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文档简介
2024届北京市重点中学十校联考最后数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.提出“金山银山,不如绿水青山”,国家环保部大力治理环境污染,空气质量明显好转,将惠及13.75亿中国人,这个数字用科学记数法表示为()A.13.75×106B.13.75×105C.1.375×108D.1.375×1092.如图,正方形ABCD的顶点C在正方形AEFG的边AE上,AB=2,AE=,则点G到BE的距离是()A. B. C. D.3.如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:①分别以B、C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M、N;②作直线MN交AB于点D,连接CD,则下列结论正确的是()A.CD+DB=AB B.CD+AD=AB C.CD+AC=AB D.AD+AC=AB4.如图,在⊙O中,AE是直径,半径OC垂直于弦AB于D,连接BE,若AB=2,CD=1,则BE的长是A.5 B.6 C.7 D.85.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是()A. B. C. D.6.下列图形中,阴影部分面积最大的是A. B. C. D.7.如图,点E在△DBC的边DB上,点A在△DBC内部,∠DAE=∠BAC=90°,AD=AE,AB=AC.给出下列结论:①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45°;③BD⊥CE;④BE1=1(AD1+AB1)﹣CD1.其中正确的是()A.①②③④ B.②④ C.①②③ D.①③④8.一元二次方程x2﹣2x=0的根是()A.x=2 B.x=0 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=﹣29.某射击选手10次射击成绩统计结果如下表,这10次成绩的众数、中位数分别是()成绩(环)78910次数1432A.8、8 B.8、8.5 C.8、9 D.8、1010.在如图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A、B两点对应的实数分别是和﹣1,则点C所对应的实数是()A.1+ B.2+ C.2﹣1 D.2+1二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.已知边长为2的正六边形ABCDEF在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B在原点,把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,经过2018次翻转之后,点B的坐标是______.12.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组,参加区青少年科技创新大赛,表格反映的是各组平时成绩的平均数(单位:分)及方差S2,如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛,那么应选的组是_____.甲乙丙丁7887s211.20.91.813.若2x+y=2,则4x+1+2y的值是_______.14.因式分解:.15.在中,::1:2:3,于点D,若,则______16.某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当你抬头看信号灯时,是绿灯的概率为____.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点,点C、D是某个函数图象上的点,当四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形.如图,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.(1)若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;(2)若某函数是反比例函数(k>0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求m的值及反比例函数解析式;(3)若某函数是二次函数y=ax2+c(a≠0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,C、D中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标_____,写出符合题意的其中一条抛物线解析式_____,并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数?_____.(本小题只需直接写出答案)18.(8分)某市出租车计费方法如图所示,x(km)表示行驶里程,y(元)表示车费,请根据图象回答下列问题:出租车的起步价是多少元?当x>3时,求y关于x的函数关系式;若某乘客有一次乘出租车的车费为32元,求这位乘客乘车的里程.19.(8分)如图,某大楼的顶部竖有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的倾斜角∠BAH=30°,AB=20米,AB=30米.(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.20.(8分)综合与探究如图1,平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于点A(﹣2,0),B(4,0),与y轴交于点C,点D是y轴负半轴上一点,直线BD与抛物线y=ax2+bx+3在第三象限交于点E(﹣4,y)点F是抛物线y=ax2+bx+3上的一点,且点F在直线BE上方,将点F沿平行于x轴的直线向右平移m个单位长度后恰好落在直线BE上的点G处.(1)求抛物线y=ax2+bx+3的表达式,并求点E的坐标;(2)设点F的横坐标为x(﹣4<x<4),解决下列问题:①当点G与点D重合时,求平移距离m的值;②用含x的式子表示平移距离m,并求m的最大值;(3)如图2,过点F作x轴的垂线FP,交直线BE于点P,垂足为F,连接FD.