高考数学（新高考版）一轮复习教师用书 第九章 第一讲 直线方程与两直线的位置关系

第九章直线和圆的方程

第一讲直线方程与两直线的位置关系

1.[2020山东青岛模拟]已知直线/经过直线/i：x+y=2丿2：2Xy=l的交点，且直线/的一个方向向

量公(3,2),则直线/的方程是()

x2yl=Ox2y+l=0

x+3y5=0x3y+l=0

2.[2020浙江台州五校联考]已知直线/过点P(l,l)且与以厶(0,1),8(3,4)为端点的线段相交,

则直线/的斜率的取值范围为()

A.(8,|]B.[2,+8)C.[*mD.(8,|]U[2,+8)

3.[2020河南郑州模拟]数学家欧拉在1765年提出:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形

三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)

依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.这条直线被后人称之

为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点8(1,0),。0,2),厶8=4：册必厶産的欧拉线方程为()

x4y3=0x+4y+3=0

x2y3=0x+4y3=0

4.[2016四川高考「设直线分别是函数〃x)={:醫°；j(1'图象上点PiB处的切线厶与4

垂直相交于点P,且/1丿2分别与y轴相交于点4B,则△PAB的面积的取值范围是()

A.(0,l)B.(0,2)C.(0,+8)D.(l,+8)

5.[2020四川五校高三联考]过直线x+y=0上一点P作圆(x+iy+(y5尸=2的两条切线/丿2,厶,8

为切点，当直线h,12关于直线x+y=0对称时,/AP8=()

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.[2020贵州遵义四中模拟]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程

为.

7.[双空题]已知直线/：(八+2〃)x+(4〃»448〃=0交O。：x2+y2=25于两点,C为/外一动点,

且|AC|=2|8C|,则|AB|的最小值为；当|A8|取最小值时，AABC面积的最大值

为.

v2

8.(2017全国卷I]设A,B为曲线C：y=j"上两点,A与B的横坐标之和为4.

⑴求直线A8的斜率；

⑵设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行，且AM丄BM,求直线AB的方程.

考法1求直线的方程

屈鼬(1)已知点厶(3,4),则经过点厶且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.

(2)已知直线/过点P(3,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A8两点，如图911所示，

当△AB。的面积取最小值时直线/的方程为.

解析>(1)设直线在x轴,y轴上的截距均为a.

①若。=0,即直线过点(0,0)及(3,4).

则直线的方程为y=；x,即4x3y=0.

②若“0,设所求直线的方程为§+『I，

又点(3,4)在直线上，所以：+:1,所以a=7.

所以直线的方程为x+y7=0.

综上可知所求直线的方程为4x3y=0或x+y7=0.

(2)解法一设厶(a,0),8(0,b)(a>0,b>0),则直线/的方程为:+々1.......................................

因为/过点P(3,2),所以三+±L

因为11+余2J],整理得0岳24,所以S^ABO=^ob>12.

当且仅当三=之即a=6,b=4时取等号.

此时直线/的方程是m即2x+3y12=0.

64

解法二依题意知,直线/的斜率k存在且k<0,

可设直线/的方程为y2=k(x3)(k<0).................................................................................；

则A(3p0),6(0,23k),

12

SM80=3(23k)(3-)

:扣2+(弘)白

(-弘)今

=1x(12+12)

=12,

当且仅当9k=，即k=刎，等号成立.

■k3

所以所求直线/的方程为2x+3y12=0.

S拓展变式乜.[2020江西省九江市三校联考]已知直线/过点(2,1),且在x,y轴上的截距相等.

⑴求直线/的一般方程;

(2)若直线/在x,y轴上的截距均不为0,点P(a,b)在直线/上，求3。+3。的最小值.

考法2两直线位置关系的判断及应用

示例Z(1)已知经过点42,0)和点8(1,3a)的直线厶与经过点P(0,1)和点Q(a,2a)的直线

12互相垂直,则实数a的值为.

⑵已知两直线/i：x+my+6=0丿2：(m2)x+3y+2m=0,当m为何值时，直线厶与厶：①平行;②垂直.

解析的斜率k尸/a.

当“0时丿2的斜率k2=W*=—.

a-0a

因为/1-L/2,

所以klk2=1,即。出=1,

a

解得0=1.

当a=0时,P(0,l),Q(0,0),这时直线Q为y轴,A(2,0),8(1,0),直线八为x轴，显然厶丄厶

综上可知，实数。的值为1或0.

