2022年湖北省宜昌市秭归县第一高级中学高二数学文期末试题含解析

2022年湖北省宜昌市秭归县第一高级中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】用间接法，首先分析从5个球中任取3个球的情况数目，再求出所取的3个球中没有白球即全部红球的情况数目，计算可得没有白球的概率，而“没有白球”与“3个球中至少有1个白球”为对立事件，由对立事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先分析从5个球中任取3个球，共C53=10种取法，所取的3个球中没有白球即全部红球的情况有C33=1种，则没有白球的概率为；则所取的3个球中至少有1个白球的概率是．故选D．【点评】本题考查古典概型的计算，注意至多、至少一类的问题，可以选用间接法，即借助对立事件的概率的性质，先求其对立事件的概率，进而求出其本身的概率．2.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是()

A．3

B．11C．38

D．123参考答案：B3.现有6同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是A.

B.

C.

D.参考答案：A略4.设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，真命题为（

）A．若与所成角相等，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则参考答案：D5.已知，，C为平面内的一动点，且满足，则点C的轨迹方程为（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】设为,由可得,整理即可得到点的轨迹方程【详解】由题,设为,,由两点间距离公式可得,即,故选：B【点睛】本题考查直接法求轨迹方程,“求谁设谁”,根据题干条件转化为数学语言是解题关键6.下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①②参考答案：B【考点】变量间的相关关系．【分析】观察两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，若带状越细说明相关关系越强，得到两个变量具有线性相关关系的图是①和④．【解答】解：∵两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④．故选B．【点评】本题考查散点图，从散点图上判断两个变量有没有线性相关关系，这是初步判断两个变量是否有相关关系的一种方法，是一个基础题．7.设函数在上连续可导，对任意，有，当时，，若，则实数的取值范围为A．

B．

C．

D．参考答案：A8.在△ABC中A(－4,0),B(4,0)，△ABC的周长是18，则定点C的轨迹方程是（

）．A． B． C． D．参考答案：D∵，，∴，又∵的周长为，∴，∴顶点的轨迹是一个以、为焦点的椭圆．则，，，∴顶点的轨迹方程为．故选．9.命题“且的否定形式是（）A.且B.或C.且D.或参考答案：D根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.考点：命题的否定10.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（）A．36个 B．42个 C．48个 D．120个参考答案：B【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】分两类，当末尾是0时和末尾不是0时，根据分类计数原理可得答案．【解答】解：末尾是0时，有A44=24种；末尾不是0时，有1种选择，首位有3种选择，中间任意排，故有C11C31A33=18种故共有24+18=42种．故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线l经过直线和的交点,且平行于直线，则直线l方程为 .参考答案：

12.命题“?x∈R，x2＋2ax＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围为

．参考答案：13.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为

.参考答案：x＋y—3=014.展开式中的常数项为

．参考答案：

40

略15.已知都是正实数，函数的图象过点，则的最小值是

.参考答案：略16.若命题“$x∈R,x2＋ax＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为 .参考答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)17.已知平面向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），λ+与垂直，则λ=

．参考答案：﹣1考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：先求出互相垂直的2个向量的坐标，再利用这2个向量的数量积等于0，求出待定系数λ的值．解答： 解：，（）?（λ+4）×1+（﹣3λ﹣2）×（﹣3）=0?λ=﹣1，故答案为﹣1．点评：本题考查2个向量坐标形式的运算法则，及2个向量垂直的条件是他们的数量积等于0．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知时的极值为0．（1）求常数a，b的值；（2）求的单调区间．参考答案：略19.（本大题满分12分）直三棱柱中，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．参考答案：解：（Ⅰ）直三棱柱中，，

又可知，………2分由于，则由可知，，……4分则

所以有平面

……………6分（Ⅱ）直三棱柱中，，…….8分因为，所以ABC面积为................10分.............12分略20.设函数f（x）=x2+alnx，（a＜0）．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，即有a的方程，解方程可得a的值；（2）求出函数的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论a的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可【解答】解：（1）函数f（x）=x2+alnx的导数为f′（x）=x+，由函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，可得2+=，解得a=﹣3；（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，当a＜0时，f′（x）=，当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．综上，当a＜0时，f（x）的增区间是（，+∞），减区间是（0，）；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x2+（1﹣a）x=﹣x2+（1﹣a）x+alnx，x＞0，问题等价于求函数F（x）的零点个数．当a≤﹣1时，F′（x）=﹣x+1﹣a+=﹣，①当a=﹣1时，F′（x）≤0，F（x）递减，由F（3）=﹣+6﹣ln3=﹣ln3＞0，F（4）=﹣8+8﹣ln4＜0，由零点存在定理可得F（x）在（3，4）内存在一个零点；②当a＜﹣1时，即﹣a＞1时，F（x）在（0，1）递减，（1，﹣a）递增，（﹣a，+∞）递减，由极小值F（1）=﹣+（1﹣a）+aln1=﹣a＞0，极大值F（﹣a）=﹣a2+a2﹣a+aln（﹣a）=a2﹣a+aln（﹣a）＞0，由x→+∞时，F（x）→﹣∞，可得F（x）存在一个零点．综上可得，当a≤﹣1时，f（x）与g（x）图象交点的个数为1．【点评】本题考查了函数的单调性、零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ，cosθ)．(2)若其中O为坐标原点，求sin2θ的值．参考答案：略22.已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且的周长为16.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线与椭圆C分别交于A，B两点，且，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．参考答案：（1）；（2）为定值，证明见解析【分析】（1）由周长可求得，利用离心率求得，从而，从而得到椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；利用垂直关系可构造方程，代入韦达定理整理可得；利用点到直线距离公式表示出所求距离，化简可得结果.【详解】（