是否存在点F,使△FDP与△FDG的面积比为1:2?若存在,直接写出点F的坐标;若不存在,说明理由.21.(8分)已知,关于x的方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)若x1,x2是这个方程的两个实数根,求的值;(3)根据(2)的结果你能得出什么结论?22.(10分)如图,在五边形ABCDE中,∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,AP平分∠EAB,BP平分∠ABC,求∠P的度数.23.(12分)为了弘扬学生爱国主义精神,充分展现新时期青少年良好的思想道德素质和精神风貌,丰富学生的校园生活,陶冶师生的情操,某校举办了“中国梦•爱国情•成才志”中华经典诗文诵读比赛.九(1)班通过内部初选,选出了丽丽和张强两位同学,但学校规定每班只有1个名额,经过老师与同学们商量,用所学的概率知识设计摸球游戏决定谁去,设计的游戏规则如下:在A、B两个不透明的箱子分别放入黄色和白色两种除颜色外均相同的球,其中A箱中放置3个黄球和2个白球;B箱中放置1个黄球,3个白球,丽丽从A箱中摸一个球,张强从B箱摸一个球进行试验,若两人摸出的两球都是黄色,则丽丽去;若两人摸出的两球都是白色,则张强去;若两人摸出球颜色不一样,则放回重复以上动作,直到分出胜负为止.根据以上规则回答下列问题:(1)求一次性摸出一个黄球和一个白球的概率;(2)判断该游戏是否公平?并说明理由.24.如图所示,正方形网格中,△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).把△ABC沿BA方向平移后,点A移到点A1,在网格中画出平移后得到的△A1B1C1;把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°,在网格中画出旋转后的△A1B2C2;如果网格中小正方形的边长为1,求点B经过(1)、(2)变换的路径总长.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、D【解析】
用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可.【详解】13.75亿=1.375×109.故答案选D.【点睛】本题考查的知识点是科学记数法,解题的关键是熟练的掌握科学记数法.2、A【解析】
根据平行线的判定,可得AB与GE的关系,根据平行线间的距离相等,可得△BEG与△AEG的关系,根据根据勾股定理,可得AH与BE的关系,再根据勾股定理,可得BE的长,根据三角形的面积公式,可得G到BE的距离.【详解】连接GB、GE,由已知可知∠BAE=45°.又∵GE为正方形AEFG的对角线,∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.∵AE=4,AB与GE间的距离相等,∴GE=8,S△BEG=S△AEG=SAEFG=1.过点B作BH⊥AE于点H,∵AB=2,∴BH=AH=.∴HE=3.∴BE=2.设点G到BE的距离为h.∴S△BEG=•BE•h=×2×h=1.∴h=.即点G到BE的距离为.故选A.【点睛】本题主要考查了几何变换综合题.涉及正方形的性质,全等三角形的判定及性质,等积式及四点共圆周的知识,综合性强.解题的关键是运用等积式及四点共圆的判定及性质求解.3、B【解析】
作弧后可知MN⊥CB,且CD=DB.【详解】由题意性质可知MN是BC的垂直平分线,则MN⊥CB,且CD=DB,则CD+AD=AB.【点睛】了解中垂线的作图规则是解题的关键.4、B【解析】
根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径,根据三角形中位线定理计算即可.【详解】解:∵半径OC垂直于弦AB,∴AD=DB=AB=在Rt△AOD中,OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+()2,解得,OA=4∴OD=OC-CD=3,∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理,掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键5、B【解析】试题解析:如图所示:设BC=x,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,∴AC=2BC=2x,AB=BC=x,根据题意得:AD=BC=x,AE=DE=AB=x,作EM⊥AD于M,则AM=AD=x,在Rt△AEM中,cos∠EAD=;故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等,通过作辅助线求出AM是解决问题的关键.6、C【解析】
分别根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即可:【详解】A、根据反比例函数系数k的几何意义,阴影部分面积和为:xy=1.B、根据反比例函数系数k的几何意义,阴影部分面积和为:.C、如图,过点M作MA⊥x轴于点A,过点N作NB⊥x轴于点B,根据反比例函数系数k的几何意义,S△OAM=S△OAM=,从而阴影部分面积和为梯形MABN的面积:.D、根据M,N点的坐标以及三角形面积求法得出,阴影部分面积为:.综上所述,阴影部分面积最大的是C.故选C.7、A【解析】分析:只要证明△DAB≌△EAC,利用全等三角形的性质即可一一判断;详解:∵∠DAE=∠BAC=90°,∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE,AB=AC,∴△DAB≌△EAC,∴BD=CE,∠ABD=∠ECA,故①正确,∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°,故②正确,∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°,∴∠CEB=90°,即CE⊥BD,故③正确,∴BE1=BC1-EC1=1AB1-(CD1-DE1)=1AB1-CD1+1AD1=1(AD1+AB1)-CD1.故④正确,故选A.点睛:本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题.8、C【解析】