⑵解法一当m=0时丿i：x+6=0丿2：2X3y=0A与厶相交且不垂直.

xiz__L.16.m-22m

当m#0时n丿i：y=-X一丿2：片—X—.

mm33

①丄二十且—*■解得m=1.

m3m3

所以当m-1时丿i〃/2.

②厶丄》(等)=1,解得

所以当时厶丄厶

解法二①若厶〃/2厕

J(mx2m-3x6W0,

即代-2昨3=0,解得后］

(7711+9,

所以当m=1时丿"A

②若/i丄厶则lx(m2)+mx3=0,解得m=1.

所以当m彳时厶丄A

点评〉对于此类题，根据两直线平行或垂直时满足的条件即可求解，注意讨论直线的斜率是否

为零.

S拓展变式2已知直线/的方程为3x+4yl2=0,

⑴求过点(1,3),且与/平行的直线厂的方程；

(2)求过点(1,3),且与/垂直的直线厂的方程；

⑶若直线「与/垂直，且/'与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线厂的方程.

考法3两直线的交点与距离问题

［2020武汉市调研考试］已知直线/经过直线2x+y5=0与直线x2y=0的交点.

⑴若点厶(5,0)到直线/的距离为3,求直线/的方程；

⑵求点A(5,0)到直线/的距离的最大值.

解析＞(1)易知点A到直线x2y=0的距离不等于3,可设经过两已知直线交点的直线系方程为

(2x+y5)+A(x2y)=0,SP(2+A)x+(l2A)y5=0.

|10+5A-5|

由题意得=3,即2A25A+2=0,

7(2+A)2+(l-2A)2

解得4=2或入彳.

所以直线/的方程为4x3y5=0或x=2.

；：

⑵解方程组CMIt°,可得两直线的交点为P(2,l).

过点P作任一直线/,设d为点A至！I/的距离，贝IJ

公|PA|(当11.PA时等号成立).

所以C/max=|PA\=7(5-2)2+(0-1)2=V10.

于是点厶(5,0)到直线/的距离的最大值为

匂拓展变式&⑴[2020黑龙江哈尔滨模拟]若直线y=乎+1和x轴、y轴分别交于点A,8,以

线段AB为边在第一象限内作等边三角形厶BC.若在第一象限内有一点P(m$,使得AABP和

△A8C的面积相等，则m的值为()

A辿遍£也百

22

⑵[2019江苏高考]在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x3(x>0)上的一个动点，则点P到直线

x+y=0的距离的最小值是.

考法4对称问题

■M已知直线厶2x3y+l=0,点A(1,2).求：

⑴点A关于直线/的对称点A1的坐标；

⑵直线m:3x2y6=0关于直线/的对称直线m'的方程；

⑶直线/关于点A对称的直线/'的方程.

思维导引>(1)设A(x,y),由对称性求出4的坐标.

⑵在直线m上任取一点M(2,0),由对称性求出M关于/的对称点M1的坐标，结合两直线的交

点,可求出m'的方程.

⑶思路一在/上任取两点P(l,l),/V(4,3),由对称性求出P,N关于点厶的对称点P；”,可得直

线/'的方程.

思路二在/上任取一点Q(x,y),由对称性求出点Q关于点厶的对称点Q1将其坐标代入直线

/的方程，可得直线/'的方程.

(空亠=-1(%=-9

解析P)设A(x,y),则",3>2解得J即4(諳

[2x--3xi-+i=o,(y=-,ms

⑵在直线m上任取一点，如M(2,0),则M(2,0)关于直线/的对称点必在m上

2x吗3x"+1=0,

设“关于直线/的对称点为“(。力),则9022

覇17

伝=2，63。

解得&即舒).

I13，

设m与/的交点为M则由。得N(4,3).

又m'经过点N(4,3),

所以由两点式得直线”的方程为9x46y+102=0.

⑶解法一在/：2x3y+l=O上任取两点，如P(l,l),/V(4,3),则P,N关于点厶的对称点均

在直线厂上,易知卩(3,5),A/'(6,7),由两点式可得尸的方程为2x3y9=0.

解法二设Q(x,y)为/，上任意一点，则Q(x,y)关于点A(1,2)的对称点为Q，(2x,4

V)，

因为点Q，在直线/上，所以2(2x)3(4y)+l=0,

即2x3y9=0.

目拓展变式」4.[2019豫南九校第四次联考]已知△ABC的一个顶点A(2,4),且N&NC的平分

线所在直线的方程分别为x+y2=0,x3y6=0,则BC所在直线的方程为.

