2024年初中升学考试专题复习数学总复习（按知识点分类）切线的性质

切线的性质39．（2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（）A．4109 B．8109 C．【考点】切线的性质；勾股定理．【分析】首先求出AB＝10，先证△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性质可求出OE，BE的长，进而可求出CE的长和AE的长，然后再证△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性质即可求出DE．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：AB=A连接AE，OE，设☉O的半径为r，则OA＝OE＝r，∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，∵BC与半圆相切，∴OE⊥BC，∵∠C＝90°，即AC⊥BC，∴OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴BEBC即：BE6由10−r10=r由BE6=10−r∴CE=BC−BE=6−10在Rt△ACE中，AC＝8，CE=8由勾股定理得：AE=A∵BE为半圆的切线，∴∠BED＝∠BAE，又∠DBE＝∠EBA，∴△BDE∽△BEA，∴BEAB∴DE•AB＝BE•AE，即：DE×10=10∴DE=8故选：B．【点评】此题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，弦切角定理，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算．切线的性质46．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（）A．25° B．35° C．40° D．45°【考点】切线的性质；圆周角定理．【分析】连接OB，由切线的性质得到∠ABO＝90°，由平行线的性质得到∠D＝∠OCD＝25°，由圆周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．【解答】解：连接OB，∵AB切⊙O于B，∴半径OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵BD∥OA，∴∠D＝∠OCD＝25°，∴∠O＝2∠D＝50°，∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．故选：C．【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠O＝2∠D，由切线的性质定理得到∠ABO＝90°，由直角三角形的性质即可求出∠A的度数．切线的性质42．（2023•重庆）如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°【考点】切线的性质．【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠ACO＝40°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO＝40°．【解答】解：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵∠ACD＝50°，∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°，故选：B．【点评】本题考查了切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．43．（2023•重庆）如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝23，BC＝3，则OC的长度是（）A．3 B．23 C．13 【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质得到OB⊥AC，求得∠ABO＝∠CBO＝90°，得到OB=33【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的切线，∴OB⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝90°，∵∠A＝30°，AB＝23，∴OB=33∵BC＝3，∴OC=B故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．切线的性质30．（2023•泸州）如图，AB是⊙O的直径，AB＝210，⊙O的弦CD⊥AB于点E，CD＝6．过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点F，连接BC．（1）求证：BC平分∠DCF；（2）G为AD上一点，连接CG交AB于点H，若CH＝3GH，求BH的长．【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CF，即∠OCF＝90°，根据直角三角形的性质得到CE＝DE=12CD＝3，∠BEC＝90°，求得∠BCE+∠OBC＝90°，等量代换得到∠BCE＝∠BCF，根据角平分线的定义得到BC平分∠（2）连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，根据圆周角定理CD⊥AB，得到CE=12CD＝3，OC＝OG=12AB=10，根据勾股定理得到OE=OC2−CE2【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵CF是⊙O的切线，点C是切点，∴OC⊥CF，即∠OCF＝90°，∴∠OCB+∠BCF＝90°，∵CD⊥AB，AB是直径，∴CE＝DE=12CD＝3，∠∴∠BCE+∠OBC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCE＝∠BCF，即BC平分∠DCF；（2）解：连接OC，OG，过G作GM⊥AB于M，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=12CD＝3，OC＝OG=1∴OE=O∵GM⊥AB，CD⊥AB，∴CE∥GM，∴△GMH∽△CEH，∴GHCH∵CH＝3GH，∴13∴GM＝1，设MH＝x，则HE＝3x，∴HO＝3x﹣1．OM＝4x﹣1，在Rt△OGM中，OM2+GM2＝OG2，∴（4x﹣1）2+12＝（10）2，解得x＝1（负值舍去），∴BH＝OH+OB＝3×1﹣1+10=2【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键．31．（2023•南充）如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连接AD．（1）求证：∠OCA＝∠ADC；（2）若AD＝2，tanB=13，求【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．菁优网版权所有【分析】（1）连接OA交BC于点F，根据切线的性质和圆周角定理得∠ADC=12∠（2）过点A作AE⊥BC于点E，得△ADE是等腰直角三角形，根据锐角三角函数和勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OA交BC于点F，∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∵OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝90°，∵CO＝OA，∴∠OCA＝45°，∴∠ADC=12∠∴∠OCA＝∠ADC；（2）解：过点A作AE⊥BC于点E，∵∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE=22AD∵tanB=AE∴BE＝3AE＝32，∴AB=BE2在Rt△ABF中，tanB=AF∴AF=13AB∵OC∥AB，∴∠OCF＝∠B，∴tan∠OCF=OF设OC＝r，则OF＝OA﹣AF＝r−2∴3（r−253解得r=5∴OC=5【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．切线的性质41．（2023•邵阳）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为50°．