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文档简介
第6章综合素质评价一、选择题(每题3分,共24分)1.若2a=3b,则a:b的值为()A.3:5B.2:5C.5:3D.3:22.【2023·宿迁青华中学调研试题】下列各组线段的长度成比例的是()A.6cm,2cm,1cm,4cmB.4cm,5cm,6cm,7cmC.3cm,4cm,5cm,6cmD.6cm,3cm,8cm,4cm3.【母题:教材P54练习T1】如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC和DF被l1,l2,l3所截,AB=5,BC=6,EF=4,则DE的长为()A.2B.3C.4D.eq\f(10,3)4.如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A′B′C′,已知OB:OB′=4:3,则△ABC与△A′B′C′的面积比为()A.2:3B.2:eq\r(3)C.4:3D.16:95.【2023·南充】如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端,已知小菲的眼睛离地面的高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,则旗杆高度为()A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m6.如图,在平面直角坐标系中,有点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,位似比为eq\f(1,3),在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为()A.(2,1)B.(2,0)C.(3,3)D.(3,1)7.【2022·巴中】如图,在平面直角坐标系中,点C为△AOB的OA边上一点,AC:OC=1:2,过点C作CD∥OB交AB于点D.C,D两点纵坐标分别为1,3,则点B的纵坐标为()A.4B.5C.6D.78.【2023·无锡锡山高级中学月考】如图,在锐角三角形ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于点D.若BD=1,AD=4,则CD的长为()A.eq\r(3)B.2C.eq\r(5)D.2.4二、填空题(每题3分,共30分)9.【2023·宿迁九年级统考期末】如图,要使△ABC∽△ADE,还需要添加一个条件,你添加的条件是____________(只写一种情况即可).10.【母题:教材P42习题T1】在比例尺为1:1000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是24cm,则甲、乙两地的实际距离为________km.11.【2023·南京外国语学校模拟】如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2BD,则eq\f(S△ADE,S△ABC)=________.12.【2023·德州一模】如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA=AD,则△ABC与△DEF的周长比是________.13.如图,大小为4×4的正方形方格中,能作出与△ABC相似的格点三角形(顶点都在正方形的顶点上),其中最小的面积是________.14.【母题:教材P47习题T1】某品牌新能源汽车为了打造更加精美的外观,特意将汽车倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置(如图),若车头与倒车镜的水平距离为1.58米,则该车车身总长约为________米(黄金比取0.618,结果精确到0.01米).15.《九章算术》中有一测井深的问题:今有井径五尺,不知其深,立五尺木于井上,从木末望水岸,入径四尺,问井深几何?今译为:如图所示,有一口水井,井口直径为5尺,现竖立一根5尺长的木杆在井口,视线DC交井口AB于点E,BE的长为4尺,则水面距井口距离为________尺.16.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.若点P,Q分别从点A,B同时出发,则经过________s,△PBQ与△ABC相似.17.【2023·杭州二模】如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点F.点D,E分别在AB,AC上,连接DE交AF于点G.若∠AED=∠B,AG:GF=2:1,则DE:BC=________.18.【2023·连云港】如图,矩形OABC的顶点A在反比例函数y=eq\f(k,x)(x<0)的图像上,顶点B,C在第一象限,对角线AC∥x轴,交y轴于点D.若矩形OABC的面积是6,cos∠OAC=eq\f(2,3),则k=________.三、解答题(19~25题每题8分,26题10分,共66分)19.【母题:教材P51练习T2】如图,四边形ABCD∽四边形EFGH,试求出x及∠α的大小.20.【母题:教材P80习题T2】如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2),B(3,1),C(2,3),以原点O为位似中心,将△ABC的各边放大为原来的2倍得到△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法);(2)计算△A′B′C′的面积.21.【2023·南京师范大学附属中学月考】如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,且eq\f(AD,CD)=eq\f(CD,BD).(1)求证:△ACD∽△CBD;(2)求∠ACB的大小.22.如图,已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD沿直线AO折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.(1)求证:eq\f(OC,PD)=eq\f(OP,AP);(2)若OP与PA的比为1:2,求边AB的长.23.党的二十大报告提出要“全面推进乡村振兴”,这是对党的十九大报告所提出的“实施乡村振兴战略”的进一步发展,彰显出新时代新征程在工农城乡关系布局上的深远谋划,为不断推进乡村振兴、加快农村现代化进程指明了方向.某市为了加快城乡发展,保障市民出行方便,在流经该市的河流上架起一座桥,连通南北,铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图,该桥两侧河岸平行,他们在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河岸的这一边选出点B和点C,分别在AB,AC的延长线上取点D,E,使得DE∥BC.经测量,BC=120米,DE=210米,且点E到河岸BC的距离为60米.已知AF⊥BC于点F,请你根据提供的数据,帮助他们计算桥AF的长度.24.【2023·绍兴】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C作⊙O的切线CD,交AB的延长线于点D,过点A作AE⊥CD于点E.(1)若∠EAC=25°,求∠ACD的度数;(2)若OB=2,BD=1,求CE的长.25.【2022·镇江】如图,一次函数y=2x+b与反比例函数y=eq\f(k,x)(k≠0)的图像交于点A(1,4),与y轴交于点B.(1)k=________,b=________;(2)连接并延长AO,与反比例函数y=eq\f(k,x)(k≠0)的图像交于点C,点D在y轴上,若以点O,C,D为顶点的三角形与△AOB相似,求点D的坐标.26.(1)如图①,在矩形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE⊥DF,垂足为点G,求证:△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图②,在正方形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH,求证:∠ADF=∠H.【类比迁移】(3)如图③,在菱形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,求CF的长.