易错忽略斜率不存在致误

示例B[2019河南省中原名校第三次联考]设圆x2+V2x2y2=0的圆心为C,直线/过点

(0,3),且与圆C交于厶,8两点，若|厶8|=2次，则直线/的方程为

x+4y12=0或4x3y+9=0

x4y+12=0或4x+3y+9=0

x3y+9=0或x=0

x+4y12=0或x=0

条件与条件:①圆的方程;②直线过定点;③直线被圆截得的弦长.

目标目标:求符合条件的直线的方程.

思路与思路:求解过定点的直线的方程，分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论.

方法方法:待定系数法.

过程:先讨论直线的斜率不存在是否符合题意,再探究斜率存在时符合条件的斜率的值.

过程与关键:①当直线的斜率不存在时，易知/：x=0,与圆的方程联立，求出交点48的坐标，检验|A8|是否符合.

关键

②当直线的斜率存在时,设/的方程为y=kx+3,与圆的方程联立，利用d守(等尸求得直线/的斜率.

解析,当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,由｛：2；)2_2六2”2。解喉％或

x=0,

=1+73,

所以|厶8|=2通,符合题意.

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为片kx+3,

由已知可得圆的标准方程为(xl)2+(y1)2=4,其圆心为C(l,l),半径42,

所以圆心C到直线kxy+3=0的距离公与笋=粤.

J/+1y/k2+l

因为d2r2(—)2,

所以答=4(竽产,即(k+2-2+l,解得k=J

所以直线/的方程为片3+3,即3x+4y12=0.

综上，满足题意的直线/的方程为x=0或3x+4y12=0.故选D.

答案〉D

自拓展变式±[2019惠州市高三调研]过点厶(3,5)作圆。4+/2x4y+l=0的切线，则切线的

方程为.

1.C解方程组：得｛；：：：即直线/i,/2的交点为(1,1).因为直线/的一个方向向量

%(3,2),所以直线/的斜率k=糸则直线/的方程为yl=|(xl),即2x+3y5=0.故选C.

2.D直线AP的斜率幻=朕=2,直线BP的斜率卜2号=)设直线/与线段AB交于点M,当直线

/的倾斜角为锐角时，随着M从点A向点8移动的过程中，/的倾斜角变大，/的斜率也变大，此时

/的斜率*2；当直线/的倾斜角为钝角时，随着/的倾斜角变大，/的斜率从负无穷增大到直线

BP的斜率，此时/的斜率k<|；直线PM平行于y轴时，斜率不存在.综上所述，直线/的斜率的

取值范围为(8,|]U[2,+8).故选D.

3.D易知线段BC的中点坐标为(：,1),线段BC所在直线的斜率kBc=y岩『2,则线段BC的垂

直平分线的方程为yl=T(x+3,即2x+4y3=0.因为AB=AC,所以△ABC的外心、重心、垂心都

在线段BC的垂直平分线上，即AABC的欧拉线方程为2x+4y3=0.故选D.

4.A不妨设Pi(xi,lnXi),P2(X2,InX2),P(xp,%),由于/i丄6,所以丄x(—)=1,则Xi」.又切线h：yIn

比1%2%2

X1=丄(XXi),/：y+lnx=—(xx),于是4(0,InXil),8(0,l+lnXi),所以\AB\=2.由

22X22

(y-lnxi=畳3打)，2_121

qi解得Xp='—r，所以5ARA8=；X2XXP=-----r,因为Xi>l,所以XiH—>2,所以

y+Inx2=--(%-x2),肛下24七肛

5AMB的取值范围是(0,1),故选A.

5.C解法一如图D911,设圆化+1尸+()/5尸=2的圆心为C,则C(l,5),则点C不在直线片x上,

要满足/1丿2关于直线片X对称，则PC必然垂直于直线片X,所以线段PC所在直线的斜率kpc=l,

则线段PC所在的直线/:y5=x+l,即y=x+6,与片x联立，得P(3,3).

所以|PC|=J(-1+3)2+(5-3)2=2変，设/APC=a，贝iJ/AP8=2a,在中,sina=^=半=丄,

故a=30°,所以ZAP8=2a=60°.故选C.

图D911

解法二如图D911,设圆(x+l)2+(y5尸=2的圆心为C,则C(1,5),则点C不在直线y=x上，要满

足厶厶关于直线片x对称，则PC必然垂直于直线*X,所以|PC|=^^=2或,易知圆的半径

r=&,sinNAPC={^}=:，贝lJ/APC=30°,所以NAPB=60°.故选C.

6.3x2y=0或xy+l=0当直线过原点时,直线的斜率为k=|^=±此时直线方程为y=：x,即3x

2-022

2y=0.当直线不过原点时，设直线方程为三+丄=1,把(2,3)代入可得a=1,此时直线方程为xy+l=0.

