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复数的概念数系的扩充和复数的概念

学习目标1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.核心素养：数学抽象、数学运算情境导入自然数（正整数与零）整数有理数实数？计数的需要表示相反意义的量解方程x+3=1测量、分配中的等分解方程3x=5度量的需要解方程x2=2解方程x2=－1思考：为什么要不断地扩充数系？数系的每一次扩充都是为了满足社会生产实践的需要另一方面，数集的每次扩充都是为了解决数学内部的矛盾。①分数解决了在整数集中不能整除的矛盾；②负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾；③无理数解决了开方开不尽的矛盾；到此，数系扩充的脚步就能停止了吗？我们解决了吗？虚数的历史1545年卡尔丹在解方程的过程中第一次大胆使用了负数平方根的概念。1637年法国数学家笛卡尔率先提出“虚数”这个词，并在很多方面得到了应用，“虚数”被证明“不虚”了。1777年著名的数学家欧拉首次用ｉ表示-1的平方根，但认为它们是虚幻的。1801年，高斯系统地使用这个符号，才使i通行于世。（1）i2=-1;叫做虚数单位，并规定：引入一个新数i，

（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立．(注：0·i=0)概念形成现在我们就引入这样一个新数

i

，并且规定：（3）我们把

i

叫做虚数单位。（1）i

2

1；即x=i是方程x2+1=0的解（2）实数可以与

i

进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数。

全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示。复数的概念实部复数的代数形式复数通常用字母

z表示，即虚部其中

称为虚数单位。（a、b

R）复数的分类？讨论当a=___且b=____时，则z=0当b=___时，则z为实数当b___时，则z为虚数当a=___且b___时，则z为纯虚数000≠0≠00复数集虚数集实数集纯虚数集（2）复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系复数的分类（1）复数z=a+bi实数（b=0）虚数（b≠0）纯虚数(a=0,b≠0)非纯虚数(a≠0,b≠0)复数相等的充要条件

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等思考：两个复数能不能比较大小呢？相等

a=cb=d⟺1、判断下列命题是否正确：若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数若b为实数，则Z=bi必为纯虚数若a为实数，则Z=a

一定不是虚数思考：Z=a一定不是虚数？2、实数m取什么值时，复数

是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解:（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当即时，复数z是纯虚数．3、已知，其中求解：根据复数相等的充要条件，得方程组说明:实数问题复数问题

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