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平面向量的运算第六章

平面向量及其应用课时3向量的数乘运算探究一：向量的数乘运算一物体做匀速直线运动，1秒钟的位移对应的向量为𝒂，在同一方向上前进3秒钟的位移对应的向量是3𝒂吗?在其反方向上运动3秒钟的位移对应的向量又是多少?情境设置问题：物体的位移是多少?向量3𝒂，−3𝒂与𝒂从长度和方向上分析具有怎样的关系?【解析】类比数的运算，前进3秒钟的位移是3𝒂，反向运动3秒钟的位移是−3𝒂.

3𝒂的长度是𝒂的长度的3倍，它的方向与向量𝒂的方向相同.−3𝒂的长度是𝒂的长度的3倍，它的方向与向量𝒂的方向相反.新知生成知识点一向量数乘的定义

向量𝜆𝒂|𝜆||𝒂|相同相反一、向量的数乘运算

A反思感悟方法总结利用向量数乘的几何意义解题，要准确理解向量数乘的几何意义，画出图形并结合图形的性质求解.新知运用

C探究二：向量数乘的运算律已知向量𝒂，有以下三个结论：(1)3(2𝒂)=6𝒂；(2)(2+3)𝒂=2𝒂+3𝒂；(3)2(𝒂+𝒃)=2𝒂+2𝒃.情境设置问题：请通过作图判断以上结论是否成立?新知生成知识点二向量数乘的运算律

二、向量数乘的运算律

C反思感悟方法总结向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算.新知运用

探究三：向量共线定理及其应用

情境设置问题1：对于向量𝒂，𝒃，如果有一个实数𝜆，使𝒃=𝜆𝒂(𝒂≠𝟎)，那么𝒂与𝒃共线吗?【解析】由向量数乘的定义，𝜆𝒂的方向与𝒂的方向相同或者相反，符合共线向量的定义，因此𝜆𝒂与𝒂共线，即𝒂与𝒃共线.问题2：如果向量𝒃与非零向量𝒂共线，其中的一个向量一定是另一个向量的数乘向量吗?即𝒃=𝜆𝒂成立吗?此时的𝜆是否唯一?【解析】如果向量𝒃与非零向量𝒂共线，那么向量𝒃的长度与非零向量𝒂的长度之间存在𝜇倍的关系，且𝜇唯一，即|𝒃|=𝜇|𝒂|，当𝒂与𝒃同方向时，有𝒃=𝜇𝒂；当𝒂与𝒃反方向时，有𝒃=−𝜇𝒂.因此，存在唯一𝜆，使𝒃=𝜆𝒂成立.新知生成知识点二向量共线定理向量𝒂(𝒂≠𝟎)与𝒃共线的充要条件是：存在唯一一个实数𝜆，使𝒃=𝜆𝒂.三、向量共线定理

反思感悟方法总结

新知运用

典例(核心素养)三点共线的常用结论

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课堂小结1.知识清单：(1

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