【答案】50°．【分析】利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可．【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°．∵∠ABC＝65°，∴∠OBA＝∠OBC﹣∠ABC＝25°．∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠OBA＝25°，∴∠BOD＝2∠OAB＝50°．故答案为：50°．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．42．（2023•滨州）如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°，若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的大小为62°或118°．【答案】62°或118°．【分析】由切线的性质求得∠PAO＝∠PBO＝90°，由多边形内角和定理求得∠AOB＝124°，根据圆周角定理即可求得答案．【解答】解：如图，连接CA，BC，∵PA、PB切⊙O于点A、B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB，∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，由圆周角定理知，∠ACB=12∠当点C在劣弧AB上时，由圆内接四边形的性质得∠ACB＝118°，故答案为：62°或118°．【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握相关定理是解决问题的关键．43．（2023•广元）如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PE+2PF，则t的取值范围是22≤t≤4+22【答案】22≤t≤4+22【分析】设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，求得∠CND＝∠OMD＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠CDN＝45°，求得OD＝22，得到CN＝DN＝2+22，如图1，延长EP交BC于Q，推出△ECQ与△PFQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到CE＝EQ，FQ=2PF，求得t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，根据正方形的性质得到EN＝OP＝2，求得t＝4+22；如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，同理可得t＝2【解答】解：设半径为2的⊙O与角的两边相切于M，N，连接OM，ON，延长NO交CB于D，∴∠CND＝∠OMD＝90°，∵∠ACB＝45°，∴△CND是等腰直角三角形，∴∠CDN＝45°，∵ON＝OM＝2，∴OD＝22，∴CN＝DN＝2+22，如图1，延长EP交BC于Q，∵EQ⊥AC，PF⊥BC，∴∠CEQ＝∠PFQ＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠EQC＝45°，∴△ECQ与△PFQ是等腰直角三角形，∴CE＝EQ，FQ=2PF∴t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ当EQ与⊙O相切且点P在圆心的右侧时，t有最大值，连接OP，则四边形ENOP是正方形，∴EN＝OP＝2，∴t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ＝CE＝CN+EN＝2+22+2=4+2如图2，当EQ与⊙O相切且点P在圆心的，左侧时，t有最小值，同理可得t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ＝CE＝CN﹣EN＝22故t的取值范围是22≤t≤4+22故答案为：22≤t≤4+22【点评】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．切线的性质37．（2023•福建）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．（1）求证：AO∥BE；（2）求证：AO平分∠BAC．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）根据切线的性质得到AF⊥OA，求得∠OAF＝90°，根据圆周角定理得到∠CBE＝90°，求得∠OAF＝∠CBE，根据平行线的性质得到∠BAF＝∠ABC，于是得到∠OAB＝∠ABE，根据平行线的判定定理即可得到AO∥BE；（2）根据圆周角定理得到∠ABE＝∠ACE，根据等腰三角形的性质得到∠ACE＝∠OAC，等量代换得到∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，根据角平分线的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE＝90°，∴∠OAF＝∠CBE，∵AF∥BC，∴∠BAF＝∠ABC，∴∠OAF﹣∠BAF＝∠CBE﹣∠ABC，即∠OAB＝∠ABE，∴AO∥BE；（2）∵∠ABE与∠ACE都是EA所对的圆周角，∴∠ABE＝∠ACE，∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC，∴∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，∴∠OAB＝∠OAC，∴AO平分∠BAC．【点评】本题考查了切线的性质，角平分线的定义、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、熟练掌握切线的性质是解题的关键．切线的性质33．（2023•绍兴）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE⊥CD于点E．（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度数；（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的长．【答案】（1）115°；（2）25【分析】（1）由垂直的定义得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性质即可求出∠ACD的度数；（2）由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理得到CDCE=OD【解答】解：（1）∵AE⊥CD于点E，∴∠AEC＝90°∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；（2）∵CD是⊙O的切线，∴半径OC⊥DE，∴∠OCD＝90°，∵OC＝OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB+BD＝3，∴CD=O∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE，∴CDCE∴5CE∴CE=2【点评】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出∠ACD的度数，由勾股定理求出CD的长，由平行线分线段成比例定理即可求出CE的长．34．（2023•广元）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线交AB延长线于点D，OF⊥BC于点E，交CD于点F．