n＝0，△＝144﹣3×4×（﹣12+3m﹣4n）＝0，将n＝34m2﹣94m﹣3代入上式并整理得：m解得：m＝2，则点N的坐标为（2，﹣92则：点P坐标为（2，﹣32则：PN＝3，∵OB＝3，PN∥OB，∴四边形OBNP为平行四边形，则点O到直线AB的距离等于点N到直线AB的距离，即：过点O与AB平行的直线与抛物线的交点为另外两个N点，即：N′、N″，直线ON的表达式为：y＝34x2﹣4x﹣4＝0，解得：x＝2±22，则点N′、N″的横坐标分别为2+22，2﹣22，作NH⊥AB交直线AB于点H，则h＝NH＝NPsinα＝125作N′P′⊥x轴，交x轴于点P′，则：∠ON′P′＝α，ON′＝OP'sinα＝S四边形OBPN＝BP•h＝52则：S四边形OBP′N′＝S△OP′N′+S△OBP′＝6+62同理：S四边形OBN″P″＝62故：点O，B，N，P构成的四边形的面积为：6或6+62或62﹣6．7、在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与抛物线的对称轴交于点．（1）求m的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点，（点P在点Q的左侧）．若恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围．【答案】（1）1；（2）．（3）．【解析】解：（1）∵经过点，∴将点的坐标代入，即，得．∵直线与抛物线的对称轴交于点，∴将点代入，得．(2)∵抛物线的对称轴为，∴，即．∴．∴抛物线的顶点坐标为．(3)当时，如图，若拋物线过点，则．结合函数图象可得．当时，不符合题意．综上所述，的取值范围是．8、如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b＝，c＝；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标。【答案】（1），4；（2）不可能是直角三角形，见解析；（3）M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）【思路引导】(1)设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-4）．将a=-代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；（2）先求得点C的坐标，依据勾股定理可求得AC=5，则PC=5-t，AQ=3+t,再判断当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°，从而得出△AOC∽△APQ，得到比例式列方程求解即可；(3)根据点M在抛物线上，设出点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），再根据△AOM的面积与△AOC的面积相等，从而得出﹣m2+m+4=，解方程即可．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣4）．将a＝﹣代入得：y＝﹣x2+x+4，∴b＝，c＝4．（2）在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ＝90°．将x＝0代入抛物线的解析式得：y＝4，∴C（0，4）．∵点A的坐标为（﹣3，0），∴在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC＝5，∵AP＝OQ＝t，∴AQ=3+t，∵∠OAC＝∠PAQ，∠APQ＝∠AOC∴△AOC∽△APQ∴AP:AO=AQ:AC∴=∴t=4.5．∵由题意可知：0≤t≤4，∴t＝4.5不合题意，即△APQ不可能是直角三角形．(3)设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4）∵△AOM的面积与△AOC的面积相等，且底都为AO，C（0，4）．∴﹣m2+m+4=当﹣m2+m+4=-4时，解得：m=或,当﹣m2+m+4=4时，解得：m=1或0∵当m=0时，与C重合，∴m=或或1∴M(1,4)或M(,-4）或M(,-4）【方法总结】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，灵活运用相关的知识是解题的关键．9、如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【解析】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．10、如图，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴相交于点．连结两点的坐标分别为、，且当和时二次函数的函数值相等．（1）求实数的值；（2）若点同时从点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为秒时，连结，将沿翻折，点恰好落在边上的处，求的值及点的坐标；（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以为项点的三角形与相似？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）t=，；（3）Q（-1，），见解析.【解析】解：（1）∵在抛物线上∴代入得c=∵x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等，∴顶点横坐标,,又∵A（-3，0）在抛物线上，∴9a−3b+=0由以上二式得;（2）由（1）,∴B（1，0），连接BP交MN于点O1，根据折叠的性质可得：O1也为PB中点．设t秒后有,设P（x，y），B（1，0）∵O1为P、B的中点可得，即,∵A，C点坐标知AC：，P点也在直线AC上代入得t=,即；（3）假设成立；①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN，∴Q点在x轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：，则△ACB不与△QNB相似．②若有△ACB∽△QBN，则有设，则，代入（1）得，或，当时有Q（-1，）则不满足相似舍去；当y=有Q（-1，）则，∴存在点Q（-1，）使△ACB∽△QBN．综上可得：Q（-1，）.11、已知，如图1，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+3对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．【答案】(1)点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），直线l的表达式为：y＝33x+3;(2)二次函数解析式为：y＝﹣32x2﹣3x+【解析】解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，即点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），点A坐标代入y＝kx+3得：0＝﹣3k+3，解得：k=即直线l的表达式为：y=同理可得直线AC的表达式为：y直线BD的表达式为：y=联立①②并解得：x＝3，在点D的坐标为（3，23）；（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+3对称得AC2＝AB2，即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：m=±23（舍去负值），点C（1，2将点C的坐标代入二次函数并解得：a=-故二次函数解析式为：y=-（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，作DF⊥x轴交于点F，DF＝ADsin∠DAF=43∵B、C关于直线l对称，即直线l是∠EAF的平分线，∴ED＝FD＝23，则QD＝43，BD＝4，∴BQ=4即CN+NM+MD的最小值为8．12、如图，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B与点C关于原点对称，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点B，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）求二次函数的表达式；（2）动点P从点A到点D，同时动点Q从点C到点A都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒．①当t为何值时，有PQ丄AC？②当t为何值时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）①当t＝秒时，PQ⊥AC，②当t＝时，四边形PDCQ的面积最小，最小面积为【解析】解：（1）当x＝0，y＝﹣x+3＝3，则点A（0，3），当y＝0，﹣x+3＝0，解得x＝4，则点C（4，0），∵点B与点C关于原点对称，∴点B（﹣4，0），BC＝8，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥x轴，AD＝BC＝8，∴D（8，3），将点B（﹣4，0），点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c得，解得，∴二次函数表达式y＝x2﹣x﹣3；（2）①∵A（0，3），C（4，0），∴AC＝＝5，，当点P运动了t秒时，则AP＝t，CQ②作QH⊥AD于H，如图，∵∠HAQ＝∠OCA，∴△AQH∽△CAO，∴，即，解得QH＝（5﹣t），∴S四边形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP＝•3•8﹣t•（5﹣t）＝t2﹣t+12＝（t﹣）2+，∴当t＝时，四边形PDCQ的面积最小，最小面积为．13、如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、C；抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，并与x轴交于另一点A．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）设P（x，y）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M，交直线BC于点N．①若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大