答案一、1.D2.D3.D4.D【点拨】∵△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的三角形,∴△ABC∽△A′B′C′,BC∥B′C′.∴△OBC∽△OB′C′.∴eq\f(OB,OB′)=eq\f(BC,B′C′)=eq\f(4,3).∴△ABC与△A′B′C′的相似比为4:3.∴△ABC与△A′B′C′的面积比为16:9.5.B【点拨】如图,易知△ABC∽△EDC,∴eq\f(AB,DE)=eq\f(BC,CD),∴eq\f(1.6,DE)=eq\f(2,10),解得DE=8m.6.A【点拨】由题意可知△OCD和△OAB是相似图形,并且相似比为eq\f(1,3),点A和点C是对应顶点.因为点A的横坐标为6,所以点C的横坐标为2,又因为点A的纵坐标为3,所以点C的纵坐标为1,故点C的坐标为(2,1).7.C【点拨】根据CD∥OB得出△ACD∽△AOB.进而得到eq\f(AC,AO)=eq\f(CD,OB),根据AC:OC=1:2,得出eq\f(AC,AO)=eq\f(1,3),根据C,D两点纵坐标分别为1,3,得出CD=2.进而得到OB=6,即可得出答案.8.D【点拨】如图,过点C作CE⊥AB于点E,则∠AEC=∠BEC=90°.∵∠BAC=45°,∴△ACE是等腰直角三角形,∴AE=CE.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠BEC=90°.∵∠B=∠B,∴△ABD∽△CBE,∴eq\f(AB,BC)=eq\f(BD,BE).∵BD=1,AD=4,∴AB=eq\r(AD2+BD2)=eq\r(17).∴eq\f(AB,BD)=eq\f(BC,BE)=eq\r(17).设BE=x,则BC=eq\r(17)x,∴CE=eq\r(BC2-BE2)=4x,∴AE=4x.∵AE+BE=AB,∴4x+x=eq\r(17),解得x=eq\f(\r(17),5).∴BC=eq\r(17)x=eq\f(17,5).∴CD=BC-BD=2.4.二、9.∠D=∠B(答案不唯一)10.24011.eq\f(4,9)12.1:213.eq\f(1,2)【点拨】△ABC的边长分别为eq\r(5),5,eq\r(10),作一个边长为1,eq\r(5),eq\r(2)的三角形即可.如图,△CFE即为所求,面积为eq\f(1,2)×1×1=eq\f(1,2).14.4.14【点拨】设该车车身总长为x米,根据题意得汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x米,∴x-0.618x≈1.58,解得x≈4.14,即该车车身总长约为4.14米.15.eq\f(5,4)【点拨】∵AB=5尺,BE=4尺,∴AE=1尺.∵AC∥BD,∴△ACE∽△BDE.∴eq\f(AC,BD)=eq\f(AE,BE).∴eq\f(AC,5)=eq\f(1,4),解得AC=eq\f(5,4)尺.16.2或5【点拨】设P,Q运动时间为ts,根据题意,AP=tcm,BQ=2tcm,则BP=(10-t)cm.当△PBQ∽△ABC时,则eq\f(BP,AB)=eq\f(BQ,BC),即eq\f(10-t,10)=eq\f(2t,20),解得t=5.当△QBP∽△ABC时,则eq\f(BP,BC)=eq\f(BQ,AB),即eq\f(10-t,20)=eq\f(2t,10),解得t=2.综上,当经过2或5s时,△PBQ与△ABC相似.17.2:3【点拨】∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,∴△ADE∽△ACB.∴eq\f(DE,BC)=eq\f(AE,AB).∵AF是∠BAC的平分线,∴∠BAF=∠CAF.∵∠AED=∠B,∴△AGE∽△AFB,∴eq\f(AG,AF)=eq\f(AE,AB),∴eq\f(DE,BC)=eq\f(AG,AF).