​（1）求证：∠BCD＝∠BOE；（2）若sin∠CAB=35，AB＝10，求【答案】（1）见解析；（2）BD的长为907【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，求得∠OCB+∠BCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠BCD＝∠BOE；（2）过B作BH⊥CD于H，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角函数的定义得到BC＝6，根据平行线的性质得到∠BOE＝∠CAB，根据三角函数的定义得到BH=18【解答】（1）证明：连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠OCB+∠BCD＝90°，∵OF⊥BC，∴∠BEO＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCD＝∠BOE；（2）解：过B作BH⊥CD于H，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵sin∠CAB=BCAB=∴BC＝6，∵OF⊥BC，∴AC∥OF，∴∠BOE＝∠CAB，∵∠BCD＝∠BOE，∴∠BAC＝∠BCD，∴sin∠CAB＝sin∠DCB=BH∴BH=18∵OC⊥CD，BH⊥CD，∴BH∥OC，∴△BDH∽△ODC，∴BHOC∴185解得BD=90故BD的长为907【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．切线的性质42．（2023•天津）在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一点．（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA＝3，求EG的长．【答案】（1）120°，30°；（2）3．【分析】（1）由垂径定理得到AC=BC，因此∠BOC＝∠AOC＝60°，得到∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，由圆周角定理即可求出∠（2）由垂径定理，圆周角定理求出∠CEB的度数，得到∠C的度数，由三角形外角的性质求出∠EOG的度数，由锐角的正切定义即可求出EG的长．【解答】解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，∴AC=∴∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，∵∠CEB=12∠∴∠CEB＝30°；（2）如图，连接OE，∵半径OC⊥AB，∵AC=∴∠CEB=12∠∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠B＝75°，∴∠DFC＝∠EFB＝75°，∴̂∠DCF＝90°﹣∠DFC∵OE＝OC，∴∠C＝∠OEC＝15°，∴∠EOG＝∠C+∠OEC＝30°，∵GE切圆于E，∴∠OEG＝90°，∴tan∠EOG=EG∵OE＝OA＝3，∴EG=3【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，关键是由圆周角定理，等腰三角形的性质求出∠C＝15°，由三角形外的性质求出∠EOG的度数，由锐角的正切定义即可求出EG的长．43．（2023•湖北）如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．（1）求证：AB＝AC；（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【分析】（1）连接OD，由切线的性质得到半径OD⊥DE，又DE⊥AC，因此OD∥AC，推出∠C＝∠ODB，由等腰三角形的性质得到∠B＝∠ODB，故∠B＝∠C，即可证明AB＝AC；（2）连接DF，DA，由圆周角定理得到∠F＝∠B，而∠B＝∠C，得到∠F＝∠C，推出DF＝DC，因此CE＝FE，由△DAE∽△CDE，得到DE：CE＝AE：DE，即可求出CE＝12，于是得到AF＝EF﹣AE＝12﹣3＝9．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴半径OD⊥DE，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠C＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：连接DF，DA，∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，∴∠F＝∠C，∴DF＝DC，∵DE⊥CF，∴FE＝EC，∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∵DE⊥AC，∴∠C+∠CDE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∵∠AED＝∠CDE＝90°，∴△DAE∽△CDE，∴DE：CE＝AE：DE，∵AE＝3，DE＝6，∴6：CE＝3：6，∴CE＝12，∴EF＝EC＝12，∴AF＝EF﹣AE＝12﹣3＝9．【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由切线的性质推出OD∥AC；由等腰三角形的性质得到EF＝CE，由△DAE∽△CDE，求出CE的长．切线的性质45．（2023•河南）如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为103​​【答案】103【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OAP＝90°，然后利用SSS证明△OAC≌△OBC，从而可得∠OAP＝∠OBC＝90°再在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP＝13，最后根据△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，进行计算即可解答．【解答】解：连接OC，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，∴△OAC≌△OBC（SSS），∴∠OAP＝∠OBC＝90°，在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，∴OP=O∵△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积，∴12OA•AC+12OP•BC=1∴OA•AC+OP•BC＝OA•AP，∴5AC+13BC＝5×12，∴AC＝BC=10故答案为：103【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．切线的性质25．（2023•武汉）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若ABCD=1A．23 B．53 C．34【答案】B【分析】连接DB、DE，设AB＝m，由ABCD=13得CD＝3AB＝3m，再证明AB是⊙D的切线，而⊙D与BC相切于点E，则BC⊥OE，由切线长定理得EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，由AB∥CD，得∠ABD＝∠CDB，则∠CBD＝∠CDB，所以CB＝CD＝3m，CE＝2m，由勾股定理得DE=C【解答】解：连接DB、DE，设AB＝m，∵ABCD∴CD＝3AB＝3m，∵AD是⊙D的半径，AD⊥AB，∴AB是⊙D的切线，∵⊙D与BC相切于点E，∴BC⊥OE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD＝3m，∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，∵∠CED＝90°，∴DE=CD∴sinC=DE故选：B．【点评】此题重点考查切线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．切线的性质36．（2023•黑龙江）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B＝28°，则∠P＝34°．【答案】34．【分析】根据切线的性质可得∠OAP＝90°，然后利用圆周角定理可得∠AOC＝2∠B＝56°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．【解答】解：∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP＝90°，∵∠B＝28°，∴∠AOC＝2∠B＝56°，∴∠P＝90°﹣∠AOC＝34°，故答案为：34．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．37．（2023•大连）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