方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.【详解】方程变形得:x(x﹣1)=0,可得x=0或x﹣1=0,解得:x1=0,x1=1.故选C.【点睛】考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.9、B【解析】
根据众数和中位数的概念求解.【详解】由表可知,8环出现次数最多,有4次,所以众数为8环;这10个数据的中位数为第5、6个数据的平均数,即中位数为=8.5(环),故选:B.【点睛】本题考查了众数和中位数的知识,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.10、D【解析】
设点C所对应的实数是x.根据中心对称的性质,对称点到对称中心的距离相等,则有,解得.故选D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、(4033,)【解析】
根据正六边形的特点,每6次翻转为一个循环组循环,用2018除以6,根据商和余数的情况确定出点B的位置,经过第2017次翻转之后,点B的位置不变,仍在x轴上,由A(﹣2,0),可得AB=2,即可求得点B离原点的距离为4032,所以经过2017次翻转之后,点B的坐标是(4032,0),经过2018次翻转之后,点B在B′位置(如图所示),则△BB′C为等边三角形,可求得BN=NC=1,B′N=,由此即可求得经过2018次翻转之后点B的坐标.然后求出翻转前进的距离,过点C作CG⊥x于G,求出∠CBG=60°,然后求出CG、BG,再求出OG,然后写出点C的坐标即可.【详解】设2018次翻转之后,在B′点位置,∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转,每次翻转60°,∴每6次翻转为一个循环组,∵2018÷6=336余2,∴经过2016次翻转为第336个循环,点B在初始状态时的位置,而第2017次翻转之后,点B的位置不变,仍在x轴上,∵A(﹣2,0),∴AB=2,∴点B离原点的距离=2×2016=4032,∴经过2017次翻转之后,点B的坐标是(4032,0),经过2018次翻转之后,点B在B′位置,则△BB′C为等边三角形,此时BN=NC=1,B′N=,故经过2018次翻转之后,点B的坐标是:(4033,).故答案为(4033,).【点睛】本题考查的是正多边形和圆,涉及到坐标与图形变化-旋转,正六边形的性质,确定出最后点B所在的位置是解题的关键.12、丙【解析】
先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好,然后比较方差得到丙组的状态稳定,于是可决定选丙组去参赛.【详解】因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大,而丙组的方差比乙组的小,所以丙组的成绩比较稳定,所以丙组的成绩较好且状态稳定,应选的组是丙组.故答案为丙.【点睛】本题考查了方差:一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.也考查了平均数的意义.13、1【解析】分析:将原式化简成2(2x+y)+1,然后利用整体代入的思想进行求解得出答案.详解:原式=2(2x+y)+1=2×2+1=1.点睛:本题主要考查的是整体思想求解,属于基础题型.找到整体是解题的关键.14、.【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式,若是就考虑用公式法继续分解因式.因此,先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可:.15、2.1【解析】
先求出△ABC是∠A等于30°的直角三角形,再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求解.【详解】解:根据题意,设∠A、∠B、∠C为k、2k、3k,则k+2k+3k=180°,解得k=30°,2k=60°,3k=90°,∵AB=10,∴BC=AB=1,∵CD⊥AB,∴∠BCD=∠A=30°,∴BD=BC=2.1.故答案为2.1.【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质和三角形内角和定理,掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半、求出△ABC是直角三角形是解本题的关键.16、【解析】
随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数,据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间,求出抬头看信号灯时,是绿灯的概率为多少即可.【详解】抬头看信号灯时,是绿灯的概率为.故答案为:.【点睛】此题主要考查了概率公式的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:(1)随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数.(2)P(必然事件)=1.(3)P(不可能事件)=2.三、解答题(共8题,共72分)17、(1);(2);(3)(﹣1,3);(7,﹣3);(﹣4,7);(4,1),对应的抛物线分别为;;,偶数.【解析】
(1)设正方形ABCD的边长为a,当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时,可知3a=,求出a,
(2)作DE、CF分别垂直于x、y轴,可知ADE≌△BAO≌△CBF,列出m的等式解出m,
