2023年高考数学强基计划模拟试卷17（含答案）

2023年高考数学强基计划模拟题(十七)

(满分100分，测试时间：60分钟)

一、选择题(每题10分)

1.已知“*”表示一种运算，定义如下关系：①1*a=1;②(n+1)*a=3(n*

a)(nGN*).则n*a=.()

A.3n-2B.3n+lC.371TD.3n

2.路灯距地面8米，一身高6米的人沿穿过灯下的直路以84米/分的速度行走，则人影

长度的变化速率(要求以米/秒为单位)是.()

A.《米/秒B.绣/秒C.U米/秒D.21米/秒

3.已知氢元素有三种同位素，分别为14243从氧元素也有三种同位素，分别

为16。,17ON。，则由这些原子构成的不同的水分子共有.()

A.18种B.24种C.9种D.36种

4.当0<x<l时，"%)=氤则下列大小关系正确的是.()

A./2(x)</(x2)</(%)B./(x2)</2(x)<f(x)

C./(x)</(x2)</2(x)D./(x2)<fW<f2(x)

5.设/(x)在［0,1］上有定义，要使函数〃久一。)+/。+£1)有定义，则£1的取值范围

为.()

A.(-co,-1)B.

C.D.(-8,一ug,+8)

6.已知〃%)=/+(£12+62-1)%+£12+2垃-62是偶函数，则函数图像与y轴交点

的纵坐标的最大值是.()

A.V2B.2C.2V2D.4

二、解答题(每小题20分)

7.求siMZO。+sin4400+si/SO。的值.

8.已知函数f(x)=x-ln(x+m)在定义域内连续.

(1)求/(x)的单调区间和极值.

(2)当m为何值时，不等式/Xx)20恒成立•

(3)给出定理：若函数g(x)在口句上连续，并具有单调性，且满足g(a)与g(b)异号，则

方程g(x)=0在［a,b］内有唯一的实根.试用上述定理证明：当meN且m>1时，方程

f(x)=0在［1-rn'e"1-机］内有唯一的实根.(e为自然对数的底;参考公式：2m=C黑+

%+*+•••+•

答案

1.。解：设九*a=an,于是有%=1,an+1=3an，则数列｛an｝是等比数列，所以几*a=an=

的qnT=3nt.

2.A解：如图所示，因为叫沪=2=5,所以|0M|=4|BM|.同理|0N|=4|CN|.

两式相减，可知人影长度的变化为|BM|-|CN|=1(|0M|-|0N|)="\MN\=%△t•84,

故了=1况.0等=21(米/分)=《(米/秒).

3.A解：一个水分子(”2。)由2个氢原子和1个氧原子组成.

(1)若2个氢原子是同一元素，则有废玛种不同的水分子；

(2)若2个氢原子不是同一元素，则有鬣废种不同的水分子.

故共有程玛4-废废=18种不同的水分子.

4c解：当0<x<1时，

/⑶与<。，

"炉)=高<0,

尸⑶=(敲>0.

因为自一部=磊=甯所以/'(>)</•(/)<尸⑺

5.B解：函数f(%-a)+f(x+a)的定义域为[a,1+a]n[-a,1-a],当a>0时,应有a<1-

a,即a工；;当aWO时,应有一aMl+Q,即

6.A解：由已知条件可知小+力2一i=0,函数图像与y轴交点的纵坐标为小+2必一82.令

a=cos0,b=sin0,则

a2+2ab-b2=cos20+2sin0cos0—sin20=cos20+sin20<V2.

7.解：sin420°+sin440°+sin480°=(sin220°)2+(sin2400)2+(sin280°)2

1-cos40°o1—cos80°01—cosl60°o

=(—2一产+(—2—)+(一2一)

311

=彳一讶(cos40°+cos80°+cosl60°)+,(cos240°+cos280°+cos2160°)

31

=彳-2(2cos60°cos20°—cos20°)

11+cos80°1+cosl60°1+cos320°

+4(2+2+2)

31

=-r—0+G(3+COS80°—cos20°+cos40°)

4o

31

=7+G(3+2cos60°cos20°—cos20°)

4o

339

=-+-=

488

8.解：(1)解(x)=":累1(%>-m),令((%)=0,得％=1-TH.因为当—THV%V1-?n时

/z(x)<0,当%>1-ni时〈(%)>0,所以f(%)在(-/n,1一in)内是减函数，在(1一犯+8)内

是增函数.当％=1-m时，函数f(%)取得极小值1一m.

(2)由⑴知，/(%)在定义域(-犯+8)内只有一个极值点，所以/Xx)的最小值就是1-血，从

而当1-zn之0时，不等式f(%)>0恒成立，故所求的实数机的取值范围是m<1.

(3)因为m>1,所以f(1—m)=1—m<0.又/(e772—m)=em—m-ln(em