北京市房山区燕山地区市级名校2024年中考四模数学试题含解析

北京市房山区燕山地区市级名校2024年中考四模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．计算(ab2)3的结果是()A．ab5 B．ab6 C．a3b5 D．a3b62．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．﹣2≤a＜﹣1 C．a＜﹣1 D．﹣2＜a≤﹣13．实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（）A．a+b=0 B．b＜a C．ab＞0 D．|b|＜|a|4．|–|的倒数是（）A．–2 B．– C． D．25．中华人民共和国国家统计局网站公布，2016年国内生产总值约为74300亿元，将74300亿用科学计数法可以表示为()A． B． C． D．6．下列计算正确的是（）A．a6÷a2=a3 B．（﹣2）﹣1=2C．（﹣3x2）•2x3=﹣6x6 D．（π﹣3）0=17．罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．如图是对某球员罚球训练时命中情况的统计：下面三个推断：①当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以“罚球命中”的概率是0.822；②随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812；③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.1，所以“罚球命中”的概率是0.1．其中合理的是（）A．① B．② C．①③ D．②③8．的相反数是A．4 B． C． D．9．若A(﹣4，y1)，B(﹣3，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝x2﹣4x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y210．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A． B．2 C． D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为_________元.12．某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台盈利20%，另一台亏本20%，则本次出售中商场是_____（请写出盈利或亏损）_____元．13．用换元法解方程时，如果设，那么原方程化成以为“元”的方程是________．14．有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是_______.15．如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，若弦CD=2，则图中阴影部分的面积为．16．分解因式：=_______．17．如果=k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）清朝数学家梅文鼎的《方程论》中有这样一题：山田三亩，场地六亩，共折实田四亩七分；又山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问每亩山田折实田多少，每亩场地折实田多少？译文为：若有山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩；若有山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，问每亩山田和每亩场地产粮各相当于实田多少亩？19．（5分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？21．（10分）班级的课外活动，学生们都很积极.梁老师在某班对同学们进行了一次关于“我喜爱的体育项目”的调査，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：调查了________名学生；补全条形统计图；在扇形统计图中，“乒乓球”部分所对应的圆心角度数为________；学校将举办运动会，该班将推选5位同学参加乒乓球比赛，有3位男同学和2位女同学，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率.22．（10分）在“打造青山绿山，建设美丽中国”的活动中，某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A、B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A30人/辆380元/辆B20人/辆280元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数.（1）设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数解析式。（2）若要使租车总费用不超过19720元，一共有几种租车方案？那种租车方案最省钱？23．（12分）学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：本次调查中，王老师一共调查了名学生；将条形统计图补充完整；为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．24．（14分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解析】试题分析：根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．试题解析：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b1．故选D．考点：幂的乘方与积的乘方．2、B【解析】

根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求出字母a的取值范围.【详解】解：∵x的不等式组恰有3个整数解，∴整数解为1，0，-1，∴-2≤a＜-1.故选B.【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.3、D【解析】

根据图形可知，a是一个负数，并且它的绝对是大于1小于2，b是一个正数，并且它的绝对值是大于0小于1，即可得出|b|＜|a|．【详解】A选项：由图中信息可知，实数a为负数，实数b为正数，但表示它们的点到原点的距离不相等，所以它们不互为相反数，和不为0，故A错误；B选项：由图中信息可知，实数a为负数，实数b为正数，而正数都大于负数，故B错误；C选项：由图中信息可知，实数a为负数，实数b为正数，而异号两数相乘积为负，负数都小于0，故C错误；D选项：由图中信息可知，表示实数a的点到原点的距离大于表示实数b的点到原点的距离，而在数轴上表示一个数的点到原点的距离越远其绝对值越大，故D正确.∴选D.4、D【解析】

根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据倒数的意义，可得答案．【详解】|−|=，的倒数是2；∴|−|的倒数是2，故选D．【点睛】本题考查了实数的性质，分子分母交换位置是求一个数倒数的关键．5、D【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：74300亿=7.43×1012，

故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．6、D【解析】解：A．a6÷a2=a4，故A错误；B．（﹣2）﹣1=﹣，故B错误；C．（﹣3x2）•2x3=﹣6x5，故C错；D．（π﹣3）0=1，故D正确．故选D．7、B【解析】

根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而解答本题【详解】当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以此时“罚球命中”的频率是：411÷500＝0.822，但“罚球命中”的概率不一定是0.822，故①错误；随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.2附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.2．故②正确；虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.1，但是“罚球命中”的概率不是0.1，故③错误．故选：B．【点睛】此题考查了频数和频率的意义,解题的关键在于利用频率估计概率.8、A【解析】

直接利用相反数的定义结合绝对值的定义分析得出答案．【详解】-1的相反数为1，则1的绝对值是1．故选A．【点睛】本题考查了绝对值和相反数，正确把握相关定义是解题的关键．9、B【解析】

根据函数解析式的特点，其对称轴为x=2，A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）在对称轴左侧，图象开口向上，利用y随x的增大而减小，可判断y3＜y2＜y1.【详解】抛物线y=x2﹣4x+m的对称轴为x=2，当x<2时，y随着x的增大而减小，因为-4<-3<1<2，所以y3＜y2＜y1，故选B.【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键.10、D【解析】

由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为1m为负数，最大值为1n为正数．将最大值为1n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．【详解】解：二次函数y=﹣（x﹣1）1+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=n时y取最大值，即1n=﹣（n﹣1）1+5，解得：n=1或n=﹣1（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，解得：m=﹣1．当x=1时y取最大值，即1n=﹣（1﹣1）1+5，解得：n=，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，