Q-fl

故填3x2y=0或xy+l=0.

7.612由M+2〃)x+8/u)y4A8〃=0,得A(x+y4)+〃(2xy8)=0,则g二:'解得{；=所以直

线6+2〃)x+an)y4A8〃=0经过定点/W(4,0),若|AB|取最小值，则OM丄厶8,此时

|AB|=2,52-42=6.

解法一设A(4,3),B(4,3),。*/),由|4：|=2|8(?|,可得丿84)2+(y-3/=2J(x-4/+(y+3产

化简得点C的轨迹方程为仇4y+3+5)2=16,则点C的轨迹是圆心为(4,5),半径为4的圆,易知圆

心(4,5)在直线厶8上，因而C点到直线AB的最大距离为4,故△ABC面积的最大值为，6x4=12.

解法二设|BC\=x,则\AC\=2x,在AABC中，由余弦定理知36=x2+(2x)22x-2xcosZACB,得

x2,’36从而5AA8c=*2x-sin叱累=9x筈吆竺，其中筈吆竺可以看成单位圆

5-4C0S厶CB25-4cos〃CB--cos^ACB-cos^ACB

上的点(cosZ4CB,sin/ACB)与点(*0)的连线所在直线的斜率，易知当过点(1,0)的直线与单位

圆在第一象限相切时，斜率取得最小值，可求得斜率的最小值为，所以AABC面积的最大值为

9x(#12.

、X2X2

8.⑴设A(X1,%),8(X2%),则X逐X2,yi=才,以=学XI+X2=4,

于是直线AB的斜率依口=中=1.

Xi-X24

⑵由y=q,得y,q设/W(X3,V3),由题设及⑴知£=1,

解得X3=2,于是

设直线A8的方程为y=x+m,则线段A8的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+l|.

r2

将y=x+m代入得x24x4m=0.

4=16(m+l)>0,则m>1,

解得Xi=2+2Vm+1,X2=22y/m+1.

从而IA81=夜|xiX2I=4j2(?n+1).

由题设知|ABI=21MNI,即4J2m+l)=2(m+l),解得m=7.

所以直线AB的方程为y=x+7.

1.(1)①当直线/在x轴,y轴上的截距均为0时，直线/的斜率为k=T，

所以直线/的方程为y=$,化为一般方程为x2片0.

②当直线/在x轴,y轴上的截距均不为0时,设直线/的方程为:+勺1,将(2,1)代入，得彳+

解得t=3,

此时直线/的一般方程为x+y3=0.

综上，直线/的一般方程为x2y=0或x+y3=0.

⑵由题意得，直线/的方程为x+y3=0,则a+b=3.

所以30+3笃243a.3b=2V3a+U,当且仅当a=b=|时等号成立.

所以3。+3b的最小值为6V3.

2.⑴解法一直线/的方程可化为片、+3,可知/的斜率为*

因为「与/平行，所以直线的斜率为1

又/‘过点（1,3）,所以由点斜式得直线厂的方程为y3=*（x+l）,即3x+4y9=0.

解法二由/，与/平行，可设厂的方程为3x+4y+m=0（mw12）,

将（1,3）代入，得m=9,

于是所求直线方程为3x+4y9=0.

⑵解法一直线/的方程可化为y=>+3,可知/的斜率为

因为尸与/垂直，所以直线/，的斜率为《

又尸过点（1,3）,所以由点斜式得直线方程为y3=g（x+l）,

即4x3y+13=0.

解法二由/'与/垂直，可设/'的方程为4x3y+n=0,

将（1,3）代入，得n=13,

于是所求直线方程为4x3y+13=0.

⑶解法一直线/的方程可化为y=3+3,可知/的斜率为

因为/」/,所以直线厂的斜率为:

设厂在y轴上的截距为b,则直线/，的方程为y=%+b/在x轴上的截距为京,

由题意可知丿'与两坐标轴围成的三角形的面积S=/|b||予|=4,解得匕=畔.

所以直线/'的方程为片3+竽或y=%竽，

即4x3y+4遅=0或4x3y4布=0.

解法二由/与/垂直，可设直线厂的方程为4x3y+p=0,

则/在x轴上的截距为金在y轴上的截距为今

由题意可知丿'与两坐标轴围成的三角形的面积5=邦卜|纟=4,求得p=±4诟

所以直线厂的方程为4x3y+4V6=0或4x3y4布=0.

3.(1)C过点C作直线/,使/“AB,则点P在直线/上.由题意易知,A(b,0),B(0,1),则|AB|=2,所

以点C到