(3)本问的抛物线解析式不止一个,求出其中一个.【详解】解:(1)∵正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形.当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时,∴AO=1,BO=1,∴正方形ABCD的边长为,当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时,设正方形的边长为a,得3a=,∴,所以伴侣正方形的边长为或;(2)作DE、CF分别垂直于x、y轴,知△ADE≌△BAO≌△CBF,此时,m<2,DE=OA=BF=mOB=CF=AE=2﹣m∴OF=BF+OB=2∴C点坐标为(2﹣m,2),∴2m=2(2﹣m)解得m=1,反比例函数的解析式为y=,(3)根据题意画出图形,如图所示:过C作CF⊥x轴,垂足为F,过D作DE⊥CF,垂足为E,∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC,∵C(3,4),即CF=4,OF=3,∴EG=3,DE=4,故DG=DE﹣GE=DE﹣OF=4﹣3=1,则D坐标为(﹣1,3);设过D与C的抛物线的解析式为:y=ax2+b,把D和C的坐标代入得:,解得,∴满足题意的抛物线的解析式为y=x2+;同理可得D的坐标可以为:(7,﹣3);(﹣4,7);(4,1),;对应的抛物线分别为;;,所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.【点睛】本题考查了二次函数的综合题.灵活运用相关知识是解题关键.18、(1)y=2x+2(2)这位乘客乘车的里程是15km【解析】
(1)根据函数图象可以得出出租车的起步价是8元,设当x>3时,y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),运用待定系数法就可以求出结论;
(2)将y=32代入(1)的解析式就可以求出x的值.【详解】(1)由图象得:出租车的起步价是8元;设当x>3时,y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),由函数图象,得,解得:故y与x的函数关系式为:y=2x+2;(2)∵32元>8元,∴当y=32时,32=2x+2,x=15答:这位乘客乘车的里程是15km.19、(1)BH为10米;(2)宣传牌CD高约(40﹣20)米【解析】
(1)过B作DE的垂线,设垂足为G.分别在Rt△ABH中,通过解直角三角形求出BH、AH;
(2)在△ADE解直角三角形求出DE的长,进而可求出EH即BG的长,在Rt△CBG中,∠CBG=45°,则CG=BG,由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度.【详解】(1)过B作BH⊥AE于H,Rt△ABH中,∠BAH=30°,∴BH=AB=×20=10(米),即点B距水平面AE的高度BH为10米;(2)过B作BG⊥DE于G,∵BH⊥HE,GE⊥HE,BG⊥DE,∴四边形BHEG是矩形.∵由(1)得:BH=10,AH=10,∴BG=AH+AE=(10+30)米,Rt△BGC中,∠CBG=45°,∴CG=BG=(10+30)米,∴CE=CG+GE=CG+BH=10+30+10=10+40(米),在Rt△AED中,=tan∠DAE=tan60°=,DE=AE=30∴CD=CE﹣DE=10+40﹣30=40﹣20.答:宣传牌CD高约(40﹣20)米.【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题,解题的关键是掌握解直角三角形的应用-仰角俯角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题的基本方法.20、(3)(﹣4,﹣6);(3)①-3;②4;(2)F的坐标为(﹣3,0)或(﹣3,).【解析】
(3)先将A(﹣3,0),B(4,0),代入y=ax3+bx+2求出a,b的值即可求出抛物线的表达式,再将E点坐标代入表达式求出y的值即可;(3)①设直线BD的表达式为y=kx+b,将B(4,0),E(﹣4,﹣6)代入求出k,b的值,再将x=0代入表达式求出D点坐标,当点G与点D重合时,可得G点坐标,GF∥x轴,故可得F的纵坐标,再将y=﹣2代入抛物线的解析式求解可得点F的坐标,再根据m=FG即可得m的值;②设点F与点G的坐标,根据m=FG列出方程化简可得出m的二次函数关系式,再根据二次函数的图象可得m的取值范围;(2)分别分析当点F在x轴的左侧时与右侧时的两种情况,根据△FDP与△FDG的面积比为3:3,故PD:DG=3:3.已知FP∥HD,则FH:HG=3:3.再分别设出F,G点的坐标,再根据两点关系列出等式化简求解即可得F的坐标.【详解】解:(3)将A(﹣3,0),B(4,0),代入y=ax3+bx+2得:,解得:,∴抛物线的表达式为y=﹣x3+x+2,把E(﹣4,y)代入得:y=﹣6,∴点E的坐标为(﹣4,﹣6).(3)①设直线BD的表达式为y=kx+b,将B(4,0),E(﹣4,﹣6)代入得:,解得:,∴直线BD的表达式为y=x﹣2.把x=0代入y=x﹣2得:y=﹣2,∴D(0,﹣2).当点G与点D重合时,G的坐标为(0,﹣2).∵GF∥x轴,∴F的纵坐标为﹣2.将y=﹣2代入抛物线的解析式得:﹣x3+x+2=﹣2,解得:x=+3或x=﹣+3.∵﹣4<x<4,∴点F的坐标为(﹣+3,﹣2).∴m=FG=﹣3.②设点F的坐标为(x,﹣x3+x+2),则点G的坐标为(x+m,(x+m)﹣2),∴﹣x3+x+2=(x+m)﹣2,化简得,m=﹣x3+4,∵﹣<0,∴m有最大值,当x=0时,m的最大值为4.(2)当点F在x轴的左侧时,如下图所示:∵△FDP与△FDG的面积比为3:3,∴PD:DG=3:3.∵FP∥HD,∴FH:HG=3:3.设F的坐标为(x,﹣x3+x+2),则点G的坐标为(﹣3x,﹣x﹣2),∴﹣x3+x+2=﹣x﹣2,整理得:x3﹣6x﹣36=0,解得:x=﹣3或x=4(舍去),∴点F的坐标为(﹣3,0).当点F在x轴的右侧时,如下图所示:∵△FDP与△FDG的面积比为3:3,∴PD:DG=3:3.∵FP∥HD,∴FH:HG=3:3.设F的坐标为(x,﹣x3+x+2),则点G的坐标为(3x,x﹣2),∴﹣x3+x+2=x﹣2,整理得:x3+3x﹣36=0,解得:x=﹣3或x=﹣﹣3(舍去),∴点F的坐标为(﹣3,).综上所述,点F的坐标为(﹣3,0)或(﹣3,).【点睛】本题考查了二次函数的应用,解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.21、(
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