1m=-（n-1）1+5，n=，∴m=，

∵m＜0，

∴此种情形不合题意，所以m+n=﹣1+=．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、28【解析】设这种电子产品的标价为x元，由题意得：0.9x−21=21×20%，解得：x=28，所以这种电子产品的标价为28元．故答案为28.12、亏损1【解析】

设盈利20%的电子琴的成本为x元，设亏本20%的电子琴的成本为y元，再根据（1+利润率）×成本=售价列出方程，解方程计算出x、y的值，进而可得答案．【详解】设盈利20%的电子琴的成本为x元，

x（1+20%）=960，

解得x=10；

设亏本20%的电子琴的成本为y元，

y（1-20%）=960，

解得y=1200；

∴960×2-（10+1200）=-1，

∴亏损1元，

故答案是：亏损；1．【点睛】考查了一元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．13、y-【解析】分析：根据换元法，可得答案．详解：﹣=1时，如果设=y，那么原方程化成以y为“元”的方程是y﹣=1．故答案为y﹣=1．点睛：本题考查了换元法解分式方程，把换元为y是解题的关键．14、小林【解析】

观察图形可知，小林的成绩波动比较大，故小林是新手．

故答案是：小林．15、.【解析】试题分析：连结OC、OD，因为C、D是半圆O的三等分点，所以，∠BOD＝∠COD＝60°，所以，三角形OCD为等边三角形，所以，半圆O的半径为OC＝CD＝2，S扇形OBDC＝，S△OBC＝＝，S弓形CD＝S扇形ODC－S△ODC＝＝，所以阴影部分的面积为为S＝－－（）＝.考点：扇形的面积计算.16、．【解析】

将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】直接提取公因式即可：．17、3【解析】∵=k，∴a=bk，c=dk，e=fk，∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)，∵a+c+e=3(b+d+f)，∴k=3，故答案为：3.三、解答题（共7小题，满分69分）18、每亩山田产粮相当于实田0.9亩，每亩场地产粮相当于实田亩．【解析】

设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩，根据山田3亩，场地6亩，其产粮相当于实田4.7亩;又山田5亩，场地3亩，其产粮相当于实田5.5亩，列二元一次方程组求解．【详解】解：设每亩山田产粮相当于实田x亩，每亩场地产粮相当于实田y亩．可列方程组为解得答：每亩山田相当于实田0.9亩，每亩场地相当于实田亩．19、（1）y=﹣x2+x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．【解析】

分析：（1）待定系数法求解可得；

（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x-2，则Q（m，-m2+m+2）、M（m，m-2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的方程，解之可得；

（3）易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB∽△MBQ得，再证△MBQ∽△BPQ得，即，解之即可得此时m的值；②∠BQM=90°，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q坐标．详解：（1）由抛物线过点A（-1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x-4），

将点C（0，2）代入，得：-4a=2，

解得：a=-，

则抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+2；

（2）由题意知点D坐标为（0，-2），

设直线BD解析式为y=kx+b，

将B（4，0）、D（0，-2）代入，得：，解得：，

∴直线BD解析式为y=x-2，

∵QM⊥x轴，P（m，0），

∴Q（m，-m2+m+2）、M（m，m-2），

则QM=-m2+m+2-（m-2）=-m2+m+4，

∵F（0，）、D（0，-2），

∴DF=，

∵QM∥DF，

∴当-m2+m+4=时，四边形DMQF是平行四边形，

解得：m=-1（舍）或m=3，

即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；

（3）如图所示：

∵QM∥DF，

∴∠ODB=∠QMB，

分以下两种情况：

①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，

则，

∵∠MBQ=90°，

∴∠MBP+∠PBQ=90°，

∵∠MPB=∠BPQ=90°，

∴∠MBP+∠BMP=90°，

∴∠BMP=∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴，即，

解得：m1=3、m2=4，

当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，

∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；

②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，

此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；

综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．【详解】请在此输入详解！20、（1）；（2）至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）这次消毒是有效的．【解析】

（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y=，把点（8，6）代入即可；（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．【详解】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1∴k1=设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=（k2＞0）代入（8，6）为6=，∴k2=48∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为（x＞8）∴（2）结合实际，令中y≤1.6得x≥30即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．（3）把y=3代入，得：x=4把y=3代入，得：x=16∵16﹣4=12所以这次消毒是有效的．【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．21、50见解析（3）115.2°(4)【解析】试题分析：（1）用最喜欢篮球的人数除以它所占的百分比可得总共的学生数;（2）用学生的总人数乘以各部分所占的百分比,可得最喜欢足球的人数和其他的人数,即可把条形统计图补充完整;（3）根据圆心角的度数=360º×它所占的百分比计算;（4）列出树状图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，从而可求出答案.解：（1）由题意可知该班的总人数=15÷30%=50（名）故答案为50；（2）足球项目所占的人数=50×18%=9（名），所以其它项目所占人数=50﹣15﹣9﹣16=10（名）补全条形统计图如图所示：（3）“乒乓球”部分所对应的圆心角度数=360°×=115.2°，故答案为115.2°；（4）画树状图如图．由图可知，共有20种等可能的结果，两名同学恰为一男一女的有12种情况，所以P（恰好选出一男一女）==．点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，概率的计算.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息及掌握概率的计算方法是解决问题的关键.22、（1）y=100x+17360;（2）3种方案：A型车21辆，B型车41辆最省钱.【解析】

（1）根据租车总费用=A、B两种车的费用之和，列出函数关系式即可；

（2）列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题．【详解】（1）由题意：y=380x+280（62-x）=100x+17360，∵30