∵AG:GF=2:1,∴eq\f(DE,BC)=eq\f(AG,AG+GF)=eq\f(2,2+1)=eq\f(2,3),即DE:BC=2:3.18.-eq\f(8,3)【点拨】如图,作AE⊥x轴于点E.∵矩形OABC的面积是6,∴△AOC的面积是3,∵∠AOC=90°,cos∠OAC=eq\f(2,3),∴eq\f(OA,AC)=eq\f(2,3).∵对角线AC∥x轴,∴∠AOE=∠OAC.∵∠OEA=∠AOC=90°,∴△OEA∽△AOC,∴eq\f(S△OEA,S△AOC)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OA,AC)))eq\s\up12(2),∴eq\f(S△OEA,3)=eq\f(4,9).∵S△OEA=eq\f(1,2)|k|,k<0,∴k=-eq\f(8,3).故答案为-eq\f(8,3).三、19.【解】∵四边形ABCD∽四边形EFGH,∴∠H=∠D=95°.∴∠α=360°-95°-118°-67°=80°.∵四边形ABCD∽四边形EFGH,∴eq\f(BC,FG)=eq\f(AB,EF),即eq\f(x,7)=eq\f(12,6),解得x=14.20.【解】(1)如图.△A′B′C′为画出的符合要求的图形.(2)S△A′B′C′=4×4-eq\f(1,2)×2×2-eq\f(1,2)×2×4-eq\f(1,2)×2×4=6.21.(1)【证明】∵CD是边AB上的高,∴∠ADC=∠CDB=90°.∵eq\f(AD,CD)=eq\f(CD,BD),∴△ACD∽△CBD.(2)【解】∵△ACD∽△CBD,∴∠A=∠BCD.在△ACD中,∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°.22.(1)【证明】∵四边形ABCD为矩形,∴∠B=∠C=∠D=90°.由折叠的性质可知,∠APO=∠B=90°,∴∠APD+∠OPC=90°.又∠POC+∠OPC=180°-∠C=90°,∴∠APD=∠POC.又∠D=∠C=90°,∴△OCP∽△PDA,∴eq\f(OC,PD)=eq\f(OP,AP).(2)【解】由(1)易得eq\f(OP,PA)=eq\f(PC,AD).∵OP与PA的比为1:2,∴PC=eq\f(1,2)AD=4.设AB=x,易知DC=x,AP=x,DP=x-4,在Rt△APD中,AP2=AD2+PD2,即x2=82+(x-4)2,解得x=10,即AB=10.23.【解】如图,设AF与DE的延长线相交于点G,则AG⊥DG,FG=60米,∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE,∴eq\f(BC,DE)=eq\f(AF,AG),即eq\f(120,210)=eq\f(AF,AF+60),解得AF=80米.答:桥AF的长度为80米.24.【解】(1)∵AE⊥CD于点E,∴∠AEC=90°.∴∠ACD=∠E+∠EAC=90°+25°=115°.(2)∵CD是⊙O的切线,∴半径OC⊥DE.∴∠OCD=90°.∵OB=2,BD=1,∴OD=OB+BD=3,OA=OC=OB=2.∴CD=eq\r(OD2-OC2)=eq\r(5).∵∠OCD=∠AEC=90°,∴OC∥AE.∴eq\f(CD,CE)=eq\f(OD,OA).∴eq\f(\r(5),CE)=eq\f(3,2).∴CE=eq\f(2\r(5),3).25.【解】(1)4;2(2)易知点A与点C关于原点对称,∴点C的坐标是(-1,-4).当x=0时,y=2x+2=2,∴点B(0,2),∴OB=2.易知AO=CO=eq\r(12+42)=eq\r(17).当点D落在y轴的正半轴上时,∠COD>∠ABO,∴△CO
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