2021-2022新教材苏教版数学必修第一册课时检测2.1命题定理定义WORD版含解析

课时跟踪检测（五）命题、定理、定义[A级基础巩固]1．以下语句：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④{x|x2＋1＝0}，其中命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．2．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选B①③错误；②④正确．3．(多选)给出命题“方程x2＋ax＋1＝0有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：选ABD方程有实根时，应满足Δ＝a2－4≥0.4．下列命题中真命题有()①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选B①中，当m＝0时，是一元一次方程；②中，函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点，②正确；③正确；④中空集不是本身的真子集．5．(多选)下列命题中是假命题的为()A．面积相等的三角形是全等三角形B．若xy＝0，则|x|＋|y|＝0C．若a>b，则a＋c>b＋cD．矩形的对角线互相垂直解析：选ABDA错；B中若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故B错；C正确；D中矩形的对角线不一定互相垂直．6．下列语句中是命题的有________(填序号)，其中是假命题的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④求证方程x2＋x＋1＝0无实根．解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有说明在同一个三角形内；④祈使句，不是命题．答案：②③②③7．(2021·江阴调研)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>2；②a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”解析：对于①，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与已知条件a＋b>2矛盾，故假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1，①正确；对于②，若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2成立，故由②不能推出“a，b中至少有一个大于1.”答案：①8．(1)若x2≠9，则x≠3的等价命题是________________．(2)若方程x2＋2ax＋a2＋a－1＝0无实数根，则a≤2的否命题是________________．解析：(1)原命题的等价命题就是该命题的逆否命题．若x2≠9，则x≠3的等价命题是：“若x＝3，则x2＝9”(2)原命题的否命题是否定原命题的条件作为该命题的条件，同时否定原命题的结论作为该命题的结论．即“若方程x2＋2ax＋a2＋a－1＝0有实数根，则a>2”答案：(1)若x＝3，则x2＝9(2)若方程x2＋2ax＋a2＋a－1＝0有实数根，则a>29．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m>eq\f(1,4)时，mx2－x＋1＝0无实根；(2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除．解：(1)原命题可以改写成：若m>eq\f(1,4)，则mx2－x＋1＝0无实根．因为Δ＝1－4m<0，(2)原命题改写成：若一个整数的个位数是0，则这个数一定能被5整除，也能被2整除，此命题为真命题．10．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构造的命题“若p，则q”为真命题．解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>eq\f(1＋a,5)，则x>1”．由命题为真命题可知eq\f(1＋a,5)≥1，解得a≥4；若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>eq\f(1＋a,5)”．由命题为真命题可知eq\f(1＋a,5)≤1，解得a≤4.故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>eq\f(2,5)”．[B级综合运用]11．(多选)在平面四边形中，下列命题的逆命题是真命题的是()A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．平行四边形对角线互相平分D．矩形的对角线相等解析：选ABC选项A为平行四边形的定义，该命题的原命题、逆命题、否命题、逆否命题都为真；选项B的逆命题为“菱形的对角线互相垂直”，该命题为菱形的性质定理，是真命题；选项C的逆命题为“对角线互相平分的四边形为平行四边形”即平行四边形的判定定理，是真命题；选项D的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，此命题为假命题(如等腰梯形)．12．能够说明“若a，b，c是实数，a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．解析：如a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a>b>c，但不满足a＋b>c.答案：－1，－2，－3(答案不唯一)13．A，B，C，D，E五名学生参加某次数学单元检测，在未公布成绩前他们对自己的数学成绩进行了猜测．A说：“如果我得优，那么B也得优”；B说：“如果我得优，那么C也得优”；C说：“如果我得优，那么D也得优”；D说：“如果我得优，那么E也得优”．成绩揭晓后，发现他们都没说错，但只有三个人得优．请问：得优的是哪三位同学？解：如果A得优，可推出B，C，D，E均得优，这与“只有三人得优”相矛盾，从而A不可能得优；如果B得优，可推出C，D，E也得优，这与“只有三人得优”相矛盾，从而B也不可能得优；因此，可以判定C，D，E三人得优．14．试探究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满足的条件．解：方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－eq\f(1,b)；当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥综上知，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时方程ax2＋bx＋1＝0有实数解．[C级拓展探究]15．已知m∈Z，关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0有整数解是真命题，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0有整数解也是真命题，解：由已知得m≠0，方程mx2－4x＋4＝0有整数解，则判别式Δ1＝16－4m×4≥0，且m≠0，解得m≤1且m≠0.方程x2－4mx＋4m2－4m－5＝0有整数解，则判别式Δ2＝16m2－4(4m