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文档简介
平面向量的运算第六章
平面向量及其应用课时3向量的数乘运算探究一:向量的数乘运算一物体做匀速直线运动,1秒钟的位移对应的向量为𝒂,在同一方向上前进3秒钟的位移对应的向量是3𝒂吗?在其反方向上运动3秒钟的位移对应的向量又是多少?情境设置问题:物体的位移是多少?向量3𝒂,−3𝒂与𝒂从长度和方向上分析具有怎样的关系?【解析】类比数的运算,前进3秒钟的位移是3𝒂,反向运动3秒钟的位移是−3𝒂.
3𝒂的长度是𝒂的长度的3倍,它的方向与向量𝒂的方向相同.−3𝒂的长度是𝒂的长度的3倍,它的方向与向量𝒂的方向相反.新知生成知识点一向量数乘的定义
向量𝜆𝒂|𝜆||𝒂|相同相反一、向量的数乘运算
A反思感悟方法总结利用向量数乘的几何意义解题,要准确理解向量数乘的几何意义,画出图形并结合图形的性质求解.新知运用
C探究二:向量数乘的运算律已知向量𝒂,有以下三个结论:(1)3(2𝒂)=6𝒂;(2)(2+3)𝒂=2𝒂+3𝒂;(3)2(𝒂+𝒃)=2𝒂+2𝒃.情境设置问题:请通过作图判断以上结论是否成立?新知生成知识点二向量数乘的运算律
二、向量数乘的运算律
C反思感悟方法总结向量线性运算的基本方法(1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量,实数看作是向量的系数.(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运算.新知运用
探究三:向量共线定理及其应用
情境设置问题1:对于向量𝒂,𝒃,如果有一个实数𝜆,使𝒃=𝜆𝒂(𝒂≠𝟎),那么𝒂与𝒃共线吗?【解析】由向量数乘的定义,𝜆𝒂的方向与𝒂的方向相同或者相反,符合共线向量的定义,因此𝜆𝒂与𝒂共线,即𝒂与𝒃共线.问题2:如果向量𝒃与非零向量𝒂共线,其中的一个向量一定是另一个向量的数乘向量吗?即𝒃=𝜆𝒂成立吗?此时的𝜆是否唯一?【解析】如果向量𝒃与非零向量𝒂共线,那么向量𝒃的长度与非零向量𝒂的长度之间存在𝜇倍的关系,且𝜇唯一,即|𝒃|=𝜇|𝒂|,当𝒂与𝒃同方向时,有𝒃=𝜇𝒂;当𝒂与𝒃反方向时,有𝒃=−𝜇𝒂.因此,存在唯一𝜆,使𝒃=𝜆𝒂成立.新知生成知识点二向量共线定理向量𝒂(𝒂≠𝟎)与𝒃共线的充要条件是:存在唯一一个实数𝜆,使𝒃=𝜆𝒂.三、向量共线定理
反思感悟方法总结
新知运用
典例(核心素养)三点共线的常用结论
随堂检测
BB
随堂检测
课堂小结1.知识清单:(1
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